Référence : Høyrup, J.: 2002, Lenghts, Widths, Surfaces. A portrait of Old Babylonian algebra and its kin. Studies and Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin & Londres : Springer, 459 p., ISBN : 0-387-95303-5 Mots clés : Histoire des mathématiques, épistémologie, mathématiques cunéiformes, Mésopotamie, algorithmes, équations du second degré Communiquer avec l'auteur de la note de lecture :  Christine Proust

Jens Høyrup, professeur de philosophie des sciences à l’Université de Røskilde au Danemark, est un des plus éminents représentants du petit cercle des spécialistes de mathématiques mésopotamiennes. Son livre présente l’essentiel de ses recherches dans ce domaine, en donnant une place privilégiée à ce qui constitue aujourd’hui un apport majeur à la compréhension des mathématiques anciennes : sa reconstitution des raisonnements sous-jacents aux algorithmes de résolution des problèmes du second degré.

Avant d’en venir à l’ouvrage lui-même, présentons rapidement les textes mathématiques mésopotamiens (pour plus de détails, voir François Thureau-Dangin, Esquisse d'une histoire du système sexagésimal, Geuthner, Paris 1932 ; Otto Neugebauer, Les sciences exactes dans l'antiquité.  Actes Sud, réédition 1990). Ce corpus est constitué de tablettes d’argile écrites en signes cunéiformes (« coins » imprimés dans l’argile au moyen d’une tige de roseau), en majeure partie en langue akkadienne (une des plus anciennes langues sémitiques). Ces  textes datent pour leur très grande majorité du début du deuxième millénaire avant notre ère, époque dite « paléo-babylonienne », et figurent parmi les plus anciens témoins d’une pensée mathématique élaborée. L’essentiel de la documentation cunéiforme provient de Mésopotamie proprement dite, c’est-à-dire la grande plaine « entre les fleuves », le Tigre et l’Euphrate, entre Ur au sud et Mari au nord. Pour ce qui concerne la langue, il faut noter, à côté de l’akkadien, un recours aux idéogrammes sumériens, variable selon les lieux et les époques, mais parfois très important. Cette pratique est héritée d’une tradition très ancienne remontant aux origines de l’écriture (vers -3300). Il est également important d’insister sur le fait que, si « l’algèbre » babylonienne est l’aspect le plus connu de cette tradition, d’autres champs de spéculation se sont développé parallèlement, notamment dans le domaine du calcul numérique. L’exploitation des ressources arithmétiques d’une numération sexagésimale positionnelle en est la caractéristique la plus frappante (voir C. Proust, Le calcul sexagésimal en Mésopotamie et Apprendre à calculer en Mésopotamie il y a 4000 ans, Pour la Science, Collection Les génies de la science n°26, février-mai 2006, p. 26-29).

On trouve dans le livre de Jens Høyrup d’intéressants développements sur les sujets qui ont occupé une partie importante de ses recherches : l’historiographie des mathématiques cunéiformes, la transmission de la tradition babylonienne, la caste des scribes, notamment des arpenteurs, et la place des mathématiques dans ces milieux, les propriétés linguistiques des textes mathématiques et la classification des textes selon ces propriétés (chapitres VII à XI). Mais la partie la plus importante concerne le raisonnement et les problèmes du second degré (chapitres I à VI). C’est sur cette partie que je vais me concentrer. La présentation typique des problèmes mathématiques mésopotamiens est la suivante :
- énoncé d’un problème, les données étant des quantités spécifiées,
- résolution sous forme d’une procédure, c’est-à-dire d’une suite d’opérations à exécuter, généralement formulées à la deuxième personne (fais ceci, fais cela),
- et enfin réponse à la question posée. Le texte se termine souvent par une formule figée : « telle est la façon d’opérer ».  

Deux questions se sont posées aux commentateurs modernes : comment traduire ces procédures dans une forme qui nous est compréhensible ? Les procédures sont-elles fondées sur un raisonnement des scribes ? Jens Høyrup remarque qu’en fait ces questions n’ont pas été réellement formulées, mais que les historiens leur ont donné des réponses implicites : on transformait les procédures en formules, en utilisant le symbolisme de l’algèbre moderne ; on considérait que les scribes avaient découvert la suite des opérations nécessaires à la résolution de ces problèmes par tâtonnement ou par hasard, sans qu’ils aient été guidés par un raisonnement. Jens Høyrup s’inscrit en faux contre ces deux attitudes, largement dominantes dans la tradition des études modernes des mathématiques cunéiformes. Il propose une méthode nouvelle, qui consiste à revenir au plus près du texte pour en faire une analyse linguistique minutieuse, permettant de dégager un véritable vocabulaire technique et de préciser la signification de chacun de ses termes. Jens Høyrup remarque notamment que les scribes utilisent plusieurs expressions différentes pour désigner ce qui nous paraît être la même opération. Or, il montre que des termes différents renvoient à des concepts différents. Par exemple, la multiplication peut être une simple opération arithmétique (idéogrammes sumériens a-ra2, qu’on peut traduire par « fois »), mais elle peut aussi désigner une opération de nature géométrique, qui consiste à « croiser » une longueur et une largeur pour construire un rectangle (verbe akkadien shutakûlum). Appliquant cette lecture (close reading) aux grands textes de nature algébrique, il en fait émerger une signification tout à fait nouvelle et spectaculaire : les scribes suivent un raisonnement de type figuratif, où les étapes de la procédure s’interprètent comme des opérations de « coupé-collé » de carrés et de rectangles. « L’algèbre » babylonienne est en fait, pour Jens Høyrup, une « géométrie naïve ». Cette méthode de « complétion du carré » est proche de celle des Grecs et surtout de celle de Al-Kwarizmi et des algébristes arabes qui feront la gloire de la Maison de la Sagesse à Bagdad plus de 2500 ans plus tard.

Pour illustrer cette méthode, prenons le premier problème d’une tablette conservée au British Museum (BM 13901) qui est considérée comme un des textes les plus anciens et les plus importants des mathématiques  paléo-babyloniennes, une sorte de « manuel de calcul du second degré » (expression de Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l’Egypte anciennes Presses Universitaires de Lille 1994, p 35). Elle contient 24 problèmes organisés du plus simple au plus complexe, comme des variations de plus en plus savantes autour des méthodes fondamentales présentées dans les premiers paragraphes. Cet exposé systématique du corpus des connaissances algébriques paléo-babyloniennes est mis en parallèle par Maurice Caveing  avec le livre II des Eléments d’Euclide (ibid, p 83).
Voici une traduction du premier problème (BM 13901 #1), dans le style « mot à mot » de Jens Høyrup :

Remarque : ce texte, comme tous les textes mathématiques cunéiformes, fait usage d’une numération sexagésimale positionnelle. Cette écriture ne fait pas la distinction entre 1, 60, 1/60, etc. (pas de zéro en position finale ou initiale). Jens Høyrup rétablit les ordres de grandeur, non spécifiés sur la tablette, en indiquant les minutes, secondes, etc. : (1’ = 1 minute = 1/60 ; 1’’ = 1 seconde = 1/3600).
Comparons les interprétations Otto Neugebauer et de Jens Høyrup.

Interprétation de Otto Neugebauer (Mathematische Keilschrift Texte III, p. 10) :

Interprétation de Jens Høyrup :

Il essaie de suivre à la lettre les manipulations suggérées par le texte : joindre une surface et un côté, couper, recoller, croiser des côtés pour faire un carré, arracher une portion de segment (soustraction). Le watsitum, terme intraduisible, semble désigner la dimension de longueur 1 adjointe au côté, qui permet de l’ajouter à la surface. Le côté inconnu est noté s dans les figures qui suivent.

1- Le rectangle de dimensions 1 et s (1 est le watsitum et s est le côté du carré inconnu) est collé au carré ; l’aire totale est 45’.

2- Le rectangle est divisé en 2, et les deux moitiés sont croisées (placées en position de gnomon). Par complétion du gnomon, il se forme un nouveau petit carré d’aire 30’x30’=15’.

3- L’aire du grand carré est l’aire du gnomon, 45’, plus l’aire du petit carré, 15’, c’est-à-dire 15’ + 45’ = 1
Le côté de ce grand carré d’aire 1 est 1

4- Ce côté est composé du côté s et du côté 30’, donc s = 1 – 30’ = 30’.

 (Naturellement, cette méthode géométrique ne permet de déterminer que la racine positive).

La « géométrie naïve » de Jens Høyrup, après avoir rencontré un certain scepticisme, est aujourd’hui un mode d’interprétation de « l’algèbre babylonienne » largement admis. Le travail de Jens Høyrup a profondément transformé le regard porté sur les mathématiques anciennes. 

Je voudrais terminer par une remarque tout à fait personnelle. Il est difficile d’évoquer la Mésopotamie antique sans penser à l’Irak actuel. L’opinion internationale a été frappée par l’épisode dramatique de la mise à sac du Musée de Bagdad le 10 avril 2003. Mais il faut savoir que cet événement n’était qu’un signe avant-coureur de la destruction accélérée du patrimoine mésopotamien. Le pillage, profitant de la situation de chaos et de violence qui se développe depuis l’invasion du 20 mars 2003, a pris des proportions hallucinantes. Les anciennes cités sumériennes offrent aujourd’hui le spectacle désolé d’un paysage lunaire (images) . L’archéologue irakien Donny Georges, actuel directeur du Musée de Bagdad, avait prédit la catastrophe dès le début de 2003 : « En cas d’offensive américaine, le pillage des sites sera infiniment plus puissant qu’en 1991. (...) Les pilleurs ont eu le temps d’organiser leur trafic et de se créer une clientèle internationale. Ils sont puissants et armés. » L’Irak est la proie d’un intense trafic international des antiquités, tout comme les autres « pays du Sud » au passé prestigieux, mais fragilisés aujourd’hui par la guerre et la pauvreté. « Difficilement quantifiable par nature, le pillage des biens culturels est estimé entre 2 milliards et 4,5 milliards d’euros, juste derrière les trafics d’armes et de drogue, et reproduit les inégalités dominantes des autres marchés en drainant les richesses des nations du Sud vers les galeries et les collections des pays du Nord. Les territoires en guerre sont de bons fournisseurs… » (Philippe Baqué, 'Enquête sur le pillage des objets d’art', dans Le Monde Diplomatique, janvier 2005).