« CAUCHY, ABEL et les autres aux prises avec la convergence uniforme et les raisonnements sur les limites »

Gilbert Arsac, pr. Lyon 1

Salle Fokko-Ducloux, Bâtiment Braconnier, Université Lyon 1, La Doua

La convergence uniforme comme révélateur des difficultés liées aux modes de raisonnement habituels des mathématiciens du début du dix-neuvième siècle en ce qui concerne les limites.

Résumé : La découverte, à l’occasion de l’étude des séries de Fourier, du fait que la somme d’une série convergente de fonctions continues peut ne pas être continue, amène, après les démonstrations fausses proposées par Cauchy (1821) et Abel (1826) à la découverte par Seidel (1847) et sans doute Stokes (1847) de la notion de convergence uniforme.

L’exposé n’a pas pour but de retracer en détail l’histoire de cette découverte, mais bien de considérer les difficultés rencontrées comme révélatrices d’un certain état du raisonnement à l’époque considérée, qu’on essaiera de caractériser d’un triple point de vue : celui des concepts, celui des notations, celui de la structure logique du discours. Il est remarquable que ces difficultés se retrouvent chez ces quatre mathématiciens, y compris ceux qui ont fini par résoudre le problème, et qu’elles font sans doute obstacle à la compréhension mutuelle des mathématiciens.

En conclusion, on assiste à cette occasion à la fin d’une époque dans le raisonnement en analyse : la rigueur weierstrassienne, avec la manipulation réglée du raisonnement en epsilon, eta pourra s’imposer facilement car elle permettra de résoudre une fois pour toutes les problèmes que nous avons décrits.