La nouvelle épreuve expérimentale de mathématiques reprend pour l’instant, dans sa durée, sa forme et son déroulement, les modalités déjà bien établies de celles de sciences physiques et de SVT. Rien d’incohérent là-dedans, puisque l’un des objectifs de la réforme est d’attirer à nouveau des élèves vers les mathématiques en rétablissant l’équité avec les autres spécialités de terminale S. Regrettons toutefois qu’il en résulte une épreuve largement formatée a priori, ne laissant guère de prise à l’expérimentation d’autres formules d’évaluation. On pourrait, par exemple, déplorer que l’épreuve dure seulement une heure : peut-on vraiment, en si peu de temps, explorer une situation riche ne relevant pas de l’application immédiate du cours et comportant suffisamment de paramètres pour justifier l’emploi d’un tableur ou d’un logiciel de géométrie dynamique ? Les premiers sujets proposés en 2007 sont plutôt de nature à renforcer cette inquiétude : en effet, certains d’entre eux comportent deux parties artificiellement articulées, dont la seconde est, en gros, une démonstration classique faisant double emploi avec l’épreuve traditionnelle, ce qui réduit à la portion congrue le temps effectivement consacré à l’évaluation des compétences proprement expérimentales.

Pourquoi pas un contrôle continu ?

Dans ces conditions, ne serait-il pas plus raisonnable que l’épreuve prenne la forme d’un contrôle continu, à partir de la notation, par le professeur de la classe, des comptes rendus de TP rédigés tout au long de l’année ? Cependant, j’ai envie de dire que là n’est pas l’essentiel. Quels que soient les avatars de l’épreuve, nous savons bien que le système s’auto-régulera pour que les élèves obtiennent, au final, trois points sur quatre en moyenne, comme dans les autres disciplines et ainsi que ce fut le cas lors des premières expérimentations. Plus sérieusement, augmenter les notes de mathématiques ne saurait être le véritable but de l’opération : il aurait suffi, pour cela, de concevoir des sujets plus courts et plus simples pour l’épreuve traditionnelle. En fait, ce qui importe véritablement, ce sont les changements que la nouvelle épreuve est susceptible d’introduire en amont dans l’enseignement : former les élèves à une réelle pratique des TIC et à une démarche significative d’investigation.

En ce qui concerne les TIC...

Le plan « informatique pour tous » a beau dater de vingt ans, les calculatrices et les logiciels usuels de mathématiques ont beau avoir été introduits dans les programmes depuis plusieurs années, on reste encore loin d’une utilisation régulière de ces outils dans les classes. Bien entendu, il ne s’agit pas de promouvoir les TIC pour elles-mêmes, ni d’y consacrer quelques heures par-ci par-là en marge d’un enseignement traditionnel demeuré inchangé. Michèle Artigue le rappelle clairement dans sa question : pour elle comme pour moi, les TIC ne prennent sens qu’en tant qu’outils modernes complémentaires au service d’une éducation mathématique conçue dans sa globalité. De fait, en tant qu’historien, j’aime bien l’expression « technologies de l’information et de la communication », car, dans les mots qui la composent, il n’y a rien, si l’on y regarde d’un peu plus près, qui soit une référence obligée à l’informatique. De la communication, de l’information, des technologies, il y en a toujours eu en mathématiques : doigts, cailloux, papier, crayon, règle, compas, boulier, règle à calcul, tables de logarithmes, systèmes articulés, planimètres, intégraphes et toute une kyrielle d’autres instruments ont été employés par les chercheurs pour expérimenter sur les nombres, les figures, les courbes et les fonctions, et cela bien avant la calculatrice électronique, l’ordinateur, le tableur, le calcul formel et la géométrie dynamique. La puissance de calcul des calculatrices et des ordinateurs actuels ne modifie pas le fond du problème, elle permet seulement de nouvelles expériences et aussi, ce qui est peut-être le plus important au lycée, des expériences plus nombreuses. Si l’élève, en plus d’être libéré des erreurs de calcul et des maladresses de construction, peut explorer vingt valeurs numériques ou vingt figures dans le même temps qu’il aurait passé à en examiner péniblement une seule avec les outils traditionnels, il est clair qu’il sera enfin en position de s’approprier une situation, d’observer des invariants et d’émettre des conjectures pertinentes.

L'objectif d'une éducation à la démarche expérimentale en mathématiques

Indépendamment des TIC, l’essentiel est bien de mettre en place une éducation à la démarche expérimentale en mathématiques, éducation qui fait actuellement défaut. La grande majorité des exercices proposés aux élèves, que ce soit par les manuels ou par les professeurs, sont du type « démontrer que », avec une situation déjà presque complètement décortiquée, « désenchantée », ne laissant guère d’espace à l’imagination créatrice. Les réponses sont contenues plus ou moins explicitement dans les questions, la démarche à suivre est fortement suggérée, aucune latitude n’est accordée pour explorer des cas particuliers, faire varier les hypothèses ou les conclusions, entamer des généralisations. Et dans ce qui lui reste de liberté, plutôt que d’adopter une posture authentique de recherche, l’élève va s’efforcer de repérer des indices dans la leçon du jour, dans les attentes supposées du professeur ou dans le contrat didactique en vigueur. Ainsi, la plupart du temps, la pratique de la classe n’intègre pas complètement les fameux « huit moments de l’activité mathématique » qui, avec quelques variantes, ont été valorisés par l’APMEP et figurent régulièrement dans les introductions aux programmes : formuler un problème, conjecturer un résultat, expérimenter sur des exemples, bâtir une démonstration, mettre en Å“uvre des outils théoriques, mettre en forme une solution, contrôler les résultats obtenus, évaluer leur pertinence au regard du problème posé. Si la seconde partie de la liste est, en général, bien travaillée, il n’en va pas de même de la première. Pourtant, les chercheurs savent bien, par expérience, qu’elle recèle le moteur de toute découverte. L’histoire nous rappelle également que les grands mathématiciens créateurs, comme Archimède, Newton ou Gauss, ont tous été de grands calculateurs, de grands expérimentateurs. Pour ne développer qu’un seul de ces exemples, Newton n’a pas, contrairement à la légende, trouvé la loi de l’attraction universelle en faisant la sieste sous son pommier : bien au contraire, ce résultat théorique est le fruit de longues et fastidieuses explorations numériques et graphiques, qui ont duré plusieurs années, qui ont fait l’objet d’un débat permanent entre Newton et d’autres savants anglais, en particulier Hooke et Halley, et qui ont consisté à tester diverses lois de forces centrales jusqu’à identifier celle qui rendait compte correctement du mouvement elliptique des planètes décrit par les trois lois de Kepler.

Des initiatives convergentes

C’est cela, c’est cette attitude conjointe d’expérimentation et de débat scientifique, bien entendu à une échelle relativement modeste, qu’il s’agit de faire vivre plus régulièrement en classe. Sans doute fallait-il en passer d’abord par l’étape de la création d’une nouvelle épreuve au baccalauréat, car, à moins d’être naïf, on sait bien que ce qui n’est pas évalué à l’examen n’est que rarement enseigné. Mais beaucoup reste à faire en parallèle pour mettre en place, à tous les niveaux, un véritable enseignement de travaux pratiques en mathématiques. Heureusement, tout un ensemble de réflexions et d’actions récentes ont débroussaillé le terrain. Dès 2001, la Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques recommandait la création de laboratoires de sciences mathématiques dans les lycées [1], reprenant ainsi une proposition qu’Émile Borel avait déjà formulée en 1904 [2]. Un colloque fort prometteur s’est tenu en 2006 à Maubeuge sur cette notion de laboratoire de mathématiques, à la fois au niveau primaire et au niveau secondaire [3]. En cette année 2007, l’expérimentation, la modélisation, la démarche d’investigation en mathématiques ont constitué le thème commun d’un dossier de l’INRP coordonné par Gérard Kuntz [4], du colloque de Troyes de la COPIRELEM [5] et de l’université d’été de Saint-Flour [6]. L’instauration, depuis 2005, d’une nouvelle épreuve sur dossier au CAPES de mathématiques [7], avec le prêt aux candidats d’une calculatrice évoluée incluant tableur, grapheur, calcul formel et géométrie dynamique, et l’apparition de sujets présentant parfois une certaine parenté avec ceux de l’épreuve pratique du bac S, est également un élément intéressant susceptible de faire évoluer positivement la formation des enseignants.

Un compromis acceptable

Compte tenu de tout ce qui précède, ma réponse à la question de Michèle Artigue sera simple et claire : oui, l’épreuve expérimentale, sous la forme qui semble se dessiner actuellement, est sans doute un compromis acceptable, du moins pour ce qui relève de son caractère d’épreuve terminale d’évaluation. Mais, selon moi, ce compromis ne peut prendre du sens qu’à un certain nombre de conditions propres à favoriser l’installation durable dans les classes d’un enseignement expérimental digne de ce nom :

• Institutionnaliser, dans l’emploi de temps des classes de première S et de terminale S, un horaire obligatoire de travaux pratiques en salle informatique (le minimum étant d’une heure par semaine en classe dédoublée). Å’uvrer en parallèle à la création progressive de laboratoires de mathématiques maintenus par des agents ayant de solides compétences en informatique.

• Évaluer pendant l’année les comptes rendus de TP des élèves et faire intervenir cette évaluation pour un cinquième dans la moyenne trimestrielle, à l’instar de ce qui va se passer à l’examen.

• Éviter que la préparation de l’épreuve se limite à un bachotage sur les sujets des années précédentes. Pour cela, une solution serait d’organiser les TP en séances de deux heures par quinzaine, ce qui permettrait de conduire des activités d’une certaine ampleur, différentes du contenu de l’épreuve proprement dite. Comme pour l’épreuve traditionnelle, il convient de distinguer soigneusement le minimum exigible, évalué le jour de l’épreuve, de l’enseignement dispensé pendant l’année, qui doit être riche et ambitieux. S’il est normal que, lors de l’examen, l’élève soit mis en face d’une situation simple déjà rencontrée pendant l’année, en revanche, il est souhaitable que, pendant la préparation, il soit confronté à des situations originales plus complexes, nécessitant une véritable recherche et un questionnement personnel.

• Assurer, comme dans les autres disciplines, une liaison constante entre l’enseignement expérimental et l’enseignement théorique. En particulier, éviter que la création de l’épreuve pratique s’accompagne d’une interdiction des calculatrices pour l’épreuve traditionnelle, car cela aboutirait inévitablement à deux enseignements indépendants totalement déconnectés entre eux, donnant aux élèves une image artificielle et nuisible des mathématiques. Il est souhaitable que l’exploration individuelle de situations en salle informatique soit associée à des activités en classe normale ou à des devoirs à la maison, en amont pour l’étude préliminaire de ces situations et la formulation de questions pertinentes à leur propos, en aval pour la recherche et la rédaction de démonstrations issues des résultats observés. Par ailleurs, il va de soi que l’enseignement en classe normale peut également tirer parti des TIC, grâce notamment à un ordinateur couplé à un vidéoprojecteur.

• Repenser les programmes autour d’un petit nombre de thèmes porteurs, se prêtant à la fois à une étude théorique et à une exploration expérimentale, ce qui permettrait aux professeurs de délivrer un enseignement approfondi et cohérent, exploitant au mieux les outils modernes, sans mener une perpétuelle course contre le temps.

• De même que l’enseignement de spécialité en sciences physiques et en SVT est principalement constitué de TP supplémentaires, on pourrait imaginer que les deux heures de spécialité mathématique deviennent deux heures expérimentales de plus en salle informatique : en effet, l’arithmétique se prête parfaitement à une exploration avec un tableur ou un logiciel de calcul formel ; quant à la partie géométrique, pourquoi ne pas la centrer sur des constructions de courbes et de surfaces, des résolutions graphiques d’équations ou des problèmes de lieux, toutes activités fort intéressantes à aborder avec la géométrie dynamique ?

Une réflexion active des IREM

L’Assemblée des directeurs d’IREM m’a chargé de coordonner la réflexion des IREM sur cette question de l’épreuve pratique, à mon sens rendue passionnante par tout le contexte scientifique et didactique qui l’entoure. Des groupes de travail, rassemblant de nombreux professeurs de première et terminale S, ont été déjà créés localement dans plusieurs IREM (Brest, Bordeaux, Limoges, La Réunion) ; d’autres sont en voie de constitution. Nous n’ignorons certes pas les angoisses des professeurs face à des programmes trop lourds et à des horaires trop légers, voire à l’équipement matériel insuffisant de certains lycées, mais nous voulons sortir de ces difficultés par le haut, dans l’esprit constructif qui a été si bien développé par Jacques Lubczanski [8]. Notre principal objectif sera donc de contribuer à la diffusion de cette culture expérimentale qui n’existe encore que trop rarement dans l’enseignement actuel des mathématiques. Pour cela, nous nous efforcerons, d’une part, de concevoir, de mettre en Å“uvre et d’analyser des séances de travaux pratiques dans des classes de lycée, et, d’autre part, de préparer des dispositifs de formation pour les enseignants. Au-delà de la contingence de la réforme du bac S, les IREM devraient pouvoir tirer partir de leurs compétences épistémologiques et didactiques, ainsi que de leur expérience du terrain, pour répondre, de manière plus approfondie que je ne le fais ici, à la question importante de Michèle Artigue.

Références et liens