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Utiliser la pascaline

Dernière modification 04/02/2014 11:00

Ecrire et calculer avec la pascaline

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La pascaline permet d'écrire les nombres et de calculer mais elle ne fonctionne pas de la même façon qu'une calculette usuelle. L’usage de la pascaline nécessite de nombreuses actions et contrôles de la part de l’utilisateur, d’une autre nature que ceux impliqués par l’utilisation d’une calculette. 

Description de la pascaline

La pascaline s'utilise avec les repères triangulaires placés vers le bas, les roues oranges en haut.

Le nombre écrit sur la pascaline se lit sur les dents des roues jaunes placées en face des trois repères triangulaires rouges. Sur la photo, la pascaline affiche le nombre 132. En faisant tourner les roues on change le nombre affiché.

Lorsque l'on tourne une des roues jaunes dans le sens des aiguilles d'une montre, le nombre affiché sur la pascaline augmente, lorsque l'on tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, le nombre affiché diminue.

Les nombres affichables avec la pascaline vont de 0 à 999.

Il est conseillé de : (i) faire tourner les roues dent par dent et pas de façon continue, pour bien contrôler l'incrémentation des nombres unité par unité, dizaine par dizaine et centaine par centaine (ii) faire tourner les roues jaunes et non les roues oranges, afin d'associer les sens de rotation avec les opérations d'addition ou de soustraction.

Les autres éléments présents sur la pascaline sont nécessaires à son fonctionnement mais ne sont pas utilisés pour le travail mathématique, notamment : les roues auxiliaires oranges qui permettent l'entrainement du mouvement d'une roue à l'autre, les "flèches" violettes placées sur les roues oranges ou les taquets violets situés à la gauche des roues jaunes qui bloquent la rotation des roues jaunes à chaque dent.

pascaline-legendee.jpg

Description des composants de
la pascaline

pascaline-bonne-position-doigts-2.JPG

Bonne position des doigts de l'élève pour
faire tourner les roues

Ecrire des nombres

Bien que ce soit un prérequis au calcul, il reste souvent implicite que les premières actions à réaliser pour utiliser une machine à calculer sont de lire et d’écrire des nombres.

Plusieurs procédures pour écrire un nombre sont possibles, pour le nombre 219 par exemple :

(i) la procédure la plus immédiate consiste à tourner chaque roue successivement − écriture par décomposition − en commençant par la roue des centaines, la positionner sur 2 en la faisant tourner dans le sens des aiguilles d’une montre, puis positionner la roue des dizaines sur 1 en la faisant tourner dans le sens des aiguilles d’une montre également et enfin celle des unités sur 9 en la faisant tourner dans le sens contraire mais cela entraîne alors la rotation de la roue des dizaines précédemment positionnée et qu’il faut replacer sur 1 ;

(ii) la procédure la plus coûteuse consiste à faire tourner la roue unité 219 fois d’un cran dans le sens des aiguilles d’une montre − écriture par itération ;

(iii) la procédure la plus efficace consiste à commencer par la roue unité, la positionner sur le 9 en tournant dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, puis positionner la roue des dizaines sur le 1 en la tournant dans le sens des aiguilles d’une montre (ce qui entraîne la rotation de la roue des centaines de 0 à 9) puis de terminer en positionnant la roue des centaines sur le 2 en la faisant également tourner dans le sens des aiguilles d’une montre. Cette dernière procédure relève aussi d’une écriture par décomposition, qui est assujettie à un principe d’économie.

Toutes ces procédures dépendent de l’état initial de la machine. Ainsi les rotations ne seront pas les mêmes si la machine est initialisée à (000) ou pas. Il est donc nécessaire de remettre à zéro la pascaline avant de débuter une procédure.

Additionner et soustraire

Pour additionner deux nombres, plusieurs procédures sont possibles :

(i) la procédure d'addition par itération consiste à écrire le premier terme de la somme puis à tourner la roue unité dans le sens des aiguilles d’une montre d’un nombre de crans égal au deuxième terme (addition par itération). Cette procédure devient très vite coûteuse avec la taille des termes.

(ii) la procédure d'addition par décomposition consiste à décomposer le second terme en chiffre des unités, chiffre des dizaines et chiffre des centaines et à faire tourner la roue des unités dans le sens des aiguilles d’une montre d'un nombre de crans correspondant au chiffre des unités, puis la roue des dizaines dans le même sens selon le chiffre des dizaines et la roue des centaines dans le même sens selon le chiffre des centaines. A noter que l’on peut aussi faire tourner d’abord la roue des centaines, celle dizaines puis celle des unités, ou commencer par celle des dizaines).

Les actions de l’utilisateur ne sont pas analogues pour le premier et le second terme de la somme : le premier terme est écrit, le second est « agit ». L’utilisateur peut alors faire jouer la commutativité de l’addition pour changer l’ordre des termes, ce qui modifie les actions de la procédure et permet d’en réduire le coût.  

La différence entre additionner et soustraire tient uniquement au sens de rotation des roues : celui des aiguille d’une montre pour l’addition, le contraire pour la soustraction. Mais la soustraction n’étant pas commutative, la procédure qui consiste à inverser les actions entre les deux termes ne permet plus d’obtenir le résultat correct.

Multiplier et diviser

Le principe sous-jacent à l’utilisation de la pascaline pour multiplier ou diviser est celui des additions ou soustractions successives.
Ainsi pour multiplier 5 par 7, il faut additionner 7 fois le nombre 5, c’est-à-dire écrire 5 puis additionner 6 fois successivement le nombre 5 et non pas 7 fois puisque le premier 5 est déjà écrit une première fois sur la pascaline. Il faut donc mémoriser le nombre de fois déjà réalisé et s’arrêter à 7, puis lire le résultat sur la machine.
Pour diviser 47 par 8, il faut soustraire le nombre 8 et recommencer tant que le résultat est supérieur à 8. Le quotient euclidien est obtenu par le nombre de fois où la soustraction a été effectuée. Le nombre lu sur la machine à l’issue de la procédure est le reste. Un dernier exemple concerne la division euclidienne de 54 par 16. A nouveau, il faut écrire le nombre 54, puis soustraire 16, soit en faisant tourner uniquement la roue unité 16 fois dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, soit en décomposant 16 en 1 dizaine et 6 unités et renouveler les deux actions autant de fois que nécessaire.
Pour ces deux opérations, multiplication et division, il faut que l’utilisateur sollicite une mémoire annexe (mentale ou écrite) pour stocker l’information.

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