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Thème mathématique

 Proposition d'un début de parcours de cycle conduisant, par la mise en recherche des élèves, à l'étude du théorème de Thalès

Auteur

 Institut Français de l'Education - ENS de Lyon

Apports essentiels d'un parcours d'étude et de recherche

 L'enseignement sous forme de parcours permet la construction d'un savoir cohérent sans un découpage en chapitres apparaissant souvent disjoints aux yeux d'élèves, dont le sens global tend à s'échapper. Cet apport nécessite l'étude du parcours dans sa globalité, chaque nouvelle question se nourrissant des réponses précédentes.

Remarques pour le professeur

 Ce type d'enseignement diffère de manière significative de la forme traditionnelle sous laquelle sont enseignées les mathématiques. Aussi, notre proposition nécessite-t-elle un travail préalable et exigeant de prise en main par le professeur. Des indications sont données pour cela dans le corps du texte, mais des modifications par l'enseignant qui ne seraient pas didactiquement contrôlées conduisent à des échecs, tant d'enseignement que d'apprentissage.

Résumé

Déjà mentionnée et démontrée dans les Éléments d'Euclide (livre 6, proposition II), la propriété de Thalès, nommée « intercept theorem » (propriété d'interception) chez les anglo-saxons, fait partie d'un ensemble de notions que les élèves de collège doivent maîtriser à divers degrés, des triangles semblables à la proportionnalité en passant par la fonction linéaire, la similitude et la « droite des milieux ». Hilbert (Les fondements de la géométrie) le considère d'ailleurs comme « le théorème fondamental de la similitude ».

Un enseignement sous forme de parcours permet d'aborder et de faire rencontrer aux élèves plusieurs de ces éléments centraux du curriculum mathématique tout en soulevant diverses approches d'un même problème. Confrontés à la « comparaison » de triangles ayant un ou deux angles communs, après découpage, sans plus d'information, les élèves voient apparaître, dans le second cas, des segments dont les supports sont parallèles. Remobilisant, pour la démonstration, des savoirs anciens liés à la caractérisation du parallélisme par les angles, les élèves ont ainsi l'occasion de voir l'évolution d'une conjecture visuelle à une preuve.

 Des questions relançant l'étude permettent d'introduire et de définir les triangles semblables, de mettre en évidence les effets de l'homothétie, de retrouver la proportionnalité, puis enfin d'étudier la configuration de Thalès avec l'égalité des rapports propre au théorème tel qu'enseigné aujourd'hui. Plusieurs démonstrations du théorème dans des cas particuliers sont ensuite mises à l'étude, la première d'entre-elles débouchant sur les propriétés liées à la « droite des milieux » dans le triangle. Ces propriétés sont alors vues comme un cas particulier du théorème de Thalès.

À la fois riche et ambitieux, ce parcours d'étude et de recherche permet aux élèves de rencontrer de très nombreux points du programme de collège tout en montrant également les raisons d'être de son existence par le calcul de longueurs inaccessibles.