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Les textes fondateurs du calcul infinitésimal
HEMILY, Ellipses, 2006
Après les textes des précurseurs, publiés dans Aux origines du calcul infinitésimal (1999) par le Cercle d’Histoire des Sciences de l’Irem de Basse-Normandie, voici les textes des fondateurs, Leibniz et Newton. Les professeurs, les étudiants qui suivent des modules d’histoire des mathématiques, les nombreux utilisateurs de ce qui fut, lors de sa création au XVIIe siècle, l’une des avancées les plus spectaculaires en mathématiques, ainsi que toute personne intéressée par la culture scientifique, ne pourront qu’être fascinés par ceci : des idées peu nombreuses mais menées jusqu’au bout, simples dans leur expression mais profondes, ont servi de base à la création du calcul infinitésimal.
Sans notion bien établie ni de fonction, ni de limite, ces socles de l’analyse moderne, Leibniz et Newton ont en effet créé, chacun à leur manière, des algorithmes permettant de résoudre les problèmes classiques de la géométrie des courbes : tracé des tangentes, calculs de longueur et d’aire, détermination de la courbure. Chez Leibniz, tout découle de l’idée qu’une courbe est un polygone à une infinité de côtés, eux-mêmes infiniment petits ; chez Newton, tout provient de la conception d’une courbe comme trajectoire d’un point dont le mouvement est fait de la succession d’une infinité de mouvements rectilignes uniformes d’une durée infiniment petite.
Ces textes, tout imprégnés qu’ils sont de la vigueur créatrice, du charme et des illusions de la jeunesse, peuvent être déroutants pour un lecteur contemporain ; d’importants commentaires et éclaircissements historiques visent à y remédier. Par ailleurs, une connaissance plus répandue des textes fondateurs du calcul infinitésimal devrait aider les enseignants à simplifier et à vivifier l’enseignement de l’analyse, au moins dans ses commencements.
Auteurs : HEMILY est le groupe d'histoire et épistémologie de l'IREM de Lyon :
Gilbert Arsac, Cécile Arsac, Olivier Keller, Gilles Bonnefoy, Jean-Louis Joubert, Pierre Schwarz
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Table des matières :
Table des matières Introduction générale
Sources et organisation
Notices biographiques
Isaac Newton (1642-1727)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Chronologies des œuvres de Newton et de quelques articles clés de Leibniz concernant le calcul différentiel
PREMIERE PARTIE : TEXTES DE NEWTON
Présentation
Texte N-1 : Introduction de Newton
Commentaire
Texte N-2 : L’instrument de calcul : les “suites infinies”
Commentaire : Calcul de aa/(b+x)– Calcul de racine de a2+x2
Texte N-3 : La méthode des fluxions
Commentaire
Texte N-4 : Premier problème : connaissant la relation des fluentes, trouver la relation des fluxions
Commentaire
Texte N-5 : Application à la recherche d’extremums
Commentaire
Comparaison des méthodes de Newton et des méthodes contemporaines de recherche d’extremums
Cas d’une courbe définie par y = f(x) , Cas d’une courbe définie par f(x,y) = 0, Le problème des points singuliers, Un problème ignoré par Newton et soulevé par le marquis de l’Hospital
Texte N-6 : Application à la construction des tangentes
Commentaire
Première manière, Troisième manière, Explication de la troisième manière en termes contemporains
Texte N-7 : Deuxième problème : connaissant la relation des fluxions, trouver la relation des fluentes
Commentaire
Solution particulière, Préparation pour la solution générale, Exemples de préparation, Solution du premier cas, Solution du deuxième cas, Observation générale sur les solutions de Newton
Eclairage contemporain des procédés de Newton
1- “Solution particulière” : intégration d’une forme différentielle
2- “Solution générale” – second cas : résolution actuelle des équations différentielles élémentaires
3- “Solution générale” – second cas : formulation actuelle de l’algorithme de Newton
4- La méthode “à la manière des analystes” : méthode des coefficients indéterminés ou méthode d’identification
5- Parallèle entre les algorithmes de Newton pour les équations polynomiales et pour les équations différentielles
6- Parallèle entre l’algorithme de Newton et la méthode des approximations successives (méthode du point fixe)
Texte N-8 : Application au calcul d’aires
Commentaire
Texte N-9 : Application à la construction d’une table de logarithmes
Commentaire
Eclaircissements historiques, Contenu mathématique du texte
DEUXIEME PARTIE : TEXTES DE LEIBNIZ ET DU MARQUIS DE L’HOSPITAL
Présentation
Textes L-1 : Le problème, les acquis antérieurs, le principe de base
Commentaire
Texte L-2 : Le nouveau calcul différentiel, d’après le Marquis de l’Hospital
Commentaire
Définition et notation des différences : la caractéristique leibnizienne et ses deux aspects, Différentiation d’une somme, Différentiation d’un produit et d’un quotient, Différentiation d’une puissance rationnelle, Application à la détermination des tangentes ; le problème des signes,
Textes L-3 : Les nouvelles courbes, dites transcendantes, Ã admettre en analyse
Commentaire
Les problèmes des “Anciens”, L’origine des “quantités transcendantes”,
Textes L-4 : L’analyse des courbes transcendantes grâce au nouveau calcul différentiel. Exemples de la cycloïde et de la chaînette
Commentaire
La cycloïde, La chaînette,
Texte L-5 : Application du calcul différentiel à l’étude d’une famille de courbes : exemple de la recherche de l’enveloppe d’une famille de courbes planes
Commentaire
Une motivation : les recherches sur les caustiques, Vocabulaire et définitions, Méthode et algorithme, Justification actuelle de l’algorithme
Bibliographie sommaire
Autres ouvrages cités
Diffusion : Ellipses
978-2-7298-3089-2, IRETEX
16,5 x 24 cm, 176 pages, 18 €
