Post du forum : Equipe Exprime
Aller au niveau supérieurContexte
Le travail de l'équipe EXPRIME s'est prolongé cette année par la mise au point d'un prototype de ressources s'appuyant sur le questionnement suivant : En quoi les problèmes de recherche et la dimension expérimentale qu'ils contiennent permettent-ils des apprentissages mathématiques (et pas seulement transversaux) ?
L'ensemble des ressources sur ce thème sera à terme disponible sur le site EducMath de l'INRP, EducMath , et il sera possible par une navigation simple d'approfondir et de prolonger de très nombreuses notions abordées. Seront à disposition : des textes théoriques sur la dimension expérimentales en mathématiques, des ressources concernant le problème ouvert, des textes similaires à celui pré- senté ici mais concernant d'autres situations mathématiques, des approfondissements concernant cette situation.
Concernant ce document, son objectif premier est de faciliter la mise en oeuvre d'un problème particulièrement riche en mettant en particulier en évidence ses potentialités et celles qu'il dévoile chez les élèves.
Dans ce but, nous proposons une vue de l'ensemble des objets mathématiques que l'on peut espèrer travailler lors de la mise en oeuvre de ce problème dit ici des fractions égyptiennes . Cette vue a pu être obtenue par une analyse approfondie s'appuyant sur de nombreuses expérimentations à tous les niveaux du collège et du lycée.
Cette situation peut irriguer plusieurs séances de mathématiques et ses prolongements permettre encore de nombreuses heures de découvertes mathématiques.
Décomposer l'unité en somme de fractions de numérateurs 1
cette situation mathématique a été déclinée en une situation de classe dont l'énoncé était le suivant :
Peux-tu trouver deux entiers naturels distincts a et b tels que 1 = 1/a + 1/b ?
Peux-tu trouver trois entiers naturels distincts a, b et c tels que 1 = 1/a + 1/b +1/c ?
Peux-tu trouver quatre entiers naturels distincts a, b, c et d tels que 1 = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ?
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Quelques éléments d'analyse
Résumé de l'analyse mathématique
La réponse à la première question est donc non, il n'existe pas deux tels entiers
La réponse à la deuxième question est oui, avec une unique solution : (2,3,6).
La réponse aux questions suivantes est ensuite toujours oui avec 6 puis 72 puis 2320 puis 245765 puis 151182379 solutions avec des entiers tous distincts. Voici par exemple des n-uplets solutions à diérents rangs :(2,3,10,15) ;(2,3,7,42) ;(2,4,5,6,20) ;(2,5,6,10,30) ;(2,3,7,43,1806) ;...
Résumé de l'analyse didactique
Nous ne développerons pas ici d'analyse sur les compétences liées à l'activité de résolution de problème proprement dite ( savoir mettre en oeuvre une démarche scienti que, savoir oser, réaliser des essais avec ou sans outils, dégager des sous-problèmes, changer de cadres, conjecturer, se poser le problème de la démonstration, de la preuve...). On renverra le lecteur intéressé à des ouvrages comme celui de Gilbert Arsac, Gilles Germain, Michel Mante sur le problème ouvert.
L'objectif ici est de proposer une liste d'objets, de propriétés, de raisonnements mathématiques que l'on sait susceptibles d'être mis en oeuvre lors d'une telle activité. Tous les éléments de cette liste ont été observés lors d'expérimentations dans de vraies classes, dans des conditions de fonctionnement habituel.
