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Les textes fondateurs du calcul infinitésimal

Dernière modification 02/02/2007 09:11

HEMILY, Ellipses, 2006

Après les textes des précurseurs, publiés dans Aux origines du calcul infinitésimal (1999) par le Cercle d’Histoire des Sciences de l’Irem de Basse-Normandie, voici les textes des fondateurs, Leibniz et Newton. Les professeurs, les étudiants qui suivent des modules d’histoire des mathématiques, les nombreux utilisateurs de ce qui fut, lors de sa création au XVIIe siècle, l’une des avancées les plus spectaculaires en mathématiques, ainsi que toute personne intéressée par la culture scientifique, ne pourront qu’être fascinés par ceci : des idées peu nombreuses mais menées jusqu’au bout, simples dans leur expression mais profondes, ont servi de base à la création du calcul infinitésimal.

Sans notion bien établie ni de fonction, ni de limite, ces socles de l’analyse moderne, Leibniz et Newton ont en effet créé, chacun à leur manière, des algorithmes permettant de résoudre les problèmes classiques de la géométrie des courbes : tracé des tangentes, calculs de longueur et d’aire, détermination de la courbure. Chez Leibniz, tout découle de l’idée qu’une courbe est un polygone à une infinité de côtés, eux-mêmes infiniment petits ; chez Newton, tout provient de la conception d’une courbe comme trajectoire d’un point dont le mouvement est fait de la succession d’une infinité de mouvements rectilignes uniformes d’une durée infiniment petite.

Ces textes, tout imprégnés qu’ils sont de la vigueur créatrice, du charme et des illusions de la jeunesse, peuvent être déroutants pour un lecteur contemporain ; d’importants commentaires et éclaircissements historiques visent à y remédier. Par ailleurs, une connaissance plus répandue des textes fondateurs du calcul infinitésimal devrait aider les enseignants à simplifier et à vivifier l’enseignement de l’analyse, au moins dans ses commencements.

Auteurs : HEMILY est le groupe d'histoire et épistémologie de l'IREM de Lyon :

Gilbert Arsac, Cécile Arsac, Olivier Keller, Gilles Bonnefoy, Jean-Louis Joubert, Pierre Schwarz
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Table des matières :

Table des matières Introduction générale
Sources et organisation
Notices biographiques
Isaac Newton (1642-1727)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Chronologies des œuvres de Newton et de quelques articles clés de Leibniz concernant le calcul différentiel
PREMIERE PARTIE : TEXTES DE NEWTON
Présentation
    Texte N-1 : Introduction de Newton
        Commentaire
    Texte N-2 : L’instrument de calcul : les “suites infinies”
        Commentaire : Calcul de aa/(b+x)– Calcul de racine de a2+x2
    Texte N-3 : La méthode des fluxions
        Commentaire
    Texte N-4 : Premier problème : connaissant la relation des fluentes, trouver la relation des fluxions
        Commentaire
    Texte N-5 : Application à la recherche d’extremums
        Commentaire
Comparaison des méthodes de Newton et des méthodes contemporaines de recherche d’extremums
    Cas d’une courbe définie par y = f(x) , Cas d’une courbe définie par f(x,y) = 0, Le problème des points singuliers, Un problème ignoré par Newton et soulevé par le marquis de l’Hospital
    Texte N-6 : Application à la construction des tangentes
        Commentaire
            Première manière, Troisième manière, Explication de la troisième manière en termes contemporains
    Texte N-7 : Deuxième problème : connaissant la relation des fluxions, trouver la relation des fluentes
        Commentaire
            Solution particulière, Préparation pour la solution générale, Exemples de préparation, Solution du premier cas, Solution du deuxième cas, Observation générale sur les solutions de Newton
        Eclairage contemporain des procédés de Newton
            1- “Solution particulière” : intégration d’une forme différentielle
            2- “Solution générale” – second cas : résolution actuelle des équations différentielles élémentaires
            3- “Solution générale” – second cas : formulation actuelle de l’algorithme de Newton
            4- La méthode “à la manière des analystes” : méthode des coefficients indéterminés ou méthode d’identification
            5- Parallèle entre les algorithmes de Newton pour les équations polynomiales et pour les équations différentielles
            6- Parallèle entre l’algorithme de Newton et la méthode des approximations successives (méthode du point fixe)
    Texte N-8 : Application au calcul d’aires
        Commentaire
    Texte N-9 : Application à la construction d’une table de logarithmes
        Commentaire
            Eclaircissements historiques, Contenu mathématique du texte
DEUXIEME PARTIE : TEXTES DE LEIBNIZ ET DU MARQUIS DE L’HOSPITAL
Présentation
    Textes L-1 : Le problème, les acquis antérieurs, le principe de base
        Commentaire
    Texte L-2 : Le nouveau calcul différentiel, d’après le Marquis de l’Hospital
        Commentaire
            Définition et notation des différences : la caractéristique leibnizienne et ses deux aspects, Différentiation d’une somme, Différentiation d’un produit et d’un quotient, Différentiation d’une puissance rationnelle, Application à la détermination des tangentes ; le problème des signes,
    Textes L-3 : Les nouvelles courbes, dites transcendantes, à admettre en analyse
        Commentaire
            Les problèmes des “Anciens”, L’origine des “quantités transcendantes”,
    Textes L-4 : L’analyse des courbes transcendantes grâce au nouveau calcul différentiel. Exemples de la cycloïde et de la chaînette
        Commentaire
            La cycloïde, La chaînette,
    Texte L-5 : Application du calcul différentiel à l’étude d’une famille de courbes : exemple de la recherche de l’enveloppe d’une famille de courbes planes
        Commentaire
            Une motivation : les recherches sur les caustiques, Vocabulaire et définitions, Méthode et algorithme, Justification actuelle de l’algorithme
Bibliographie sommaire
Autres ouvrages cités

Diffusion : Ellipses

978-2-7298-3089-2,  IRETEX
16,5 x 24 cm, 176 pages, 18 €

 

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