Responsables  Evelyne BARBIN, professeur des universités, IREM des Pays de la Loire et CFV, Université de Nantes Magali HERSANT, maître de conférences, IUFM des Pays de la Loire et CREN, Université de Nantes Evelyne Barbin Magali Hersant

INRP, IREM et IUFM des Pays de Loire, Centre François Viète (Nantes) et Centre de Recherche en Education Nantais

Objectifs

Développer l’enseignement des mathématiques par les problèmes à l’articulation lycée-université, analyser et confronter des écrits de résolution de problèmes produits par des élèves, des étudiants et des mathématiciens, conjuguer des approches épistémologique, didactique et historique sur la recherche et l’écriture de résolution de problèmes.

Un projet de recherche

Faire des mathématiques présuppose d’écrire et de tracer, que ce soient des phrases, des figures, des formules ou des schémas. L’activité de résolution de problèmes pose mieux que toute autre les questions relatives aux relations entre une recherche et une écriture, à la diversité des écrits mathématiques, au passage d’un genre d’écrit à un autre. Dans l’enseignement, ces questions ne sont pas en général explicitées et l’élève essaie de se conformer à un genre d’écrit qui lui paraît formel, car il n’en saisit pas nécessairement les raisons et les attendus. Le genre d’un écrit dépend du destinataire de l’écrit, aussi la variation du destinataire donne lieu à des productions d’écrit de genres différents. Les genres diffèrent selon que le destinataire est une personne, professeur ou collègue ou correspondant, une communauté de personnes, une classe ou une équipe de laboratoire, un public large, constitué de lecteurs d’un ouvrage ou de consultants d’un site internet. Le projet de recherche ECCEmaths vise à analyser différents genres d’écrits par une approche épistémologique, historique et didactique, à les confronter et à analyser des passages. Il pourra s’agir de textes d’élèves dans des narrations de recherche, dans des échanges entre groupes d’élèves, dans des écrits scolaires. Il pourra s’agir aussi de correspondances entre mathématiciens, de mémoires dans des revues mathématiques ou d’ouvrages écrits à différents moments historiques. Nous confronterons en particulier des narrations de recherche d’élèves à des écrits de mathématiciens qui expliquent comment ils travaillent. Cette recherche s’intéressera, en particulier, au rôle des figures et des schémas, à la pulsation entre visuel et discursif, au passage du particulier au général dans la résolution de problèmes, aux recours à des méthodes ou à des schèmes de résolution, à la volonté de rigueur et à l’appel à l’évidence.

Une première investigation : les narrations de recherche comme genre d’écrit mathématique

La manière dont le mathématicien rédige un texte mathématique peut être très éloigné de ce que serait la narration de sa recherche mathématique. Par exemple, le texte d’Euclide ne donne aucune indication du pourquoi et du comment : le lecteur ne sait pas quels problèmes ont été au départ de l’investigation qui a abouti à un résultat ni par quels moyens le résultat a été obtenu. Cependant, il existe des périodes historiques où les mathématiciens ont adopté des formes d’écriture qui se voulaient proches du cheminement de leurs recherches. C’est le cas dans la première moitié du XVIIe siècle, et Pascal en est un exemple. Il est intéressant pour nous de savoir qu’à cette période la volonté de savoir des mathématiciens est celle d’inventer et de résoudre des problèmes, de produire des "méthodes de découverte". Par ailleurs, l’écriture d’un texte mathématique dépend de la sphère d’échange dans lequel il prend place. Il dépend en particulier du destinataire de l’écrit : un collègue, une communauté restreinte de mathématiciens, un grand public pour un traité. C’est ainsi que Pascal choisit le mode épistolaire pour écrire ses solutions au problème de la roulette. Ces réflexions historiques et épistémologiques sur l’écriture mathématique peuvent nourrir une réflexion sur la nature des textes que l’enseignant souhaite et que l’élève produit. En particulier, les narrations de recherche proposées aux élèves supposent un nouveau statut attribué au texte mathématique de l’élève et donc à l’élève. Tout comme le style euclidien et le style pascalien de l’écriture mathématique correspondent à des intentions de l’énonciateur vis-à-vis du destinataire qui sont fort différentes.
Les narrations de recherche questionnent la relation entre résolution de problèmes en mathématiques et problématisation à deux "niveaux" différents, étudiants et mathématiciens, qui pourront être mis en relation. Beaucoup d'étudiants de sciences n'ont pas d'habitudes en matière de résolution et de communication des problèmes de mathématiques, ce qui les conduit souvent à abandonner rapidement ce type d'activité. Or ces pratiques sont au cÅ“ur de l'activité des mathématiciens et sont à ce titre des moyens d'entrer dans une activité mathématique et de développer un certain rapport à la discipline. La narration de recherche qui constitue un moyen didactique et pédagogique de communiquer sa recherche d'un problème pourrait, à ce titre, introduire les étudiants à une telle activité. L'analyse des productions d'étudiants, associées à des entretiens et questionnaires, permettrait de comprendre en quoi un dispositif de narration de recherche permet aux étudiants d'avoir une "réelle" activité mathématique. Bien entendu, avant de conclure sur ce point, il convient de préciser ce qu'est une "réelle" activité mathématique, précision qui peut se faire à partir d'un travail épistémologique et historique. Par ailleurs, pour mesurer s'il y a ou pas, grâce à ce dispositif, une modification du rapport aux mathématiques des étudiants et préciser sa nature (est-ce qu'ils changent d'avis sur ce que c'est que faire des maths ? est-ce qu'ils travaillent différemment en maths ? qu'apprennent les étudiants avec ces situations ?), il convient de procéder avec un questionnaire  préalable. L'analyse des travaux d'étudiants pourra se faire dans le cadre de la problématisation, en questionnant le cheminement du problème perçu à la solution du problème qui conduit à la construction de connaissances et savoirs à travers la construction du champ des possibles et la mise en évidence de nécessités (mathématiques) avec une mise en texte (orale ou écrite). De ce point de vue, une comparaison entre des écrits historiques et des écrits d'étudiants pourrait permettre de préciser la nature de l'activité mathématique dans chacun des cas et, éventuellement, de la situer par rapport à l'activité dans d'autres disciplines scientifiques. Par ailleurs, ce travail nécessite aussi de questionner le contrat didactique en jeu dans ce type de situation, par rapport au contrat "habituel" de façon à préciser les ruptures entre les travaux "habituels" des étudiants et les situations de narration de recherche.
L’utilisation de narrations de recherche au lycée ou à l’université conduit à d’autres questions relatives à l’articulation entre la recherche d’un problème et la production d’un écrit. Est-il aussi important d’apprendre à résoudre un problème que de savoir exposer sa résolution ? Quelles sont les différences « importantes » entre la narration d’une recherche et l’exposition finale des résultats ? Peut-il ou doit-il y avoir une reconstruction ? Autrement dit, cela relève-t-il de l’analyse et de la synthèse ? Est-il aussi important de narrer ses échecs que ses succès ? Les mathématiciens le font-ils ? Est ce important de lire des textes de mathématiciens, ou de ses pairs, pour progresser ? Ces questions peuvent être abordées de manière épistémologique et historique à partir de deux écrits de mathématiciens du XXe siècle, la conférence L’invention mathématique de Henri Poincaré et l’ouvrage Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique de Jacques Hadamard. Ce dernier centre ses propos sur le travail des étudiants, puisqu’il s’agit au départ d’un cours, et il fait référence à la conférence de Poincaré. Dans cette conférence, Poincaré raconte comment il travaille, et comment il invente, à propos des fonctions fuchsiennes. C’est une véritable narration de recherche. Tous deux font référence aux façons de travailler et d’exposer de certains de leurs grands prédécesseurs. Jacques Hadamard fait aussi référence à une enquête lancée par la revue L‘enseignement mathématique, auprès des mathématiciens du monde entier, pour savoir comment ils travaillent. Cette enquête s’étend sur plusieurs années, avec d’abord l’élaboration du questionnaire puis la publication des réponses.

Un travail en cours

Nous avons élaboré trois textes de petits problèmes, qui seront distribués l’un après l’autre aux élèves de terminale S et aux étudiants de L1. Chaque problème est assorti d’un questionnement sur la façon dont ils ont cherché, puis rédigé une éventuelle solution.

Notre premier objectif sera donc d’analyser, au travers des textes rendus et des réponses aux questionnaires, la façon dont procèdent les élèves et les étudiants, lors d’un travail de recherche de solution à un problème.

Nous avons convenu de ne mettre en ligne nos textes et nos questionnaires qu’après avoir récupéré les travaux, pour éviter que l’un ou l’autre de nos testés n’en prenne connaissance avant communication par l’enseignant. Ils seront avertis du côté expérimental de ce travail, qui bien sûr doit les enrichir, mais ne pas servir à les évaluer.

En parallèle avec ces travaux, nous avons programmé un volet « formation théorique » pour les membres de notre groupe. Nous avons des parcours variés, qui doivent permettre de nous enrichir mutuellement.

Exposés déjà prévus :

28 septembre : Rôle du narratif dans le travail de recherche en mathématiques, à partir des travaux de D. R. Dufour

28 septembre : Narrations de recherche dans l’histoire, les chemins de la vérité

16 novembre : Sur la problématisation, à partir des travaux du CREN

7 décembre : Réflexions à partir de l’enquête publiée dans la revue l’Enseignement mathématique, au début du XX° siècle, sur les méthodes de travail des mathématiciens.

Références

Bachelard G., La formation de l'esprit scientifique, 5ème éd., Vrin, Paris, 1967.
Barbin E., Heuristique et démonstration en mathématiques : la méthode des indivisibles au XVII siècle, in Fragments d'histoire des mathématiques, n°II, APMEP 1987, pp.125-159.
Barbin E., La démonstration : pulsation entre le visuel et le discursif, in Produire et lire des textes de démonstrations, E. Barbin, R. Duval, I. Giorgiutti, J. Houdebine, C. Laborde (éds), Ellipses, Paris, 2001, pp.31-61.
Bakhtine M., Esthétique de la création verbale (1979), Gallimard, Paris, 1994.
Brousseau G., Théorie des situations didactiques, La pensée sauvage, Grenoble, 1998.
Combes M.-C., Bonafé F., Narrations de recherche, points d’appui pour la démonstration, in Produire et lire des textes de démonstrations, E. Barbin, R. Duval I. Giorgiutti, J. Houdebine, C. Laborde (éds), Ellipses, Paris, 2001, pp.183-206.
Duval, R., Écriture et compréhension : pourquoi faire écrire des textes de démonstration par les élèves, in Produire et lire des textes de démonstrations, E. Barbin, R. Duval, I. Giorgiutti, J. Houdebine, C. Laborde (éds), Ellipses, Paris, 2001, pp.183-206.
Foucault M., L'archéologie du savoir, Gallimard, Paris, 1969.
Guitart R., La pulsation mathématique, L’Harmattan, Paris, 1999.
Hadamard J., Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique, (1944, traduit et publié en français en 1959,), rééd. Gabay, Paris , 1993.
Legrand M., La problématique des situations fondamentales, Repères IREM, 27, avril 97, pp. 81 125.
Orange C., Problématisation et conceptualisation en sciences et dans les apprentissages scientifiques, Les Sciences de l’éducation, pour l’ère nouvelle, 38 -3, 2005, pp. 69-94
Poincaré H., L’invention mathématique (conférence de 1908), J. Gabay, Paris, 1993.

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