Saddo Ag Almouloud

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La didactique des mathématiques est née il y a environ 40 ans, et, bien qu'elle soit à coup sûr une science humaine – une science des activités de l'homme dans la société – elle porte l'ambition de construire des théories rigoureuses qui puissent constituer des modèles pour l'analyse des phénomènes d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques dans un milieu didactique : un milieu social conçu pour leur enseignement.

La réalité qu'observent et reconstruisent les chercheurs en didactique est complexe et multiforme. Que l'on songe par exemple aux multiples contextes d'enseignement – enseignement primaire, secondaire, supérieur ; enseignement à des élèves en grande difficulté ou handicapés ; enseignement dans des lieux géographiquement éloignés et où les élèves sont dépourvus de moyens matériels de travail satisfaisants… Les théories de l'enseignement s'intéressent aussi au professeur, à son rôle, à l'ergonomie des situations qu'il peut mettre en œuvre en classe, à ses contraintes, à sa formation académique comme didactique ; et elles ambitionnent de modéliser l'élève dans ses productions face à un apprentissage.

Le destin des théories des sciences humaines est de se multiplier pour s'adapter à cette réalité et pouvoir en rendre compte. Leur multiplicité ne doit donc pas être vue comme une imperfection mais elle fait partie des mutations et des évolutions normales du développement d'un champ de recherches dans ce domaine. L'histoire des sciences – et même des sciences expérimentales ou des mathématiques ! – prouve que les théories se créent, se modifient, et que certaines disparaissent ou sont absorbées dans une théorie plus ergonomique ou plus achevée. Ainsi la théorie des champs magnétiques de Maxwell est une unification des théories électriques et magnétiques ; la relativité est une théorie qui réinterprète la théorie newtonienne de la gravitation, en remplaçant la notion de force à distance (l'attraction des corps) par la courbure de l'espace-temps créée par la masse. En mathématiques, les théories de la convergence ou de l'intégrale issues du 19ème siècle ont dû être précisées et étendues pour ne pas se trouver en contradiction relativement à des fonctions que les mathématiciens de l'époque n'avaient pas imaginées...

Les sciences humaines ont ceci de particulier, par rapport aux mathématiques, que les concepts relatifs aux phénomènes que l'on souhaite modéliser sont à construire – mais il en est de même en sciences expérimentales ainsi que le dit le philosophe et physicien M.Blay . De plus, dans le domaine des activités humaines, la vérification de la pertinence des théories ne peut s'effectuer que par une confrontation à la contingence qui s'avère elle-même délicate, le chercheur ne devant en aucun cas prendre ses cadres d'analyse pour la réalité… réalité qu'il a reconstruite, pour l'observer et l'analyser. Cette confrontation est un élément majeur de la didactique des mathématiques, dont nous savons bien qu'il est à chaque fois, en même temps un moment de plaisir de la recherche – aller voir et expérimenter dans les classes – et l'épreuve de vérité. Cette confrontation met aussi à l'épreuve les études de didactique par rapport à la spécificité de la discipline enseignée, spécificité que les didacticiens des mathématiques ont défendue constamment, et à juste titre.

D'où vient cependant, en sciences humaines, la consistance des théories, au-delà de leur spécificité à la matière enseignée ? Elle est contrôlée par la communauté des chercheurs et l'usage expérimental fait ; donc, en didactique, en sociologie, en psychologie, en ergonomie, en didactique professionnelle, il n'y a pas de contrôle des théories par le discours uniquement – ni par l'expérience "physique" – mais, il y a contrôle par les échanges entre chercheurs et par les résultats expérimentaux. Leur légitimité ne peut venir que de leur capacité à mettre en évidence des résultats, à condition d'en faire un usage pertinent pour l'étude d'un corpus expérimental. En sciences humaines c'est la communication entre pairs (à partir d'expérimentations sur le terrain) qui est l'essentiel du contrôle épistémologique . Il n'en reste pas moins que la profusion, et les problèmes subséquents d'articulation des théories, peuvent dérouter le chercheur novice, et causer encore de l'embarras au chercheur confirmé lorsqu'il se trouve face à un problème inédit dont il souhaite rendre compte. Quelle théorie est la mieux adaptée ? Ne va-t-il pas échapper quelques éléments essentiels de ce que le chercheur veut capter ? Faut-il importer une théorie d'un autre champ ? On voit bien actuellement les théories sémiotiques et de la communication, qui commencent à émerger dans le champ de la didactique des mathématiques ; les rapports avec les théories de la cognition ont toujours été largement discutées, Piaget et Vergnaud ont fourni des problématiques d'origine à la didactique des mathématiques alors naissantes. Dans les colloques, des groupes de discussion ont pour thème l'articulation des théories, ainsi à CERME 5 (2007) . Cette richesse est un atout et non un handicap. Seule l'existence de théories multiformes et complémentaires peut permettre l'émergence de concepts robustes afin de saisir au mieux la réalité étudiée. Plaidons encore pour l'articulation des théories : les sciences doivent se garder d'une approche doctrinaire dans l'assujettissement à une seule d'entre elles. Cette méthode qui consiste à étudier un phénomène à l'aide d'une théorie prédéterminée, et à tout interpréter dans ce cadre, fût-ce en tordant les phénomènes dont on prétend rendre compte, cela porte un nom : le dogmatisme, et cela conduit à ne pas faire de la science mais du discours. Une science encore jeune comme la didactique des mathématiques ne peut risquer de se perdre dans ce simulacre. Certes le chercheur utilise volontiers la théorie dans laquelle il a été formé : il est néanmoins essentiel de ne pas se limiter à cette approche et de connaître et pouvoir utiliser les outils des autres théories du champ, si nécessaire.

Le livre de Saddo AG ALMOULOUD est, à ces différents titres, un ouvrage précieux qu'il convient de saluer. Loin de toute doctrine, mais avec le souci d'être précis en même temps que complet, il parcourt le champ de la didactique et des théories qui l'ont forgée ; il en rend compte avec minutie et le souci des points importants, qu'il détaille et exemplifie autant que nécessaire. C'est une base pour les étudiants qui souhaitent s'engager dans la recherche, aussi bien que pour les professeurs qui souhaiteraient approfondir leurs connaissances de ce domaine. C'est aussi une aide pour les chercheurs pratiquant une théorie de façon privilégiée, et souhaitant compléter leur formation sur les théories existantes. Il faut noter la présence d'un chapitre sur les rapports entre la dialectique outil/objet de R.Douady et la TSD ; et sur l'articulation de la TSD et la TAD ; et dans tous les chapitres, de nombreux renvois et exemples qui permettent de relier les concepts des différentes théories.

Un tel ouvrage est donc nécessaire et sera éminemment utile. Une telle présentation des concepts de la didactique des mathématiques vient à point, après quarante ans d'existence. C'est pour moi un grand plaisir que d'avoir à le présenter et le recommander à tous ceux qui veulent avoir dans leur bibliothèque un livre de référence sur ce champ de recherches maintenant établi et qui continue d'être fécond.

PREFÁCIO

A realidade que observam e reconstroem os pesquisadores em didática é complexa e multiforme. Que pensemos, por exemplo, aos múltiplos contextos do ensino – ensino primário, secundário, superior; ensino para alunos com grandes dificuldades ou portadores de alguma deficiência; ensino nos lugares geograficamente distantes e onde os alunos são desprovidos de meios materiais satisfatórios para o trabalho... As teorias de ensino se interessam também ao professor, a seu papel, à ergonomia das situações que ele pode fazer funcionar em classe, suas limitações, sua formação acadêmica como didata; e eles ambicionam construir modelos do aluno em suas produções em face de uma aprendizagem.

O destino das teorias das ciências humanas é de se multiplicar para se adaptar a esta realidade e poder levá-la em consideração. Sua multiplicidade não deve ser vista como uma imperfeição, mas fazendo parte das mutações e das evoluções normais do desenvolvimento de um campo de pesquisas neste domínio. A história das ciências – e mesmo das ciências experimentais ou da matemática! – prova que as teorias se criam, se modificam, e que algumas desaparecem ou são absorvidas em uma teoria mais ergonômica ou mais “terminadas”. Assim a teoria dos campos magnéticos de Maxwell é uma unificação das teorias elétricas e magnéticas; a relatividade é uma teoria que reinterpreta a teoria newtoniana da gravidade, substituindo a noção de força à distância (atração dos corpos) pela curvatura do espaço-tempo criada pela massa. Em matemática, as teorias da convergência ou da integral nascidas no sec. XIX foram melhoradas e ampliadas para não entrar em contradição com a teoria das funções que os matemáticos da época nem haviam ainda imaginado...

As ciências humanas têm isto em particular, em relação à matemática, que os conceitos relativos aos fenômenos que desejamos modelar devem ser construídos – mas o mesmo ocorre com as ciências experimentais assim como afirma o filósofo e físico M. Blay . Ainda, no domínio das atividades humanas, a verificação da pertinência das teorias não pode se efetuar que por uma confrontação com a contingência que se mostra ela mesma delicada, sendo que o pesquisador não deve, em momento algum, tomar seus quadros de análise como realidade... realidade que ele reconstruiu para observá-la e analisá-la. Esta confrontação é um elemento maior da didática da matemática, o qual sabemos que é, a cada vez, um momento de prazer na pesquisa – ir observar e experimentar nas classes – e colocar a realidade à prova. Esta confrontação coloca também em cheque os estudos de didática em relação à especificidade da disciplina ensinada, especificidade que os pesquisadores em didática da matemática têm defendido constantemente, e com razão. De onde vem, no entanto, nas ciências humanas, a consistência das teorias, além de sua especificidade da matéria ensinada? Ela é controlada pela comunidade dos pesquisadores e ao uso experimental que é feito; então, em didática, em sociologia, em psicologia, em ergonomia, em didática profissional, não existe controle das teorias unicamente pelo discurso – nem pela experiência física – mas existe o controle pelas trocas entre os pesquisadores e pelos resultados experimentais. Sua legitimidade não pode se originar de sua capacidade em evidenciar os resultados, na condição de fazer um uso pertinente para o estudo de um corpus experimental. Em ciências humanas é a comunicação entre os pares (a partir de experimentações efetivas) que é o essencial do controle epistemológico.

Nada resta além da profusão, e os problemas subseqüentes da articulação das teorias, que podem derrotar um jovem pesquisador e causar ainda embaraço ao pesquisador experiente quando este se encontra em face de um problema inédito o qual deseja considerar. Qual a teoria é a mais adaptada? Não irão escapar alguns elementos essenciais do que o pesquisador quer captar? Será necessário importar uma teoria de outro campo? Pode-se ver, muito bem, as teorias semióticas e da comunicação, que começam a emergir no campo da didática da matemática; as relações com as teorias da cognição que têm sido sempre largamente discutidas, Piaget e Vergnaud forneceram as problemáticas de origem para a didática da matemática que nasciam. Nos colóquios, os grupos de discussão tinham como tema a articulação das teorias, como no CERME 5 (2007) . Esta riqueza é uma vantagem e não uma deficiência. Somente a existência de teorias multiformes e complementares pode permitir a emergência de conceitos robustos a fim de capturar o melhor possível a realidade estudada.

Defendamos ainda para a articulação das teorias: as ciências devem se guardar de um enfoque doutrinário na subjugação a uma única entre elas. Este método que consiste em estudar um fenômeno com a ajuda de uma teoria pré-determinada, e a interpretar tudo nesse quadro, ainda que forjando os fenômenos os quais pretendemos considerar, e isto tem um nome: o dogmatismo; e isto conduz a não fazer ciência, mas fazer o discurso. Uma ciência ainda jovem como a didática da matemática não pode se arriscar a se perder neste simulacro. Claro que o pesquisador utiliza voluntariamente a teoria na qual foi formado: no entanto é essencial de não se limitar a este enfoque e de conhecer e poder utilizar as ferramentas de outras teorias se necessário. O livro de Saddo AG ALMOULOUD é, por todos estes motivos, uma obra preciosa que queremos saudar. Longe de toda doutrina, mas com o cuidado de ser preciso e completo, ele percorre o campo da didática e das teorias que a forjaram; ele dá conta com meticulosidade e preocupação dos pontos importantes, que detalha e exemplifica sempre que necessário. É uma base para os estudantes que desejam se engajar na pesquisa, como para os professores que desejam aprofundar seus conhecimentos nestes domínios. É também uma ajuda para os pesquisadores praticando uma teoria de forma privilegiada, e desejando completar sua formação sobre as teorias existentes. É necessário notar a presença de um capítulo sobre as relações entre a dialética ferramenta/objeto de R. Douady e a TSD, e sobre a articulação da TSD com a TAD, e em todos os capítulos, numerosos exemplos e referências que permitem inter-relacionar os diferentes conceitos das diferentes teorias.

Esta obra é então necessária e será eminentemente útil. Tal apresentação dos conceitos da didática da matemática chega ao ponto, após quarenta anos de existência. É para mim um grande prazer de apresentá-la e recomendá-la a todos os que querem ter em sua biblioteca um livro de referência sobre este campo de pesquisas agora estabelecido e que continua a ser fecundo.