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Thème mathématique

 Enseignement des équations au cycle 4

Auteur

 Institut Français de l'Education - ENS de Lyon

Apports essentiels d'un parcours d'étude et de recherche

 L'enseignement sous forme de parcours permet la construction d'un savoir cohérent sans un découpage en chapitres apparaissant souvent disjoints aux yeux d'élèves, dont le sens global tend à s'échapper. Cet apport nécessite l'étude du parcours dans sa globalité, chaque nouvelle question se nourrissant des réponses précédentes.

Remarques pour le professeur

 Ce type d'enseignement diffère de manière significative de la forme traditionnelle sous laquelle sont enseignées les mathématiques. Aussi, notre proposition nécessite-t-elle un travail préalable et exigeant de prise en main par le professeur. Des indications sont données pour cela dans le corps du texte, mais des modifications par l'enseignant qui ne seraient pas didactiquement contrôlées conduisent à des échecs, tant d'enseignement que d'apprentissage.

Résumé

 Quoique encore non algébrisés, les problèmes de résolution d'équations sont très anciens dans l'histoire de l'humanité. Les babyloniens savaient résoudre des équations du premier et du second degré bien qu'ils n'aient mis au point aucune technique générale de résolution ; chaque équation devant être retravaillée indépendamment des autres. (Tablette n°13 901 du British Museum). Les égyptiens également s'intéressaient à ce type de problèmes (Papyrus de Rhind – 1650 avant JC, long rouleau de 5 m conservé lui aussi au British Museum).

Le début de parcours d'étude et de recherche proposé, en partant de questions auxquelles les équations donnent réponse, met en lumière leur nécessaire étude algébrique au collège. En effet, depuis les Élémens d'algèbre de Clairaut (1746), l'algèbre élémentaire peut être vue comme la science des calculs sur les programmes de calcul. Ces questions, génératrices du savoir visé au cycle 4, sont centrées sur l'étude de deux programmes de calcul. Il est alors proposé aux élèves de chercher la (les) valeur(s) qui donne(nt) le même résultat par ces deux programmes de calcul.

Plusieurs questions clés sont soulevées en classe, chacune d'elles venant relancer l'étude et permettant l'amélioration des techniques mises au point. Par exemple, la technique consistant à tester des valeurs à la calculatrice, valable pour des valeurs entières « assez » petites, ne convient plus dès que la valeur recherchée est un entier « plus grand » ou que l'on cherche à approcher un rationnel non décimal. L'utilisation du tableur s'impose alors d'elle même, comme il en est ensuite de la mise en équation et de sa résolution lorsque l'on veut déterminer exactement ce rationnel. La question de l'unicité de la solution est également suggérée aux élèves par le biais de deux programmes de calcul équivalents. La technique de résolution, basée sur l'équivalence « a = b ssi a – b = 0 », s'appuie sur le calcul de la différence entre les résultats obtenus avec les deux programmes de calcul.

Les équations sont ainsi vues comme des objets efficaces et pertinents apportant une réponse fiable à ce type de questions mathématiques. L'étude systématique de leur résolution, dès lors motivée, peut ainsi se faire de manière efficace et sereine, en minimisant chez les élèves les confusions entre transposition et division.