Equipe CASYOPEE

Jean-Baptiste LAGRANGE,             DIDIREM et IUFM de Reims
Jean-Michel GELIS,                         IUFM de Versailles
Bernard Le FEUVRE,                         Lycée René Cassin - Montfort-sur-Meu
Xavier MEYRIER,                                     Lycée Maupertuis - Saint-Malo

Tout d’abord une introduction, pour inscrire l’ensemble de ces questions dans la dynamique du projet Casyopée. Depuis 2 ans, ce projet est l’un des 6 Didactic Digital Artefacts (DDA) du projet européen ReMath (http://remath.cti.gr). Cette nouvelle appartenance a modifié la dynamique du projet ainsi que les relations entre usagers et concepteurs.

Intéressons-nous à la première partie de l’histoire de Casyopée, de 2001 à 2005. A l’origine, le projet visait à concevoir un environnement destiné aux élèves de lycée et dédié à l’étude de fonctions dans les cadres graphique, numérique et formel. Il ne proposait pas d’exercices clé en main, mais se concevait comme un environnement ouvert, offrant des facilités pour étudier les fonctions. Casyopée intégrait, dès l’origine, un noyau de calcul formel et permettait d’apporter des réponses à la difficulté d’utilisation des systèmes de calcul formel en classe.

Autour du projet, s’est créée dans cette période une communauté d’usagers dont les remarques ont été prises en compte dans le développement. Les retours sur les usages de Casyopée ont en effet permis d’améliorer l’interface, d’expliciter certaines connaissances, d’affiner certains gestes, de mettre au point des fonctionnalités nouvelles. L’objectif était de s’inscrire dans le curriculum des classes de lycée et les propositions des usagers ont permis d’approcher cet objectif. La possibilité de poser des conjectures a été développée (sur les sens de variations ou les signes de fonctions par exemple). La conduite de justifications et de preuves a également été rendue possible à l’aide d’un ensemble de théorèmes disponibles dans l’environnement. 

Dans cette première partie de la vie du projet (cf bulletin vert n° 466 de l’APMEP, Un logiciel utilisant le calcul formel pour le lycée), concepteurs et usagers partageaient le même objectif, développer un ensemble d’outils et de fonctionnalités permettant une étude satisfaisante des fonctions.

Depuis 2005, Casyopée est entré dans une seconde phase de son développement. Dans le cadre de sa nouvelle appartenance au projet ReMath, un module de géométrie dynamique spécifique lui a été adjoint. La raison de ce choix réside dans le fait que les différents usages de Casyopée proposés jusqu’ici étaient essentiellement de nature algébrique (par exemple, en se centrant sur des réécritures d’expressions). L’existence du module de géométrie dynamique permet à présent d’ouvrir l’environnement à des situations de modélisation, dans lesquelles les fonctions se présentent comme des outils de résolution.

Le développement du projet procède par cycles dont les principales étapes sont : (1) une tâche clairement inscrite dans le curriculum est identifiée (généralement plutôt par les concepteurs, même si les usagers peuvent émettre des propositions) ; (2) des situations sont conçues et sélectionnées, en interaction entre concepteurs et usagers ; (3) des expérimentations sont organisées et conduites par les usagers ; (4) des analyses conduisent à intégrer des éléments issus des bilans et orienter l’évolution du projet.

Cette année, les tâches sélectionnées étaient essentiellement relatives à des situations de modélisations dans le domaine de la géométrie, conséquence du développement du nouveau module de géométrie dynamique de Casyopée.

D’une façon générale, l’initiative du développement du projet est du côté des concepteurs. En effet, ce sont des hypothèses liées à la recherche sur l’usage des TICE au lycée qui motivent les directions de travail arrêtées.

Par exemple, Casyopée a été conçu pour répondre aux difficultés d’intégration dans les classes des logiciels de calcul formel, que le côté ouvert rendait problématique à exploiter. Le projet se présentait à l’origine comme une réponse possible à l’exploitation en classe du calcul formel. Il faisait l’hypothèse de la nécessité d’un environnement d’apprentissage, illustrait cette démarche dans le domaine des fonctions et donnait des statuts clairement identifiés aux littéraux (variables de fonctions, inconnues des équations, paramètres des situations qui permettent des généralisations).

Un autre exemple est fourni par le développement actuel du projet. Les concepteurs sont à l’origine du développement du module de géométrie dynamique. Ce choix fut motivé par le fait que l’environnement initial, qui proposait des facilités d’étude graphiques, numériques et formelles des fonctions, confinait pour partie l’élève dans un contexte algébrique. L’hypothèse posée fut celle qu’une meilleure appropriation, par les élèves, de la notion de fonction, passe par des situations de modélisation, où les fonctions apparaissent comme des outils de résolution. De nombreuses situations, dans le curriculum, proposent, dans des figures géométriques qui comportent des points mobiles (sur un segment ou une droite par exemple), l’étude des variations d’aires (ou plus généralement de calculs géométriques, produits ou sommes de distances par exemple) lorsqu’une distance donnée varie. Ces situations sont l’occasion pour les élèves de construire des fonctions (à partir de leur domaine de définition) et de les exploiter pour conduire les études demandées (recherche de sens de variations, d’extrema, de limites, d’égalités…). 

Le projet Remath aborde en ce moment une nouvelle phase de son évolution, celle des expérimentations croisées. Le projet prévoit que les équipes des différents pays en jeu échangent leurs logiciels pour les expérimenter. Ainsi, Casyopée sera proposé à des collègues italiens qui l’utiliseront dans leurs classes. Cet état de fait a déjà eu une première conséquence sur l’environnement Casyopée. L’équipe italienne a en effet souhaité disposer de cercles dans la géométrie dynamique, cercles qui n’avaient pas été prévus jusqu’ici pour des raisons de coût de développement. D’autres points apparaîtront certainement au fil des expérimentations, les relations entre ces nouveaux usagers et les concepteurs infléchiront sans nul doute l’évolution de l’environnement.

Dans la première partie du développement du logiciel, c'est-à-dire avant son intégration dans ReMath, l’objectif était de procéder à des expérimentations avec Casyopée et d’analyser son intérêt didactique. Lors de cette phase, des réalisations concrètes furent rédigées, qui relataient des exemples d’usages, avançaient des analyses sur le plan des apprentissages pour les élèves et sur le plan des pratiques de classe pour les enseignants. Le projet ReMath attache une grande importance aux théories impliquées dans les différents logiciels qui le composent. En conséquence, dans la seconde phase de son développement, le projet Casyopée porte une attention particulière aux théories, en particulier en lien avec la conception du nouveau module de géométrie dynamique et des nouvelles fonctionnalités qui en découlent. Notre objectif est d’évaluer les équilibres que l’usage de l’environnement modifie auprès des élèves, ainsi que ses apports sur le plan des représentations, des situations, des tâches et des techniques possibles. Le point de vue retenu est celui de l’élève mais aussi de l’enseignant qui doit accompagner l’appropriation par les élèves de l’instrument et la construction des gestes nécessaires à son exploitation.

Pour mener à bien ces analyses qui sont en cours de construction, nous nous référons à des cadres théoriques que nous évoquons ci-dessous, illustrons à l’aide d’exemples et qui visent à penser l’utilisation de Casyopée, en cerner la pertinence, en situer les enjeux, en repérer les limites ou les manques.

Kieran distingue trois catégories d’activités algébriques : (1) générationnelles, c’est à dire relevant de la dépendance fonctionnelle, de la mise en relation entre variables indépendante et dépendante ; (2) « global-meta », qui se réfèrent à la modélisation et la généralisation, à l’aide de paramètres par exemple ; (3) transformationnelles, qui se rapportent aux expressions symboliques et à leurs différentes écritures équivalentes. Les travaux développés cette année au sein de l’équipe s’inscrivent dans ce cadre. L’axe majeur du développement du projet consiste à permettre, au sein de l’environnement, le traitement d’activités « global-meta » dans le domaine géométrique en veillant à leur articulation avec d’autres activités qui leur font suite.

Comme on le voit, dans la conception d’un environnement d’apprentissage ou l’étude de son impact dans les pratiques, la question des représentations est cruciale. De ce point de vue, le concept de transposition informatique, développé par Balacheff nous permet d’expliciter nos choix, d’en débattre, de rendre tangibles les implicites que nous pouvions avoir. Cet aspect de notre projet, en cours d’étude, aborde l’articulation entre les représentations internes, en machine, des objets en jeu et les choix de leur représentation à l’interface. Il concerne également les façons, pour un utilisateur, d’agir sur ces représentations, de les définir à partir de gestes déterminés, de les modifier, les transformer, de les faire évoluer.

La question se pose par exemple à propos des domaines de définition des fonctions, que traite et gère l’environnement Casyopée. Ils sont incontournables et indissociables de la définition des fonctions et leur présence au sein du logiciel est affirmée à de multiples reprises. La création de fonctions à partir de grandeurs géométriques impose de statuer sur le traitement réservé à la spécification de leur domaine de définition. Il a fallu trouver un équilibre entre les possibilités offertes par le système de calcul formel sous-jacent (lequel ne parvient pas toujours à déterminer ce domaine), la nécessaire initiative que l’on doit laisser à l’utilisateur et les capacités de contrôle que l’environnent peut exercer sur les propositions d’un utilisateur.

Cette approche nous permet également de mettre en évidence les effets induits par l’usage de Casyopée sur le plan des connaissances. Par exemple, des expérimentations ont montré que les élèves de seconde butaient, dans des situations de modélisation en géométrie, sur la définition, avec Casyopée, de domaines de définition de fonctions. Leurs pratiques usuelles en classe les amènent en effet habituellement à définir les domaines de définition à partir des expressions algébriques qui leur sont fournies et non à les inférer des contraintes de la situation et du champ d’appartenance de la grandeur géométrique indépendante. D’une certaine façon, Casyopée a déplacé des connaissances habituellement travaillées par les élèves, a permis de les approcher dans des configurations nouvelles, de leur donner sens par des moyens d’action et de contrôle dans ces contextes. 

Les concepts de situations didactiques de Brousseau et de praxéologies développées par Chevallard nous permettent de mieux penser à la fois l’activité de l’élève et les choix des situations. La distinction entre tâches données aux élèves, techniques disponibles pour les résoudre et discours sur ces techniques permet de se défaire d’approches naïves selon lesquelles un environnement informatique offrirait un accès direct aux savoirs. Plus particulièrement, les techniques constituent, à nos yeux, un niveau d’étude intéressant qui aide à prendre la mesure des apports d’un logiciel, en mettant en regard les techniques habituellement proposées aux élèves et celles que fournit l’environnement.

Par exemple, des expérimentations conduites en seconde avec Casyopée ont montré la difficulté pour les élèves de faire le lien entre la détermination de l’extremum d’une fonction et l’étude de la différence, par factorisation, entre cette fonction et sa valeur particulière en cet extremum. Cette technique générale, étude d’une différence pour déterminer un extremum, trouve parfaitement sa place au sein de Casyopée et permet même de l’aborder dans des contextes plus difficiles qu’en papier/crayon, par exemple en présence de paramètres destinés à généraliser des propriétés. De ce point de vue, notre environnement donne du poids et une nouvelle vie à des techniques précises qui trouvent les fonctionnalités nécessaires à se réaliser. 

De même, les facilités de justifications disponibles au sein de Casyopée (par exemple pour déterminer, à l’aide de fonctions de référence, des sens de variations ou de signes de fonctions) sont autant de techniques existantes qui trouvent dans le logiciel une expression et une importance particulières. Signalons au passage que d’autres techniques présentes dans l’environnement n’ont pas d’équivalents en papier/crayon, telles celles qui sont relatives à la recherche d’une fenêtre graphique adaptée à l’étude en cours.

Notre réflexion se porte actuellement sur la place et le rôle de l’activité expérimentale que pose avec acuité le nouveau module de géométrie dynamique disponible dans Casyopée. Des techniques spécifiques sont à délimiter et définir, pour accompagner chez l’élève la construction de concepts liés aux fonctions, par exemple au travers de  tâches de modélisation de situations géométriques où l’on vise à étudier des variations de grandeurs en fonction d’autres grandeurs. Notre environnement offre aux élèves et aux enseignants l’opportunité de dégager, à partir d’une exploration en acte de la situation géométrique, un ensemble de techniques à repérer dans les pratiques des élèves, à choisir et exprimer afin qu’elles s’inscrivent dans le discours de l’enseignant et participent d’une véritable technologie. Ces techniques concernent par exemple la spécification d’un domaine de définition d’une fonction définie à partir des grandeurs géométriques, spécification qu’il est possible d’obtenir par exploration du domaine d’évolution de la variable indépendante (ce qui peut être fait par déplacement des points de la figure). Ces techniques peuvent intégrer des prises d’informations numériques en des points particuliers, en valeurs exactes ou approchées. Elles peuvent procéder d’une approche « en acte » de la future fonction  et de premières conjectures sur ses variations et de ses extrema,

Un autre cadre théorique retient notre attention, celui de l’approche instrumentale développée par Rabardel.  Nous souhaitons analyser avec soin l’ensemble du processus qui permet à l’élève de passer de l’artefact à l’instrument, de mettre en place des schèmes d’actions instrumentées. Les expérimentations que nous avons conduites en terminale s’attachent à expliciter l’accompagnement de la genèse instrumentale chez les élèves, à suivre les instrumentalisations que ceux-ci peuvent mettre en place. Les contraintes existantes dans le logiciel, les liens entre représentations, les gestes ou actions nécessaires pour créer et définir des fonctions à partir de grandeurs géométriques imposent une construction avancée de l’instrumentation chez l’élève.

Par exemple, la compréhension par les élèves des messages renvoyés par le logiciel lors d’un refus de création de fonctions à partir de grandeurs géométriques, ne peut être assurée que si l’élève dispose d’une habileté suffisante pour expliciter au sein du logiciel les informations nécessaires. Un refus de création de fonction peut par exemple provenir du fait que la grandeur pressentie comme image dépende en réalité, non seulement de la grandeur variable supposée, mais également d’une seconde grandeur non identifiée par l’élève dans un premier temps. L’impossibilité d’exprimer de façon univoque la grandeur indépendante dans l’expression de la grandeur dépendante peut être une autre cause d’échec d’inférence de fonction. L’appropriation des retours et réactions de l’environnement passe par une maîtrise de l’environnement en tant qu’instrument pour définir par exemple des gestes d’explorations numériques qui, en déplaçant les points sur la figure géométrique, vont permettre, en acte, de repérer le comportement de l’expression géométrique supposée dépendante ou les effets d’autres grandeurs sur celui-ci.