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Thème mathématique

 Enseignement des nombres relatifs au cycle 4

Auteur

Institut Français de l'Éducation - ENS de Lyon

Apports essentiels d'un parcours d'étude et de recherche

 L'enseignement sous forme de parcours permet la construction d'un savoir cohérent sans un découpage en chapitres apparaissant souvent disjoints aux yeux d'élèves, dont le sens global tend à s'échapper. Cet apport nécessite l'étude du parcours dans sa globalité, chaque nouvelle question se nourrissant des réponses précédentes.

Remarques pour le professeur

 Ce type d'enseignement diffère de manière significative de la forme traditionnelle sous laquelle sont enseignées les mathématiques. Aussi, notre proposition nécessite-t-elle un travail préalable et exigeant de prise en main par le professeur. Des indications sont données pour cela dans le corps du texte, mais des modifications par l'enseignant qui ne seraient pas didactiquement contrôlées conduisent à des échecs, tant d'enseignement que d'apprentissage.

Résumé

 Depuis les Élémens d'algèbre de Clairaut (1746), l'algèbre élémentaire peut être vue comme la science des calculs sur les programmes de calcul. Nous proposons donc une entrée dans l'algèbre par des nombres autrefois appelés algébriques – les nombres relatifs –, à partir d'une question à travailler, relative à des programmes de calcul : « comment parvenir à simplifier des programmes de calcul du type : « à un nombre on ajoute un deuxième puis on soustrait un troisième ? » Par exemple, calculer mentalement 3764 + 261 – 262 conduit à remarquer que ce programme revient simplement à soustraire 1 à 3764. Le nombre relatif – ici -1 – qui constitue la réponse, apparaît comme un opérateur additif ou soustractif. La réponse trouvée enclenche un nouveau travail d'étude et de recherche par la classe : et pour -2, +4, etc. ? Il se poursuit à partir des questions cruciales qui vont émerger de cette étude. Par exemple, une autre question est la suivante : « quel opérateur plus simple correspondant à la composition d'opérateurs comme dans -5 + 7 + 4 – 10 ? » La familiarisation des élèves avec ce type de travaux les amène à une nouvelle question cruciale : « peut-on considérer ces opérateurs comme des nombres ? » Ou encore : « pour savoir si ce sont des nombres, est-il possible de faire avec eux ce qui se fait avec des nombres ? » Apporter une réponse engage à définir la possibilité d'opérations et d'un ordre sur les relatifs.

Contrairement à l'enseignement traditionnel, l'étude par les élèves de questions, d'un type très différent de celui des activités des manuels, permet la production des mathématiques au programme par une communauté de « petits mathématiciens » que dirige leur professeur. La possibilité de réponses par les élèves est établie à partir d'une analyse a priori de leurs connaissances antérieures et de la nature du savoir ; elle est confirmée a posteriori par l'observation de cet enseignement depuis de nombreuses années, dans diverses classes. L'avancée temporelle est assurée par la recherche des sous-questions issues de la question principale, génératrice de beaucoup de mathématiques. Ce travail aboutit à la production justifiée de techniques pour les divers types de tâches mathématiques du programme. Le rôle du professeur ne consiste plus à délivrer le savoir mais à accompagner les élèves dans une construction dont ils sont auteurs : reformulation de questions, de réponses, relance de l'étude, organisation de synthèses, etc. L'exercice du métier de professeur change profondément au bénéfice des apprentissages et de l'intérêt des élèves envers l'étude des mathématiques.