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G. Brousseau

Dernière modification 10/02/2007 07:48

Guy Brousseau, mathématicien, didacticien des mathématiques (commentaire reçu le 29 janvier 2007)

Je remercie EducMath d'avoir sollicité mes réactions à l'avis donné par l'Académie des Sciences sur "la place du calcul dans l'enseignement primaire".

Habituellement je suis avec passion les mouvements qui accompagnent l'évolution de l'enseignement des mathématiques. Ils sont l'objet de mes recherches. Mais je n'interviens pas dans les décisions et très peu dans les débats, pour des raisons éthiques, scientifiques et pratiques. Nos connaissances sont encore trop parcellaires et surtout trop peu répandues. Notre institution est trop faible pour permettre des échanges sérieux.

Si je romps un peu aujourd'hui avec cette attitude d'anthropologue, c'est d'abord parce que le mouvement dont ce texte est l'expression nous interpelle en tant que citoyens.

Examinons d'abord le résumé


Sur le point 1.

On ne peut que souhaiter l'amélioration des performances en calcul à l'école primaire. Des performances minimales sont nécessaires pour permettre le travail des professeurs de collège. Pour la suite, le rôle du calcul « à la main » n'est plus guère visible. Certes, des mesures significatives, mais prudentes, sont requises. La suggestion de faire des analyses plus approfondies, des expériences et des expérimentations est intéressante, mais surprenante dans un texte où il n'est fait nulle part référence aux nombreux travaux déjà accomplis dans ce domaine.

Sur le point 2

Là encore, on ne peut qu'approuver qu'un contact étroit avec d'autres matières soit établi. Mais l'insistance mise dans le corps du texte sur les automatismes et l'introduction très précoces de pratiques, qui risquent fort de n'être pas comprises à cet âge, peut faire craindre que tous les efforts qui ont été faits par les enseignants depuis trente ans pour resserrer le contact entre le calcul et les mathématiques elles-mêmes ne soient dévalorisés et perdus. Quant aux situations, elles sont indispensables. Mais pour celles dont la tradition fait la base du calcul et du mesurage, il est devenu bien difficile aujourd'hui d'en trouver qui soient suffisamment familières aux enfants pour être « concrètes ».

Sur le point 3

Mettre l'accent sur la nécessité de posséder des automatismes est tout à fait judicieux, et le moyen indiqué pour cela, aussi. Si la déclaration « la mise en place des automatismes s'accompagne de représentations mentales et elle implique réflexion et compréhension » pouvait prêter à confusion, la phrase suivante : « L'automatisation ne peut qu'être le résultat ultime et naturel d'une pratique régulière et bien comprise du calcul » lève heureusement tout doute (certains auraient pu comprendre que mettre en place un automatisme, par n'importe quel moyen, produit, sans qu'on s'en préoccupe, des représentations, la réflexion et la compréhension). Elle exprime ce que de nombreux enseignants essaient de pratiquer et ce que recommandent de nombreux chercheurs en éducation.

Le point 4

Il est le plus discutable.

Il peut recevoir des interprétations très diverses. Certaines sont très acceptables et décrivent ce que font la majorité des enseignants aujourd'hui, d'autres complètement extrêmes sont tout à fait dangereuses. Le public prendra ce texte au pied de la lettre et s'attendra à voir les enfants poser et « calculer » mentalement des divisions, dès l'école maternelle. Ce qui ne peut qu'accroître les malentendus avec les professeurs qui connaissent leur métier. Et conduire les autres à effectuer des dressages dont nous connaissons bien les méfaits. Les dérives du mouvement « back to basis » et de la « guerre des maths » entre les mains des conservateurs extrémistes aux Etats-Unis illustrent abondamment ce danger.

Le point 5

Il décline, sur le mode de l'évidence épistémologique, les différentes modalités du calcul que le citoyen devrait maîtriser. La signification didactique de cet inventaire est trop vague pour qu'on puisse le commenter. Suivant les interprétations didactiques qui en seront faites, elle offre un vaste éventail de possibilités pour les programmes, les horaires et pour les évaluations à venir.

Le point 6

La « géométrie à l'école primaire » signifie ordinairement la connaissance de l'espace et des moyens d'y agir, l'usage de quelques instruments et l'inventaire de quelques formes et de quelques propriétés principalement métriques. Ces enseignements sont échelonnés et très utiles, mais ils ne semblent pas être directement indispensables « dès le début » à l'apprentissage de la numération et du calcul. De plus, leur méconnaissance est rarement évoquée comme une cause de difficultés dans l'enseignement au collège. D'autres rapports avec le calcul, comme par exemple l'usage d'homothéties, ont été expérimentés et ne sont pas impossibles au cours moyen, mais il y a loin entre une performance isolée et un projet social. D'autant que, prononcé par des mathématiciens de l'Académie pour des professeurs d'écoles diplômés, le terme de « géométrie » pourrait évoquer ce qui leur est plus familier : une connaissance déductive des propriétés de l'espace ou même, pour quelques uns, une initiation à l'étude de la consistance d'un système de déclarations sur l'espace.

Le point 7

Il souligne, à juste titre, l'importance de « la proportionnalité ». Mais le lien avec les fractions est une illusion. La règle de trois est au contraire le moyen historique de n'utiliser que la conservation des rapports naturels et donc d'évincer les rapports fractionnaires. Avec le système métrique, les décimaux, et la maîtrise de l'approximation, l'usage familier des mesures fractionnaires, ont pu disparaître eux aussi, du moins en France.
Les épreuves comme PISA sont inadéquates pour comparer les résultats scolaires entre des pays qui ont des cultures et des pratiques aussi différentes au sujet des fractions et des systèmes de mesures. Il serait très dommage que, pour égaler des pays voisins sur des épreuves adaptées à l'intense usage des fractions qui leur est nécessaire, nous imposions en France une régression à des exigences inutiles.
Il serait plus judicieux d'imiter ces pays en adoptant une disposition des calculs de la division mieux adaptée et moins exigeante que la nôtre (elle coûte environ une année supplémentaire d'efforts soutenus) ou en éliminant de nos habitudes des anomalies ridicules comme les irrégularités de la numération orale (soixante-dix etc.). Les fractions au niveau élémentaire sont un sujet intéressant mais qui ne me parait pas critique.
Il reste que la règle de trois, enseignée comme automatisme, présentait autrefois des difficultés restées mémorables. Des progrès sensibles ont été faits pour éviter de couler trop précipitamment, dans un même moule formel, des notions en réalité très différentes, mais identifiées comme similaires sur de simples métaphores.

Le point 8

Les vœux qu'il exprime sont essentiels : faire aimer le calcul est indispensable en général mais particulièrement dans la perspective visée. Car le programme proposé sera beaucoup plus difficile à mettre en œuvre qu'on pourrait le croire. C'est la raison pour laquelle l'avis de l'Académie sera vraisemblablement plus facilement accepté par le public, qui l'interprètera avec ses souvenirs, que par les professionnels plus au fait des difficultés.
L'apprentissage du calcul ,tel qu'il était demandé par notre société du début du 20ème siècle (opérations, problèmes, système métrique, géométrie), absorbait 1/6 du temps scolaire total pendant cinq ans de scolarité obligatoire (soit 180x5 = 900 h).
Cet effort était accepté, avec ses inconvénients et ses dégâts collatéraux. L'enseignement est facile lorsqu'il signifie clairement, pour tous, l'acculturation à des pratiques communes. Les pratiques apprises à l'école tenaient parce qu'elles étaient utilisées quotidiennement par tous, toute leur vie. La volonté, le travail et le plaisir n'étaient que des adjuvants à la nécessité. Cette nécessité disparue, le jeu devrait pouvoir lui substituer un goût pour l'art du calcul. Mais les enfants aiment surtout faire ce qui leur semble les rapprocher des grands. Ils veulent apprendre ce qu'ils voient pratiquer.
Les auteurs du résumé ont donc raison de souhaiter fortement que les parents et les élèves aiment suffisamment l'art du calcul pour favoriser l'obtention les résultats visés, malgré les conditions nouvelles.

Remarques sur le corps du texte


Mais le résumé n'épuise pas le contenu de l'Avis. Sa lecture plaira sans doute à tous ceux qui ont la nostalgie de l'école de la troisième république, de ses programmes et de ses méthodes. Je connais bien les pratiques que recommande le texte de l'Académie. Je les ai connues en tant qu'élève entre les deux guerres, je les ai enseignées en tant qu'instituteur dans une classe unique puis dans une école à deux classes pendant plusieurs années. Je les ai analysées quand j'ai repris mes études de mathématiques, ainsi que plus tard avec mes collaborateurs et mes étudiants à l'Université.
La lecture de ce texte ne me convainc pas que les mesures qu'il préconise soient une réponse adéquate aux difficultés rencontrées aujourd'hui dans l'enseignement des mathématiques, ni même que leur action aura les effets qui sont espérés.
Il faudrait faire une analyse phrase par phrase et pour chaque thème, de l'action suggérée, des arguments d'appui, des références invoquées, de ce qui est sous-entendu, des interprétations qu'en feront les divers protagonistes de l'enseignement et des effets que l'on peut en prévoir. Un tel travail serait déplacé ici. Je ne peux donner que des exemples, ce qui n'est pas un moyen légitime, même en didactique. J'espère que vous me pardonnerez.
Et je ne veux pas faire allusion à ce qui a préparé l'irruption de ce texte dans les circonstances actuelles, ni émettre d'hypothèses sur les raisons qui ont poussé l'Académie des Sciences à s'engager de cette façon, mais je peux vous convier à y réfléchir.

Les raisonnements

La déclaration fondatrice sur laquelle s'ouvre l'avis donne un exemple des raisonnements et des évidences sur lesquels il s'appuie parfois. Elle est formée d'une prémisse explicite composée de deux déclarations : « à l'issue du collège et du Lycée, chez filles et garçons, de nombreuses observations convergentes indiquent une insuffisante maîtrise du calcul » et « les fondements du calcul se mettent indiscutablement en place à l'école primaire ». La conclusion qui en est tirée est implicite, ce qui la fait tenir d'autant plus pour évidente : c'est la mise en place du calcul à l'école primaire qu'il faut réformer. Peut-être serait-ce utile, mais sûrement pas à cause de cette inférence curieuse.
En fait les connaissances à la sortie des études dépendent moins de leur toute première initiation que de l'usage qui en est fait tout au long des études, et de celui qui en sera fait après. Les influences s'exercent aussi bien en amont qu'en aval. Il faut regarder l'usage réel qui est fait du calcul humain, mental ou « à la plume », dans notre société, de ce qu'en voient les enfants, de l'opinion qu'en ont les professeurs des différents niveaux, de l'attention qu'ils peuvent y porter etc.
Les idées sous jacentes à cette inférence semblent être que plus un enseignement est précoce, plus il est finalement efficace et économique, que l'enseignement d'automatismes doit précéder la rencontre des situations qui les utilisent, que l'apprentissage de ces automatismes peut précéder leur compréhension, et qu'il est d'autant mieux accepté par les élèves s'ils sont plus jeunes, donc que l'enseignement du calcul est plus efficace qu'il est précoce et se présente sous forme de mécanismes, etc. Vraies pour certaines connaissances, ces idées sont fausses en général et leur conjonction pour l'apprentissage du calcul a été mise en défaut.

La consistance de certains arguments généraux.

Dans le paragraphe « lien avec les autres matières », nous trouvons des arguments généraux En didactique ils doivent être utilisés avec précaution.
Par exemple, la réduction des mesures (3m) aux scalaires (3) (l'usage permanent des nombres abstraits au lieu des concrets) est dénoncée parce qu'elle « est un appauvrissement ». Or les automatismes réclamés ailleurs sont aussi des « appauvrissements », et irréversibles quand ils sont assemblés directement et formellement par des exercices d'entraînement sans que la compréhension puisse intervenir pour les contrôler et les reprendre si nécessaire. Pour des raisons d'économie, il est nécessaire de pouvoir raisonner et opérer sur des classes si les relations sont compatibles avec le passage au quotient, et sinon sur leur éléments. Pratiqués au bon moment « l'appauvrissement » et « l'alourdissement » sont bien utiles.
Les Académiciens dénoncent à très juste titre la suppression radicale de l'indication des unités. Mais c'est l'utilisation précoce et sans discernement de formules empruntées à l'algèbre pour exprimer des usages et des énoncés fondamentalement arithmétiques qui pose le plus de problèmes. L'utilisation répétée de formules telles que 3 + 4 = 7 n'apporte rien de plus que l'indication 3 + 4 --> 7 (sont, font, donne) (*). Le signe égal n'y a jamais le sens d'une relation symétrique. Les effets de ces violations ingénues du formalisme se font sentir fortement jusqu'à l'université. Whitney a montré que l'usage de formules comportant l'indication d'unités pouvait procéder d'une honnête structure algébrique. C'est une question qui ne concerne pas l'école primaire. (Si un tel usage était adopté en mathématiques ce serait sans doute une bonne contribution aux études en physique). Mais au niveau primaire, et même au collège, en l'absence de notions élémentaires sur les équations aux dimensions, le contrôle formel de la validité des calculs deviendrait vite pour le moins difficile. Techniquement cela ne me semble pas impossible, mais les multiples tentatives contradictoires à l'aide desquelles on a essayé de résoudre ce problème ont laissé des traces dans les programmes successifs tout au long du 20 ième siècle.
Il me semble par moments que l'école primaire à laquelle se réfère l'avis est celle qui accueillait les élèves à six ans et qui les conduisait au certificat d'études à quatorze, et non pas de six à onze ans.
Evitons de discuter le chapitre des fondements cognitifs de l'arithmétique, qui relève de « l'art de se persuader des idées douteuses fragiles ou fausses » révélé par Boudon et examinons

Les principes fondamentaux de l'enseignement du calcul.

L'incompatibilité entre les deux premiers paragraphes et le troisième est flagrante. Il faudrait enseigner dès l'école maternelle les quatre opérations et la numération en même temps… En recourrant au sens comme cherchent à le faire les professeurs d'aujourd'hui… en commençant par le calcul formel pour un « passage fluide » à l'intuition… et en obtenant, finalement, mais en même temps, des automatismes fiables. C'est un défi sans précédent. Puisque c'est un principe, nous pourrions croire qu'il doit suffire de le poser et de donner les ordres aux exécutants.

Les arguments factuels

Nous trouvons plus loin un exemple des « arguments factuels » sur lesquels ce texte repose.
« Dès la grande maternelle ils [les enfants] possèdent déjà une intuition des grandeurs, des tailles des prix, et savent par exemple que 35 + 16 est nécessairement plus petit que 92 ». Malgré le temps qui enjolive souvent les faits, je ne me souviens pas qu'aucun de mes élèves de 5ans ait été capable de cette performance, sauf si cette phrase signifie que devant deux tas de perles identiques un de 35 et un de 16 à leur droite et un gros tas de 92 perles à leur gauche certains enfants disent : « il y en a plus là que là ». Même s'il s'en trouvait qui aient pu compter ces billes, leur réponse ne serait sûrement pas pour eux l'expression d'une « nécessité ». Car si les perles de gauche étaient assez nettement plus grosses que celles de droite, le nombre de bonnes réponses s'écroulait (Dans ma jeunesses les étudiants en épistémologie génétique faisaient de l'invention d'expériences falsifiant ce genre d'illusions une sorte de sport). Que dire si les nombres doivent être utilisés prononcés ou même écrits dans la comparaison (les stupides « quatre-vingt-dix » et autres… allongent de plus de deux mois l'apprentissage des nombres au CP).
Les instituteurs de ma génération n'auraient pas compris qu'on leur ordonne de considérer le genre de performances évoquées dans ce paragraphe comme des compétences « de base»… et ils auraient jugé très sévèrement les responsables de propositions de ce calibre

L'ambiguïté dans la description des connaissances

Relevons un exemple de l'ambiguïté des propos et des confusions qui en découlent.

Dans plusieurs passages, ce qui est fait, ce qui est compris, ce qui est dit, ce qui est écrit, et sa signification, tout est confondu. Par exemple à propos de la division, il serait prudent de distinguer
•  distribuer trois perles à ses camarades, puis compter combien d'entre eux ont été servis (un genre d'activité qui se fait actuellement en maternelle),
•  partager une quantité en trois parties égales, (à ce niveau déjà parfois trop complexe),
•  décrire cette opération à l'aide d'une formule (requiert une position réflexive plus experte),
•  la « poser » (de façon insolite et pour des raisons encore incompréhensibles),
•  puis l'effectuer à l'aide d'un algorithme (le plus complexe et le moins fiable qu'on ait pu trouver),
•  et enfin identifier toutes ces opérations comme des facettes d'un même concept (la division).

Ces composantes et beaucoup d'autres sont nécessaires. Mais elles requièrent des apprentissages spécifiques qui ne peuvent pas être entrepris en même temps ni même au même âge.
On ne gagne rien à les confondre prématurément que ce soit pour les identifier ou pour les nommer.

Sur la modération.

Il est très important de souligner les visibles efforts de modération qui émaillent l'avis. Mais je ne dirai pas que ce texte est pondéré. Il est hétérogène. Chaque paragraphe présente avec assurance des recommandations fortes, ambitieuses parfois discutables et excessives suivant l'interprétation qu'on leur donnera. Il est accompagné de plusieurs rappels à la prudence et à la modération. De sorte que l'on peut souligner le caractère prudent de cet ensemble à deux voix et s'en réjouir.
Je ne partage pas cet optimisme. Les modérations sont formulées en termes généraux, elles ne sont pas opératoires, contrairement aux recommandations résumées dans l'avant propos. A plusieurs reprises, elles forment même avec elles des injonctions paradoxales cocasses du genre « fumez mais soyez prudents! Je crains qu'elles n'aient servi que d'alibi pour aller plus loin dans les suggestions susceptibles d'interprétations excessives. Les médias et les politiciens ne les retiendront pas et les intéressés ne pourront guère les utiliser ni s'y référer vraiment pour se justifier.

Conclusions

Il serait temps d'examiner comment ce texte peut être compris par les différents partenaires de l'éducation car, nous l'avons vu, tout dépend de l'interprétation qui en sera faite.
Il me semble certain qu'il ne peut pas être compris de la même façon par le public qui l'entendra au pied de la lettre, et par les professeurs confrontés à des nécessités de plus en plus ignorées et à des projets de plus en plus ambitieux. La première conséquence qui me parait la plus évidente et la plus dommageable, sera d'augmenter encore l'incompréhension et les conflits entre les enseignants et l'opinion publique au grand dam des parents et des élèves.
Les médias répercuteront probablement les traits les plus singuliers selon les règles de leur métier ce qui amplifiera la césure. Le public retiendra – ce qui n'est pas dit explicitement – qu'une fois de plus l'école a failli à sa tâche, que le niveau des élèves n'est pas satisfaisant et a baissé.
Noircissons un peu le tableau. Le texte comporte des ordres si nets qu'il peut servir de critère devant des tribunaux. Peut-être même pourrons-nous voir, comme en Californie, des dénonciations systématiques aboutir à des mises à pied de professeurs récalcitrants. Des mesures de ce genre ont été accordées par des tribunaux sous la pression de rétro novateurs, organisés en véritables commandos secrets et pratiquant la chasse aux sorcières.
Certes, les élèves calculeront et poseront les quatre opérations en grande maternelle, car les maîtres aiguillonnés par des épreuves d'évaluations biquotidiennes leur feront faire le nécessaire suivant des procédés ancestraux bien connus… Les professeurs feront le gros dos et simuleront ce qu'ils ne pourront pas obtenir. Et nous verrons alors si les enfants auront le cerveau bien dégagé pour relever de nouveaux défis.
L'idée que l'on pourrait enfermer définitivement un apprentissage de bases dans un socle sur lequel on pourrait ensuite développer des activités intelligentes sans jamais revenir sur ces prérequis est un fantasme récurrent de la didactique spontanée. Même certains professeurs y sont sensibles (On fait des choses intelligentes à partir de mon niveau, ce dont j'ai besoin c'est de l'application automatique de ce qui a été enseigné avant). Il ne se soutient que par l'hypothèse que l'automatisation sans la compréhension est toujours possible. Associé à l'usage incontrôlé d'une évaluation, il est un des obstacles majeurs, toujours renaissant aux progrès que proposent la didactique et l'épistémologie.
Peut-être les études et les actions menées par certains des membres de l'Académie auraient-elles pu être utilement confrontées aux résultats scientifiques obtenus dans le domaine de l'éducation et de la didactique des mathématiques. On n'en voit pas la trace ; et non plus celle du rapport de la CREM, qui dépose des conclusions assez différentes, ni celle du travail des IREM ou de L'ICMI et de ses commissions, qui offrent pourtant depuis trente ans aux mathématiciens une moisson d'observations, certes disparates, mais précieuses et publiques.
Il y a plus de vingt cinq siècles les mathématiques comme nous les entendons sont nées de la rupture avec la très ancienne tradition de l'ésotérisme qui permettait à des experts de conseiller les tyrans sans avoir d'autres comptes à rendre que leurs résultats. La démocratie, naissante elle aussi, avait heureusement d'autres exigences. Nous pourrions nous en inspirer aujourd'hui en matière de connaissances sur l'enseignement des mathématiques.
L'école, trahie par l'ignorance ou l'inconscience de ceux qui étaient ses soutiens traditionnels dans sa tâche de diffusion des connaissances nécessaires aux citoyens, se verra encore une fois imputer les échecs… Jusqu'à ce qu'une nouvelle génération d'inspirés ne les bombarde de ses nouveaux mythes. La périodicité est à peu près de quarante ans (1968-2008)

L'idée de revisiter l'enseignement du calcul à l'école primaire est judicieuse, et même probablement opportune. Fallait-il l'enfermer dans un « prêt à ordonner » aussi drastique ?

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* "3+4 --> 7" se disait "3+4 sont 7" au dix-huitième siècle (ce "sont" s'écrivait alors avec le "s" de début de mots, qui ressemblait à un f, ce qui l'a fait lire au 19e siècle "font"... jusqu'à nos jours). "donne" est le terme qui correspond à l'idée d'une opération alors que l'égalité indique que deux quantités sont remplaçables l'une par l'autre. 

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Pour les lecteurs de cette réaction étrangers à EducMath, précisons que Guy Brousseau est Mathématicien Didacticien, Professeur honoraire des Universités, Médaille Félix Klein 2003 de l'ICMI (International Commission on Mathematic Instruction), Docteur Honoris Causa des Universités de Montréal, de Genève et de Cordoba (Argentine). Il est aussi président d'honneur de l'ARDM (Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques).

 

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