Nous allons décrire dans cette section la mise en Å“uvre d’une situation mathématique, en environnement TI-Navigator, dans une classe de seconde (29 élèves) dont le professeur est l’un des auteurs de cet article, Manuel Péan. Les élèves ne disposent pas en permanence des calculatrices : elles ne leur sont prêtées que pendant les séances exploitant le dispositif TI-Navigator. Ces séances ont été observées par deux membres de l’équipe CROME, et ont ensuite été analysées à l’aide d'un questionnement/débat interne à l’équipe.

2.1 Le contexte et les objectifs de la séance

La situation mathématique est la suivante : « Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB=AC= 10 cm, quelle est l'aire de ce triangle ? ».

L’objectif technologique est d’organiser une première rencontre de travail (le matériel a été déjà présenté lors d’une séance précédente, mais pas exploité par les élèves), à la fois avec les calculatrices graphiques et avec le travail en réseau. L’expérience acquise par l’équipe (Hivon 2006) permet d’envisager de mettre à profit les potentialités :

• des calculatrices pour automatiser des calculs répétitifs, construire un grand nombre de points dans le plan repéré, construire la courbe représentative de la fonction considérée ; 

• du réseau pour traiter, dans le cadre d’un débat scientifique, de la pertinence des choix (de fenêtrage par exemple) et des résultats et pour permettre la construction collaborative de la notion de courbe. 

• utiliser la calculatrice comme réponse à un problème posé... par les élèves. Dans un premier temps, les élèves seront amenés à effectuer des calculs à la main, soit à partir de leurs mesures sur leurs figures, soit en réitérant l'utilisation du théorème de Pythagore. Il a été choisi de faire en sorte que ces calculs, répétitifs et laborieux, mettent les élèves en situation de demande d'un outil permettant l'automatisation de ces calculs. La calculatrice est un tel outil, qui nécessite bien sûr, pour répondre à la demande, la connaissance du lien formel entre la longueur BC et l'aire du triangle ; 

• utiliser les tableaux de valeurs comme des ponts du crayon à la fonction. L'utilisation des tableaux de valeurs permet d'effectuer le lien entre le travail réalisé à la main et le calcul automatisé, il permet d’introduire un lien fonctionnel entre deux colonnes de nombres : 

• privilégier la représentation graphique de la fonction (au lieu d’induire une diminution du pas permettant de construire des points de plus en plus proches les uns des autres et donc de « tendre » vers une courbe graphiquement « continue »). Il a semblé en effet que la stratégie de la diminution du pas pouvait entraîner une fixation des élèves vers une multiplication des calculs faisant perdre de vue le cadre du problème ; 

• préparer les conditions d’une discussion sur la pertinence du fenêtrage. Le choix du fenêtrage est toujours délicat et reste durablement un obstacle difficile à franchir. Il a été décidé ici de régler, avant la séance, les paramètres de fenêtre des différentes calculatrices sur des valeurs différentes les unes des autres, l'objectif recherché étant de créer les conditions d'un débat sur le choix d'une « bonne » fenêtre de représentation.

Pour permettre le développement du débat et d’une co-élaboration des solutions parmi les élèves, la question est posée sous une forme relativement ouverte. La résolution de ce problème s'est étalée sur trois séances :

• une première séance, d'une vingtaine de minute ;
• une seconde séance (une heure) le lendemain ;
• une troisième séance (15 mn), trois jours après la précédente.

2.2 Dévolution du problème et travail personnel (20 mn)

Dès l'entrée en classe, les élèves découvrent le dispositif (Figures 6 et 7). Le professeur invite les élèves à comparer d’abord, à l’intérieur de chaque groupe, les résultats qu'ils ont obtenus. Dans la plupart des groupes, les élèves se sont répartis les valeurs. Ainsi, au lieu que chaque élève ait effectué cinq calculs d'aire, beaucoup n'en ont fait qu'un ou deux selon une organisation coopérative du travail que nous étudierons plus loin. La détermination de la hauteur est effectuée soit par simple mesure sur le dessin, soit par utilisation du théorème de Pythagore. Après cette première mutualisation des résultats internes à chaque groupe, le professeur invite les élèves à se connecter au TI-Navigator selon la procédure expliquée précédemment. Au fur et à mesure des connections, les noms des élèves « branchés » apparaissent sur l’espace commun de travail (Figure 8).

Figure 6. Disposition de classe : calculatrices et hubs

Figure 7. Une vue partielle du dispositif

Figure 8. L’espace commun de travail indique que sept des seize calculatrices sont connectées au réseau

L'enseignant choisit alors la configuration repère commun (§ 1.2), qui permet d'afficher un plan muni d'un repère cartésien dans lequel les élèves pourront – depuis leur calculatrice – en temps réel et simultanément, placer les points de coordonnées (base du triangle, aire du triangle). Chaque groupe envoie ses 5 points pour affichage dans l’espace commun de travail. On obtient alors un nuage de points (Figure 9), qui est évidemment problématique (doit-on obtenir une courbe et si oui, quelle devrait être sa forme ? Des points différents peuvent-ils avoir même abscisse, ce qui traduirait le fait que deux triangles ayant les mêmes côtés pourraient avoir des aires différentes ?).

Figure 9. Le nuage de points (première version) dans le repère commun.

Le professeur demande si le résultat est celui auquel on pouvait s'attendre. Un élève affirme que non en argumentant qu’il devrait y avoir proportionnalité : la plupart des élèves sont issus en effet de la classe de troisième où les situations de proportionnalité sont les plus fréquemment étudiées, ce qui peut expliquer que beaucoup s'attendaient à voir des points alignés. Une discussion s'engage dans la classe : l'aire est-elle, ou non, proportionnelle à la longueur BC ? Plusieurs arguments sont avancés quant à la non-proportionnalité, mobilisant un ensemble de ressources sémiotiques (Robutti et al, à paraître) :

• analyse de la situation initiale : des élèves évoquent la figure d'origine et l'influence de BC sur l'aire du triangle. Ils tentent d'expliquer que l'aire est « au début » toute petite puis qu'elle grandit et qu'ensuite elle « rediminue ». Il ne peut y avoir proportionnalité ;
• implication physique : des élèves s’appuient sur une gestuelle. Ils placent leurs deux mains de manière à former une sorte de « toit » représentant les deux côtés du triangle de même longueur. Ils jouent alors sur « l'angle au sommet » que forment leurs mains pour tenter d'expliquer les variations de l'aire ; l'un d'eux s'appuie sur cette gestuelle pour affirmer qu'il existe une valeur de BC pour laquelle l'aire est maximale : « l’aire est au départ très petite, puis elle augmente, elle augmente, elle augmente jusqu’à un certain point puis elle diminue à nouveau ».
• registre graphique : les points semblent former une courbe, ce qui traduit pour des élèves la non-proportionnalité ;
• registre numérique : certains élèves indiquent que si BC vaut 0 ou 20, l'aire du triangle est nulle ce qui invalide l'hypothèse de proportionnalité.

La forme du nuage de points incite aussi les élèves à remettre en cause les points « aberrants ». Il faut noter que les points de même abscisse et d'ordonnées distinctes ne sont pas repérés par la classe. L'équipe avait anticipé cette situation et avait décidé de ne pas intervenir à ce moment (la classe est encore loin de la modélisation en terme de « fonction » : ainsi, le fait qu'une même valeur ne puisse avoir plusieurs images par une fonction ne fait pas encore partie des processus d'identification des fonctions par les élèves).

Sur proposition d'un élève -proposition acceptée par la classe- les figures sont tracées plus précisément, améliorant la qualité de la mesure de la hauteur issue de A et donc la précision du calcul de l'aire du triangle. Le professeur lance une nouvelle session d’écran commun et les élèves envoient leurs nouveaux points. La classe obtient ainsi un nouveau nuage (Figure 10).

Figure 10. Le nuage de points (seconde version) dans le repère commun

Le processus de construction de points aboutit ainsi à un objet concret, construit collaborativement et identifié par la classe, manifestation de ce que Sfard (1991) appelle la réification, étape nécessaire dans les apprentissages mathématiques. Dans l’environnement TI-Navigator, cette réification s’accompagne aussi d’un détachement de l’expérience personnelle : l’objet construit est le résultat d’un ensemble d’apports des élèves de la classe. L’idée que cet objet est une courbe relativement lisse, ou régulière, émerge. Le professeur demande ensuite à la classe la valeur de BC pour laquelle l'aire du triangle sera maximale. L'idée qu'il faudrait « beaucoup plus de points » pour pouvoir conclure apparaît immédiatement. Il est important de rappeler ici que les élèves en sont à leur première rencontre avec les calculatrices graphiques et avec les fonctions, l’idée de changer de cadre et de définir une fonction permettant d’utiliser le traceur de courbes n’émerge donc pas naturellement. L'ampleur de la tâche apparaît aux élèves, qui ont déjà construit de nombreux triangles. Leur demande à l'enseignant est donc de savoir s'il existe une méthode permettant de construire des points en grand nombre. L'enseignant indique alors que la calculatrice permet de construire de nombreux points. Seule condition, il faut trouver « une formule » permettant de calculer l'aire à partir de la valeur de BC. La recherche de l'expression est donc motivée par le fait d'obtenir à moindre coût le plus grand nombre de points possibles. Pour la séance suivante, les élèves doivent établir une formule permettant de trouver l'expression de l'aire en fonction de BC.

2.4 Etude algébrique et graphique du problème en groupes (15 mn)

Le début de séance est consacré à l'écriture de l'expression de l'aire en fonction de BC. Après avoir interrogé les élèves sur ce qu'ils avaient trouvé, le professeur choisit de proposer une correction magistrale appuyée sur un jeu de questions réponses, s’appuyant sur les résultats des élèves, guidant les élèves vers l'expression :

Une fois le consensus réalisé dans la classe sur cette expression, le professeur propose d'utiliser le mode « Table de valeurs numériques » de la calculatrice afin d’obtenir sans peine un grand nombre de résultats, et d’approcher ainsi la valeur de BC pour laquelle l'aire est maximale. Il indique que l'expression, dans laquelle on a remplacé BC par « X » (le professeur explique à ce moment que c’est une contrainte de la calculatrice) doit être saisie dans le répertoire de fonctions, puis propose un moyen de créer une liste des abscisses des points. La configuration de mosaïque d’écrans (§ 1.2) est alors choisie pour faire apparaître, dans l’espace commun de travail, les résultats des élèves (Figure 11).

Figure 11 : La mosaïque des tableaux de valeurs des huit calculatrices

Les élèves constatent alors que leurs tables de valeurs ne sont pas identiques. A leur demande, les expressions saisies sont affichées. Une discussion s'engage alors sur le rôle des parenthèses dans l'expression. Un débat scientifique (Legrand 1993) s’engage alors. La classe, avec l’aide du professeur, dégage un consensus sur une syntaxe acceptable. Les expressions exactes sont retenues car elles génèrent des valeurs proches de celles obtenues précédemment, qui servent donc de valeurs témoins. On notera (Figure 9) que le professeur a fait le choix d’afficher, sous chaque table, les noms des groupes auteurs. Comme on le verra plus loin, ce point ne semble cependant pas être un facteur déterminant dans l'implication des élèves au moment d'une remise en cause publique de leur production. Le professeur demande aux élèves comment obtenir plus de points. L'ensemble des groupes modifie le pas, majoritairement vers 0,1.