La démonstration : une logique en situation ?

par Gilbert Arsac LIRDHIST, Universit̩ Claude Bernard РLyon 1 et IREM de Lyon

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Cette manifestation est organisée conjointement par la CFEM (Commission Française pour l'Enseignement des Mathématiques) et l'ARDM (Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques)

Le titre choisi pourrait laisser croire qu’il va s’agir d’un exposé d’épistémologie. Il n’en est rien : le fil directeur est bien didactique, il s’agit d’étudier quelles questions peuvent être soulevées par diverses modélisations logiques très classiques qui ne seront d’ailleurs présentées que sur des exemples, lesquels suffiront à engendrer les questions. L’exposé se place dans la perspective d’un « pluralisme théorique » : un phénomène relatif à l’activité humaine est susceptible de nombreuses modélisations, dont plusieurs peuvent être éclairantes. Le point de vue proposé ici ne se veut nullement hégémonique. L’exposé est aussi élémentaire que possible, avec l’ambition de pouvoir être utile à la fois pour la formation initiale des maîtres, et pour des recherches didactiques pouvant utiliser par la suite des théorisations plus complexes. Il cherche à répondre à quelques questions simples dont on peut penser aussi qu’elles sont fondamentales :

• Peut-on parler de démonstration de façon élémentaire sans se limiter au cas de la géométrie ?
• Peut-on en parler d’une façon qui soit pertinente à la fois pour la démonstration en 4ème (pas seulement en géométrie) et pour des démonstrations mathématiques de niveau élevé ?
• En quel sens peut-on dire que la logique en mathématique est une « logique en situation » ?
• Comment expliquer l’échec assez général des enseignements de logique visant à apprendre aux élèves ou étudiants à raisonner ?