Post du forum : la riviere - proposition de démo
Aller au niveau supérieur
Une autre démonstration pour la rivière (avec narration de recherche).
L'idée est venue, après un chapitre sur le repérage polaire en 1reS, en considérant que l'on veut minimiser a+b, la somme des distances au pôle O des points A[a,] et B[b,] (la variable est O, point sur la droite/rivière).
A' et B' sont les projections orthogonales respectives de A et B sur la droite représentant la rivière.
En mesures algébriques, nous avons A'B' = OB'–OA' = b.cos – a.cosî‚· = k1 (constante);
perpendiculairement, nous avons de même c+d = A'A+B'B = b.sin + a.sin = k2 (constante).
donc, en élevant chacune des équations au carré (ça "sent" l'égalité trigonométrique fondamentale) :
b².cos²î‚¸ + a².cos²î‚· – 2ab.cosî‚·.cos = k1² et b².sin²î‚¸ + a².sin²î‚· + 2ab.sinî‚·.sin = k2²
puis en faisant la somme membre à membre :
a² + b² – 2ab (cosî‚·.cos–sinî‚·.sin) = k1² + k2² soit a² + b² – 2ab (cos(î‚·+)=k1²+k2² (1).
Considérant que a²+b²=(a+b)²–2ab (égalité qui nous permet de retrouver la quantité "a+b" à minimiser), l'égalité (1) devient : (a+b)²–2ab[1+cos(î‚·+)]= k1² + k2² i.e.
(a+b)² = k1² + k2² + 2ab[1+cos(î‚·+)]
d'où : a+b est minimum et prend pour valeur d= sqrt( k1² + k2²)
si on place O de telle sorte que cos(î‚·+)=–1 ⇔ î‚· + = [2]
La distance est donc minimale lorsque les angles sont supplémentaires, on retrouve la symétrie de la loi de réflexion de Descartes.
