Référence : Du mode d’existence des objets de la mathématique. Problèmes et controverses, Paris : Vrin, 152 p., ISBN : 2-7116-1694-0 Mots clés : Axiomatique, histoire des mathématiques, logique, objets mathématiques, philosophie des mathématiques Communiquer avec l'auteur de la note de lecture : Viviane.Durand-Guerrier@univ-lyon1.fr

Dans cet ouvrage, l’auteur nous invite à un voyage dans l’univers des objets, concrets ou abstraits, sur lesquels se concentre l’attention des mathématiciens.

C’est en logicien que l’auteur aborde cette question, en commençant par examiner, dans les deux premiers chapitres, ce qu’il en est des objets dont traite Euclide dans les Eléments. Après avoir relevé le très grand nombre d’objets introduits dans les livres consacrés à la géométrie, il note l’importance des prédicats monadiques associés à ces objets, comme « ..est un point », mais aussi la présence de relation dyadiques (autrement dit binaires) comme « est perpendiculaire à », ou encore triadiques ou tétradiques (mettant en jeu quatre éléments), ce qui permet à Euclide de s’en tenir au premier ordre logique, ou l’on travaille seulement avec des objets auxquels s’appliquent des propriétés et des relations (des prédicats). Une conséquence en est, selon l’auteur, que les nombres n’ont pas de place dans les livres des Eléments consacrés à la géométrie, à l’exception du livre X où se trouve mises en regard la commensurabilité des grandeurs et la raison d’un nombre à un autre. Ceci tient au parti pris d’Euclide, qui considère les nombres comme s’ils étaient eux-mêmes des individus, l’unité étant elle-même une substance première, à partir de laquelle les autres nombres se construiraient par agglomération. Ce choix lui permet une fois encore de rester dans le premier ordre logique, mais conduit à une radicale hétérogénéité entre nombres et grandeurs souvent inaperçue par les mathématiciens modernes.

Dans le troisième chapitre, l’auteur donne quelques étapes du chemin parcouru depuis Aristote jusqu’aux Modernes, en passant par les mathématiciens arabes pour abandonner la rupture entre la mathématique des grandeurs géométriques et la mathématique des nombres et s’acheminer vers l’inclusion de l’ensemble des entiers naturels dans celui des nombres rationnels puis des réels. S’arrêtant ensuite sur le début du premier livre de La Géométrie de Descartes, il s’emploie à montrer que la mathématique a radicalement changé d’objet : en effet les objets qu’on y traite ne sont plus les grandeurs, mais des relations entre grandeurs, des fonctions, dont la nature essentielle échappe au premier ordre logique. Le chapitre IV, consacré aux désignations des écritures proprement mathématiques, complète le précédent en présentant principalement les innovations scripturaires de Descartes, qui ouvrent la porte à la considération de nouvelles formes d’existence, autres que celle des substances premières.

Dans le chapitre V, l’auteur attire notre attention sur les différentes finalités du recours à l’axiomatique. A côté des systèmes hypothético-déductifs, nécessitant une procédure irréductiblement axiomatique, dont la géométrie euclidienne est le modèle, on trouve des procédures axiomatiques pour l’établissement de systèmes auxquels on peut accéder également par la voie sémantique, comme le calcul des propositions ou l’arithmétique. L’auteur considère enfin une quatrième finalité de l’axiomatique qui consiste à définir des structures par un groupe d’axiomes exprimant des propriétés caractéristiques d’objets établies dans une théorie préexistante, comme c’est le cas par exemple pour les axiomes de groupe, ou de corps. Dans ce cas, la méthode axiomatique n’a d’autre finalité que de pouvoir appliquer les structures ainsi construites à des contextes divers. L’auteur souligne que cet intérêt pour les structures ne doit pas faire oublier que la mathématique a ses objets, même si ce ne sont pas des substances premières. La question de savoir si et comment existent les objets de la mathématique fait l’objet du chapitre de conclusion dans lequel, in fine, l’auteur, suivant Charles Hermite, reconnaît aux objets de la mathématique une certaine objectivité, même si ce n’est pas celle des fleuves et des montagnes.

Å’uvres de Jean-Louis Gardies

Esquisse d’une grammaire pure, « Problèmes et controverses », Paris, Vrin, 1975

Essai sur la logique des modalités, « Philosophie d’aujourd’hui », Paris, PUF,1979

Pascal entre Eudoxe et Cantor, « Problèmes et controverses », Paris, Vrin, 1984

L’erreur de Hume, « Philosophie d’aujourd’hui », Paris, PUF,1987

L’héritage épistémologique d’Eudoxe de Cnide, Un essai de reconstitution, « Problèmes et controverses », Paris, Vrin, 1988

Le raisonnement par l’absurde, « Bibliothèque d’Histoire des Sciences », Paris, PUF, 1991.

Les fondements sémantiques du discours naturel, « Problèmes et controverses », Paris, Vrin, 1994

L’organisation des mathématiques grecques de Théétète à Archimède, « Problèmes et controverses », Paris, Vrin, 1997

Qu’est-ce que et pourquoi l’analyse ?, « Problèmes et controverses », Paris, Vrin, 2001

Du mode d’existence des objets de la mathématique, « Problèmes et controverses », Paris, Vrin, 2004