Equipe Résolution collaborative de problèmes

Comment s’articulent l’enseignement et l’apprentissage à travers la résolution de problèmes ?

Nous nous sommes particulièrement intéressés aux questions suivantes :
Quel sens pour les élèves ? Quel est le rôle des définitions et comment peuvent-elles être construites par/avec les élèves ?

Pour donner sens aux recherches de problèmes, nous  travaillons dans deux directions :

- la motivation et l’émulation créées entre des classes de niveaux différents lors de la recherche collaborative d'un même problème ouvert. Au travers d'échanges sous la forme de questions-réponses, les élèves appréhendent la nécessité de s’entendre entre eux sur les choix à effectuer afin de chercher le même problème, sur les définitions communes des objets étudiés et sur l’intérêt de comparer les outils de résolution, qui peuvent être différents suivant les niveaux.

- le choix des énoncés de problèmes ; nous privilégions des situations concrètes qui font l’objet de problèmes ouverts où les mathématiques sont impliquées, sans y avoir été forcément invitées.

 Quelle est la part d’ « expérimental » dans la recherche de problèmes ?

Dans les problèmes issus de situations concrètes, que nous avons étudiés, la part expérimentale apparaît principalement dans les allers-retours nécessaires entre les résultats mathématiques obtenus et le monde réel. La confrontation au réel nécessite des changements de modélisation ou des redéfinitions d’objets. Cette confrontation au réel amène aussi une réflexion sur les outils utilisés (ex : représentations graphiques, théorème de géométrie et calculs ?)

Equipe EXPRIME (EXpérimenter des Problèmes de Recherche Innovants en Mathématiques à l'Ecole)

Une des hypothèses forte sur laquelle repose le travail du groupe est que la recherche de problèmes en classe de mathématiques est fondamental dans l'a pprentissage des mathématiques en ce sens qu'il permet aux élèves de faire fonctionner des notions et participe à une naturalisation des objets manipulés qui entrainent un élargissement du champs d'expériences et participe à la construction de connaissances nouvelles. La deuxième hypothèse forte réside dans le fait que dans un problème de recherche ne sont pas uniquement travaillés les compétences transversales mais aussi permet de travailler des notions, des concepts des programmes de mathématiques.

Il s'agit de prendre en compte le difficile passage de la situation mathématique intéressante (pour le mathématicien, pour le professeur, pour l'élève ?) à une situation de classe intéressante pour les enseignants dans le cadre de leur enseignement et pour les élèves dans le cadre de leur apprentissage.

Devant une situation mathématique, l'analyse mathématique permet de mettre en évidence les liens entre différentes notions qui sont repérées et la robustesse de la situation. Suivant les niveaux de connaissances, une même situation peut s'appuyer sur des leviers différents et développer des apprentissages variés.

L'analyse didactique permet de transposer les spécificités de la situation mathématique à un niveau de connaissance en créant le milieu favorable à l'émergence des notions qui seront travaillées. Elle s'attache à dégager les aspects de la situation favorisant l'entrée dans une dimension expérimentale au sens d'un va et vient entre les notions en cours de construction, le monde réel et le monde mathématique du sujet.

C'est ce que nous avons essayé de mettre en place en construisant un prototype de présentation de ressources prenant en compte, à partir d'une situation mathématique, ces différentes analyses.

La spécificité des mathématiques fait que l'expérience qui peut être menée ne se limite pas à une confrontation entre la réalité et la théorie mais à un va et vient permanent entre les théories, les autres sciences et la réalité que le modèle mathématique veut porter.

Cette démarche << expérimentale >> n'est qu'une partie du travail du mathématicien, mais c'est une partie qui ne doit pas être occultée derrière les phases nécessaires de rédaction et de communication, résultats de la recherche qui masquent d'une certaine manière la façon dont le résultat est apparu.

Pour la recherche SESAMES algèbre, je rappelle quelques mots du projet : il s'agit pour nous de proposer des documents pour la classe pour les professeurs (et les formateurs) de mathématiques. Une grande partie de ces documents est composée de séances ou séquences de classe portant sur l'enseignement de l'algèbre au collège et en seconde.

Des questions de recherche importantes pour nous  :

- quelle forme doivent prendre ces propositions de séances (fiche prof, fiche élève ou autre) ? 

- dasn ces propositions de séance, quels autres éléments peuvent être indiqués notamment sur la gestion de classe, sur les procédures des élèves, sur l'analyse de l'activité, etc afin de permettre une meilleure appropriation par les professeurs ?

- quels autres documents peuvent accompagner ces propositions de séances pour permettre de mieux comprendre le sens des choix faits ?

Nous avons fait le choix de proposer une liste de 7 principes qui visent à expliciter nos choix.

Un de ces principes affirme la place importante de la résolution de problèmes dans les apprentissages. Toutes  les séances qui nous proposons s'appuient sur un problème qui est analysé et dont les choix sont explicités. Comme ces problèmes sont relativement ouverts dans le sens où peu d'indication sur les procédures sont données, nous indiquons aux professeurs ce que les élèves peuvent faire ou produire.  Ceci est assez inhabituel car on constate que les problèmes proposés dans les manuels sont souvnet au contraire très fermés et ne permettent pas aux élèves de faire des conjectures ou des essais. la procédure attendue est souvent imposée par le texte et non par le probléme lui même.

Actuellement nous orientons notre réflexion non plus sur la résolution d'un seul problème mais d'une classe de problèmes qui se distinguent par un jeu sur les variables didactiques.

Un autre de nos principes est de ne pas donner la lettre a priori à l'élève mais de lui laisser la possibilité (ou l'obligation) de la produire et de l'utiliser. là encore, nous tentons par un jeu sur les variables de permettre à l'élève de recourir à la symbolisation.

Pour chaque séance nous proposons une institutionnalisation en lien avec le problème (ou la classe de problèmes), mais encore une fois, ces institionnalisations ne sont pas celles données par les manuels.

Une autre piste de travail de l'équipe est de trouver des problèmes qui intègrent plusieurs connaissances, qui évoluent. Nous rejoignons là les  activités d'étude et de reccherche développées par Chevallard. Pour nous c'est une façon de donner à l'activité mathématique une ouverture sur l'étude de questions et non sur l'apprentissage de notions les unes à la suite des autres. Cela pose donc la question du lien avec les programmes tels qu'ils sont rédigés et avec 'évaluation telle quelle est pratiquée.

En conclusion du travail actuel et des questions qu'il soulève, il nous semble qu'il y a une certaine distance (ou une distance grandissante) entre les activités proposées et leur gestion et ce qui est proposé dans les manuels. Or nous savons que le professeurs sont attachés aux manuels et que ceux ci influencent largement ce qui se fait dasn les classes. Les questions d'appropriation de nos documents et de leur utilisation dans les classes deviennent donc des questions vives.