Responsables Gilles ALDON, IFÉ-ENSL, S2HEP Université Lyon 1 Mathias FRONT,  ESPE de Lyon/ S2HEP Université Lyon 1 Membres François BRUN-NEY, collège Gilbert Dru, Lyon Stéphanie CROQUELOIS, collège Michelet, Vénissieux Marie-Line GARDES, UMR L2C2CNRS, Université Lyon 1 Antoine GUISE, collège Emile Zola, Belleville Didier KRIEGER, lycée Ampère, Lyon et IREM Maryna RAFALSKA, Post doctorante, ENS de Lyon

Le contexte

Les « problèmes pour chercher » sont une façon différente d’envisager l’apprentissage et l’enseignement des mathématiques dans le cours ordinaire de la classe. Ils permettent de mettre en évidence et en pratique les ressorts fournis par la dimension expérimentale de l’activité mathématique sur des connaissances mathématiques en lien avec les programmes à différents niveaux d’enseignement (cycle 3, collège, lycée, université) ; les « démarches d’investigation » redonnent du sens aux mathématiques en interrogeant leur pratique en classe ; les équipes DREAM (Démarche de recherche pour l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques) et RESCO (Résolution collaborative de problèmes) mènent des recherches dans lesquels les problèmes sont centraux.

Un site des problèmes : http://dreamaths.univ-lyon1.fr/

Présentation

Le groupe ResCo de l’IREM de Montpellier, constitué de dix membres (huit enseignants du secondaire, deux universitaires dont une didacticienne), élabore un stage de formation continue comportant une session de résolution collaborative de problème. Le dispositif de résolution collaborative de problèmes repose sur des échanges entre des classes qui cherchent à résoudre le même problème, posé sous une forme non mathématique. Pendant cinq semaines, les élèves échangent des questions, des réponses, des idées, des procédures et des conjectures. Ces échanges sont pris en charge par les enseignants sur une plateforme Internet à accès restreint. Les deux premières semaines sont consacrées à l’exploration du problème et aux premières pistes vers une mathématisation. Une relance recentre les recherches sur un problème commun, travaillé pendant les deux semaines suivantes. La session se termine par la rédaction d’un compte-rendu individuel de la recherche qui va alimenter le débat de clôture de la cinquième semaine. La spécificité de ce dispositif nous conduit à proposer des énoncés originaux, que nous appelons fictions réalistes.

Questions de recherche

S’appuyant sur des expériences de plusieurs années, le groupe DREAM-ResCo développe également un questionnement qui doit permettre, parallèlement à l’étude de l’élaboration et de la diffusion des problèmes de recherche, d’approfondir l’analyse des effets des mises en Å“uvre sur les élèves. Les questions suivantes font désormais parties du développement de la recherche.

1. Quelles sont les connaissances, les compétences transversales et méta-mathématiques qu'il est possible d'évaluer dans une pratique de recherche de problème ? Et quels sont les indicateurs qu'il est possible de mettre en place ?
2. La créativité et l'invention mathématique développées dans les problèmes de recherche modifient elles l'image des mathématiques chez les élèves (et leur envie de faire des mathématiques). Et chez les professeurs ?
3. Les problèmes de recherche qui développent une forme d'acquisition des savoirs font ils progresser les élèves dans les autres domaines de l'activité mathématique ? Comment les élèves réinvestissent-ils dans d'autres cadres les compétences et les connaissances développées ?

Travail en cours

Le LéA Collège-Lycée Ampère à Lyon, et le collège Emile Zola (Belleville) constitueront les terrains d'observations d'un enseignement faisant une large part à la dimension expérimentale dans les problèmes de recherche en mathématiques. Dans chaque établissement, plusieurs classes seront impliquées suivant le programme détaillé ci-dessous : dans un premier temps, une classe pilote dont le professeur est enseignant associé dans l'équipe DREAM-Resco, et dans un deuxième temps d'autres classes des établissements considérés.
Un travail de thèse a débuté à la rentrée 2013 qui porte sur les effets sur les apprentissages mathématiques de la dévolution aux élèves du processus de mathématisation de problèmes posées en dehors des mathématiques.

Une première étape consiste à construire une ingénierie didactique ayant pour but de questionner les séquences d'apprentissage fondée sur les problèmes. Les observations et analyses s'appuieront sur le cadre théorique de la Théorie des Situations Didactiques (Brousseau, 1998). On réalisera pour cela un cahier des charges construit en s'appuyant sur les pilotes et les observations en classe ; l'objectif est de dégager des éléments des bonnes pratiques, gestes professionnels, suivi des ressources, etc., en s'appuyant sur une méthodologie réflexive (Gueudet & Trouche, 2008). Puis sera mise en oeuvre une pré-expérimentation qui doit permettre de s’assurer, après des travaux déjà nombreux sur les situations de recherche en classe, de la faisabilité d’une étude approfondie à une échelle supérieure. Cette pré-expérimentation vise, en particulier, à proposer un cadre de ce que pourrait être un enseignement des mathématiques fondé sur la recherche de problèmes et à définir l’ingénierie nécessaire à l’analyse d’un tel enseignement. Après des travaux sur la mise en oeuvre dans une classe ordinaire de situations de recherche et en appui sur des premières expériences menées dans le cadre de formation continue dans les académies de Lyon et de Montpellier, cette première étape fondera une expérimentation plus vaste désormais nécessaire.
Celle-ci prendra la forme d'une deuxième étape en appui sur les ingénieries précédemment construites. Elle doit permettre le suivi des élèves dans les classes « ordinaires » et le suivi de cohortes d'élèves dans des classes des professeurs pilotes et des professeurs du second cercle des LéA. Compte tenu des questions de recherche posées, des résultats sont attendus tout au long de ces deux dernières années d’expérimentation.

Quelques références des travaux de l'équipe

• Aldon, G., Cahuet, P.-Y., Durand-Guerrier, V., Front, M., Krieger, D., Mizony, M., Tardy, C. (2010). Expérimenter des problèmes de recherche innovants en mathématiques à l'école. Cédérom, INRP.
• Aldon G. (2008), Analyse du rôle d'une ressource numérique dans la mise en place de problèmes de recherche dans la classe de mathématiques, Master HPDS, Université Lyon 1. (en ligne)
  
• Aldon G., Duchet P., Feurly-Reynaud J., Legrand M., Mizony M., Payan C., Tisseron C. (1997) Développer la recherche scientifique à travers l'étude de situations mathématiques, IREM de Lyon
• Aldon G., Tisseron C. (1998) Des situations pour mettre en oeuvre une démarche scientifique au lycée, Colloque Recherche et Formation, Actes, IUFM de Grenoble
• Arsac G. & al. (1992) Initiation au raisonnement déductif au collège. Presses Universitaires de Lyon et IREM. de Lyon
• Bonafé F., Chevalier A., Combes M.-C., Deville A., Dray L., Robert J.-P. & Sauter M. (2002) Les narrations de recherche de l'école primaire au lycée. IREM de Montpellier & APME
• Combes M.-C. & Noguès M. (2005) Intégration des TIC et formation à distance dans un espace transfrontalier : l'exemple de la Catalogne et du Languedoc-Roussillon, Formation à distance des professeurs de mathématiques, vers de nouvelles pratiques professionnelles, UOC, Barcelone
• Dias T., Durand-Guerrier V. (2005) Expérimenter pour apprendre en mathématiques, Repères IREM, 60, pp. 61-78
• Durand-Guerrier V. (2005) Recherches sur l’Articulation entre la logique et le raisonnement mathématique dans une perspective didactique. Un cas exemplaire de l’interaction entre analyses épistémologique et didactique. Apports de la théorie élémentaire des modèles pour une analyse didactique du raisonnement mathématique, IREM de Lyon
• Durand-Guerrier V. Retour sur le schéma de la validation explicite dans la théorie des situations didactiques, à la lumière de la théorie des modèles de Tarski, à paraître dans les actes du colloque Didactiques : quelles références épistémologiques ?,  Bordeaux ,25 - 27 mai 2005
• Durand-Guerrier V. & al. (eds.) Jeux et enjeux des langages dans l'élaboration des savoirs en classe, à paraître aux PUL en 2005
• Front, M. (2010) Pavages semi-réguliers du plan. Élaboration d'une situation favorable à la dialectique théorie-objets, Master HPDS, Université Lyon 1. (en ligne)
• Gardes M-L. (2013) Étude de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants, engagés dans la recherche d'un problème non résolu en théorie des nombres. Thèse de doctorat. Université de Lyon 1.
• Gardes, M.-L. (2009) Étude du processus de recherche d’élèves de terminale scientifique confrontés à la résolution d’un problème ouvert en arithmétique, Master HPDS, Université Lyon 1. (en ligne)

• Sauter M. & Saumade H. (2003) Résolution collaborative à distance de problèmes ouverts (classes en réseau), colloque ITEM (http://www.reims.iufm.fr)