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Post du forum : la riviere - proposition de démo

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Posté par pycahuet le 25/02/2011 22:13

Une autre démonstration pour la rivière (avec narration de recherche).

L'idée est venue, après un chapitre sur le repérage polaire en 1reS, en considérant que l'on veut minimiser a+b, la somme des distances au pôle O des points A[a,] et B[b,] (la variable est O, point sur la droite/rivière).

 

A' et B' sont les projections orthogonales respectives de A et B sur la droite représentant la rivière.

En mesures algébriques, nous avons A'B' = OB'–OA' = b.cos a.cos= k1 (constante);

perpendiculairement, nous avons de même c+d = A'A+B'B = b.sin+ a.sin= k2 (constante).


donc, en élevant chacune des équations au carré (ça "sent" l'égalité trigonométrique fondamentale) :

b².cos²+ a².cos²2ab.cos.cos= k1² et b².sin²+ a².sin²+ 2ab.sin.sin= k2²

puis en faisant la somme membre à membre :

a² + b² – 2ab (cos.cossin.sin) = k1² + k2² soit a² + b² – 2ab (cos(+)=k1²+k2² (1).


Considérant que a²+b²=(a+b)²–2ab (égalité qui nous permet de retrouver la quantité "a+b" à minimiser), l'égalité (1) devient : (a+b)²–2ab[1+cos(+)]= k1² + k2² i.e.

(a+b)² = k1² + k2² + 2ab[1+cos(+)]


d'où : a+b est minimum et prend pour valeur d= sqrt( k1² + k2²)

si on place O de telle sorte que cos(+)=–1 + = [2]


La distance est donc minimale lorsque les angles sont supplémentaires, on retrouve la symétrie de la loi de réflexion de Descartes.

 

 

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