Après l’avis de l’Académie des sciences, réflexions à propos d’un projet alarmant.

Les commentaires déjà publiés sur le site EducMath en réaction à l’avis formulé par l’Académie des sciences sur la place du calcul dans l’enseignement primaire contiennent des analyses convergentes sur de nombreux points. Partageant la plupart de celles-ci, je ne me livrerai pas à une critique supplémentaire, point par point, de ce texte. Après avoir évoqué le contexte dans lequel cet avis intervient et ce qui peut être considéré comme des lacunes dans son contenu, je m’attacherai plutôt à esquisser, sur l’exemple de la division, ce que pourrait être un enseignement du calcul amorcé « aussi tôt que possible », puisque c’est finalement ce qui semble être principalement retenu des recommandations qui sont faites… et également ce qui peut être le plus dangereux quant aux conséquences pour les élèves.

Le contexte dans lequel cet avis a été demandé et rendu

Il n’est pas possible d’étudier le contenu de cet avis sans d’abord évoquer les décisions annoncées par le ministre de l’Education Nationale au moment même où il lui était remis. Les académiciens, soulignant avec force la complexité de la question posée, considèrent « comme prudent de s’abstenir de préconisations impératives immédiates ». Cette nécessaire prudence n’est à l’évidence pas respectée lorsque le ministre envisage pas moins que de bouleverser en profondeur l’organisation de l’apprentissage du calcul en déclarant : « Les opérations doivent être introduites dès la grande section de maternelle pour qu'à la fin du CE1, les élèves sachent additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres entiers simples. Et je ne veux pas seulement parler du ‘ sens des opérations’, mais aussi de la capacité à les poser et à les effectuer ! ». Cette décision était d’ailleurs préparée de longue date et l’avis de l’Académie des sciences n’est sans doute destiné qu’à lui servir de caution. Il suffit pour s’en convaincre de revenir un peu en arrière. En mai 2006, en conclusion d’un rapport d’information sur l’enseignement des disciplines scientifiques dans le primaire et le secondaire  qui fait pourtant place à l’expression de points de vue relativement variés, un groupe de députés propose déjà de  « développer le calcul mental et l’apprentissage des techniques opératoires des quatre opérations dès le cours préparatoire ». En juillet 2006, le décret relatif au socle commun de connaissances et de compétences  prend soin de préciser, dans la partie relative aux principaux éléments de mathématiques que « Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l’école primaire des automatismes en calcul, en particulier la maîtrise des quatre opérations qui permet le calcul mental » (il convient de noter que la mention « aussi tôt que possible » n’est utilisée qu’une seule fois dans l’ensemble du décret !). Début janvier, dans une question au ministre de l’Education Nationale, un député déplore que les enfants « ne savent plus faire des divisions, qui ne sont plus au programme ! », tout cela à cause « de l’utilisation abusive de la calculatrice », ignorant ainsi totalement la réalité des programmes de l’école primaire et un récent rapport de l’Inspection Générale qui relève, pour le regretter, que « les calculettes sont peu utilisées ». Il n’est pas démenti par le ministre qui, dans sa réponse, se propose « de mettre en place, pour la rentrée 2007, un apprentissage, dès l’école primaire, des quatre opérations et du calcul mental », ce qui est déjà acquis dans les programmes actuels…

Des lacunes dans l’avis rendu par l’Académie des sciences

Cet avis contient des considérations largement partagées et des analyses intéressantes, par exemple sur le lien avec les autres matières ou la diversité des formes de l’apprentissage du calcul. Il comporte aussi des propositions contestables, reprises de celles d’un groupe d’influence aisément identifiable. Mais, on ne manque pas d’être surpris par ce qu’il n’évoque pas.
Il est étonnant qu’une étude portant sur la place du calcul dans l’enseignement primaire ne propose nulle part une analyse des programmes actuels ou plus anciens et de ce qui s’y trouve être en accord ou en désaccord avec les préconisations qui sont faites. Du côté des accords, il aurait, par exemple, pu être souligné que la distinction entre diverses formes de calcul y était largement présente et que l’importance du calcul mental s’y trouvait traduite par des exigences précises, accompagnées d’un document qui les explicite de façon détaillée.
Il est surprenant que le rapport complet et fouillé établi par la CREM  n’y soit pas mentionné, même si quelques idées en sont reprises, mais privées de l’argumentation cohérente qui en assurait la consistance.
Il est inquiétant de constater que les travaux de recherche conduits au cours des dernières décennies, en didactique ou en psychologie cognitive (notamment par l’équipe INRP ou dans les IREM et en lien direct avec de nombreuses classes,) ne soient même pas évoqués. Il est vrai que leurs résultats vont à l’encontre des préconisations les plus contestables contenues dans cet avis !
Dans la première phrase d’un paragraphe intitulé « Principes fondamentaux de l’enseignement du calcul » est évoqué l’objectif de « maintenir constamment ces calculs en liaison avec leur sens quantitatif et la résolution de problèmes concrets ». On attend vainement de la suite du texte des développements sur ce point crucial, enjeu majeur de toute acquisition de connaissances mathématiques, alors même que c’est là que se trouvent les difficultés les plus importantes rencontrées par les élèves… et par les enseignants.
On aurait aimé que la question cruciale de la formation et de l’accompagnement des enseignants soit davantage étudiée. On aurait peut-être trouvé là quelques explications aux difficultés rencontrées par l’enseignement des mathématiques à l’école primaire, en constatant notamment le déficit inquiétant de formation continue depuis une vingtaine d’années dans ce domaine.

L’enseignement du calcul « aussi tôt que possible » : l’exemple de la division

La proposition faite ici sera détaillée dans un article à paraître dans le bulletin de l'APMEP
Personne n’a intérêt à repousser un apprentissage important, dès lors qu’il est possible pour les élèves. Encore convient-il d’examiner à quelles conditions cela peut se faire sans accroître les risques de difficulté pour les élèves. Guy Brousseau, dans son texte, apporte, sur ce point, un éclairage utile auquel chacun peut se reporter.
L’examen de ce type de question fait apparaître une grande complexité et s’accommode mal de slogans rapidement lancés sur les ondes ou dans les colonnes des journaux, surtout si on fait référence à un hypothétique âge d’or qui n’a jamais existé et qu’il serait tout aussi hypocrite de réduire à la récitation ânonnée des tables de multiplication, immortalisée par un humoriste de l’époque.
Sur l’exemple de la division, souvent objet d’âpres débats, je propose ici une analyse rapide, et donc partielle de ce que peut être son apprentissage sur la durée de la scolarité primaire, en prenant la précaution de souligner qu’il serait présomptueux de prétendre que les suggestions avancées sont les seules raisonnables ! Mais, rentrer même un peu dans cette complexité me semble être un moyen utile de prévenir ceux qui sont tentés par des décisions « frappées au coin du bon sens » mais qui risquent justement de priver les élèves de la construction du sens de ce qui leur est enseigné.
Les travaux en psychologie cognitive relatifs à l’acquisition de la multiplication et de la division sont nettement moins nombreux que ceux qui traitent de celle de l’addition et de la soustraction. Il suffit, pour s’en convaincre, de se reporter à la synthèse récente rédigée sous la direction de Pierre Barrouillet et Valérie Camos (Barouillet et Camos, 2006, La cognition mathématique chez l'enfant, Solal) où il est noté que « la division a été la moins étudiée des quatre opérations » et, plus loin, que « à l’inverse des additions et soustractions, les multiplications et divisions ne semblent pas accessibles à l’arithmétique intuitive des enfants d’âge préscolaire » pour terminer par le constat que « la maîtrise de cette opération (la division) nécessite une connaissance parfaite des tables de multiplication ». Sur cette base, on perçoit le danger d’envisager un enseignement explicite de la division dès l’école maternelle…
La maîtrise d’un concept n’est jamais totalement aboutie ; elle résulte d’un long processus qui peut être analysé en se référant à différents aspects de ce concept. Le schéma suivant, inspiré de la caractérisation d’un concept proposée par Gérard Vergnaud, propose de l’analyser en quatre pôles qui sont en étroite interaction.

Ce schéma ne rend pas compte d’un autre élément important dans l’apprentissage d’un concept marqué par les relations (plus ou moins étroites) que le concept entretient avec d’autres concepts, par exemple la relation entre division et multiplication.

Bien qu’il soit difficile d’isoler un aspect d’un concept (matérialisé ici par un pôle), on peut tenter pour chacun d’eux, à propos de la division, de préciser quelques étapes de son apprentissage.

Quand peut-on proposer des problèmes « de division » aux élèves ?

Dès que les élèves sont capables de dénombrer, ils deviennent capables de traiter des problèmes « de division », ce qui ne signifie pas qu’ils sont déjà capables d’apprendre la division.
Assez tôt, à l’école maternelle, des élèves peuvent effectuer la distribution équitable de 15 images à 3 enfants, puis compter le nombre d’images reçues par chacun. Ils ont effectué une action pratique qui demande organisation et attention, mais ils n’ont ni calculé ni, a fortiori, utilisé la division. Ils ont simplement utilisé le dénombrement pour déterminer combien chacun a reçu d’images et, peut-être, pour contrôler que le résultat de la distribution est bien équitable.
Plus tard, en fin de Grande section, s’ils disposent effectivement de 15 images et si on leur indique qu’elles doivent être mises par trois dans des enveloppes, certains sont capables de trouver combien d’enveloppes il faut demander, en groupant leurs images par paquets de trois, puis en comptant les paquets obtenus, un paquet étant alors assimilé à une enveloppe. Le problème est plus délicat que le précédent, car les enveloppes ne sont pas présentes et doivent donc être évoquées par les paquets de 3 images.
Les mêmes types de questions peuvent être posées au cours des années suivantes, mais avec d’autres conditions : nombres plus grands, pas de matériel mis à disposition… A la fin du CP ou au début du CE1, elles peuvent être résolues en ayant recours à l’addition itérée. Un peu plus tard, la soustraction peut également être utilisée, puis une stratégie fondée sur des essais multiplicatifs devient possible ou encore, dans certains cas, l’utilisation d’un résultat multiplicatif mémorisé ou facile à retrouver. Ainsi, pour déterminer combien il faut d’enveloppes pour y placer 40 images à raison de 5 images par enveloppe, un élève de fin de CE1 peut utiliser le fait que 5 x 8 = 40. Il peut aussi prendre appui sur le fait que 2 enveloppes contiendront 10 images et en déduire qu’il faut donc 8 enveloppes… En mettant, avec lui, en évidence l’économie apportée par le recours à la multiplication pour traiter ce type de problèmes qui peut être reformulé en « combien de fois 5 dans 40 ? », l’enseignant l’aide à comprendre un peu plus tard la relation entre division et multiplication.
Mais, imposer, dès ces moments là, aux élèves de choisir la bonne opération (ici la division) pour répondre au problème posé ou exiger d’eux qu’ils traduisent à l’aide du symbolisme de la division ce qu’ils ont fait autrement, c’est leur faire courir un risque bien connu des enseignants. Plutôt que d’utiliser une stratégie de résolution qu’ils comprennent et qu’ils maîtrisent, certains élèves vont chercher à « deviner » l’opération attendue. Résoudre un problème ne consiste plus alors, pour eux, à élaborer un moyen de répondre à une question, mais à produire un calcul, supposé attendu, avec les nombres de l’énoncé. C’est tout le sens de l’activité mathématique qui est alors en perdition…
Comme l’ont montré de nombreux travaux conduits par différentes équipes qui ne sont pas nécessairement en accord sur d’autres aspects de l’apprentissage de la division, ce n’est qu’au cycle 3 que la division peut être instituée comme moyen efficace de résoudre rapidement ces deux catégories de problèmes, que la tradition a décrit comme « recherche de la valeur de chaque part » et « recherche du nombre de parts » (il convient de souligner que cette catégorisation n'épuise pas le champ des problèmes qui peuvent être résols à l'aide d'une division). Pourquoi ce moment est-il plus opportun ? D’une part, les situations de référence sont devenues familières aux élèves et, s’il s’agit de placer, par exemple, 255 images à raison de 3 images par page, l’interprétation sous la forme « combien de fois 3 dans 255 ? » devient donc plus aisée. D’autre part, la division peut maintenant être reliée à un réseau de procédures qu’elle remplace avantageusement (addition ou soustraction itérée, encadrement par des multiples successifs du diviseur…). Si, dans un problème, la reconnaissance de la division n’est pas immédiate, l’élève dispose soit de solutions alternatives soit d’un accès indirect à cette opération par le biais d’autres procédures reconnues comme équivalentes.
Autrement dit, du point de vue de la résolution de problèmes, à la question « peut-on enseigner tôt la division ? », la réponse est « oui » s’il s’agit de proposer dès l’école maternelle des situations dites « de division » et la réponse est « non » s’il s’agit d’attendre que, dès le départ, la division soit utilisée pour les résoudre. Et la réponse est à nouveau « oui » s’il s’agit d’organiser un apprentissage de la division sur le long terme, marqué par ce réseau qu’il s’agit d’établir entre plusieurs procédures de résolution.

Des résultats et des techniques qui vont être élaborés, structurés et mémorisés dans la durée

La technique posée de la division qui était traditionnellement enseignée en France, sans écriture de produits partiels ni pose de soustractions intermédiaires, est d’une grande complexité. L’étude qui, en 1996, s’est proposé de comparer, pour les élèves de 14 ans, les connaissances en calcul dans les années 20 avec ceux constatés dans la fin des années 90 conclut à des résultats voisins pour cette opération. Encore aurait-il fallu tenir compte du fait que, dans les années 20, les élèves poursuivaient l’entraînement de cette technique pendant les 3 années qui suivaient le CM2 et vivaient dans une société où le calcul posé était très présent, ce qui, sur les deux points, n’est plus le cas aujourd’hui. Pourtant, l’apprentissage d’une technique raisonnable (c’est-à-dire en s’autorisant l’écriture de quelques produits partiels et des soustractions intermédiaires) peut être fructueux pour la connaissance de la division, dans la mesure où cette technique met notamment en jeu les relations entre division, multiplication et soustraction. Cela ne peut être exploité que si l’apprentissage de la technique est accompagné d’un travail sur la compréhension des étapes du calcul et de leur organisation. Ce travail n’est lui-même possible que si les résultats élémentaires sont parfaitement disponibles, ce qui suppose une maîtrise « flexible » des tables de multiplication : il ne suffit pas de savoir que « 8 fois 6 égale 48 », il faut pouvoir en déduire immédiatement que dans « dans 50, il y a 8 fois 6 ». Autant dire que cet apprentissage ne peut guère être envisagé avant la fin du CE2 ou au CM1 et qu’un travail à son sujet est encore possible (et nécessaire) au collège. Un apprentissage aussi difficile peut-il être raisonnablement envisagé pour des élèves de maternelle ou de CP ? Le dégoût des mathématiques serait assuré pour beaucoup d’entre eux !
Mais bien d’autres résultats et bien d’autres procédures sont à apprendre plus précocement. Dès le CP, des doubles et des moitiés de nombres simples peuvent être mémorisés. Dès le CE1, la réponse à des questions du type « Combien de fois 2 dans 14 ? » ou « combien de fois 5 dans 35 ? » doit devenir rapide, en même temps que sont mémorisés les résultats des tables de multiplication par 2 et par 5. A partir du CE2, cette compétence doit être étendue aux autres tables de multiplication et des stratégies de calcul réfléchi peuvent être mises en place. Par exemple, pour trouver le quotient de la division de 90 par 6, les élèves doivent pouvoir choisir entre la procédure consistant à diviser successivement par 3 puis par 2 ou celle qui s’appuie sur la décomposition de 90 en 60 + 30 ou encore celle qui consiste à se demander quel nombre doit être multiplié par 6 pour obtenir 90… Cet exemple souligne que le calcul mental réfléchi et aptitude au raisonnement se nourrissent l’un de l’autre. Il convient, à cet égard, de distinguer très nettement ce qui doit être impérativement mémorisé (les tables, notamment) ou automatisé (la multiplication ou la division par 10, 100… entre autres) et ce que les élèves doivent être en capacité d’établir à l’aide d’un raisonnement approprié qui suppose des connaissances sûres et une première conscience des propriétés des opérations en jeu.
Là encore, les apprentissages relatifs à la division peuvent commencer tôt, mais sans débuter prématurément par celui qui est le plus délicat et sollicite de nombreuses autres connaissances, c’est-à-dire celui de la division posée !

Un appui nécessaire sur les propriétés de la division

Comme il vient d’être dit, le choix et la gestion de procédures de calcul réfléchi tout comme la compréhension et le contrôle des étapes du calcul d’une division posée ne sont envisageables que si l’élève est capable de mobiliser, en acte ou explicitement, certaines propriétés de la division. Ainsi, pour le calcul du quotient de 90 par 6 :
-    la première procédure proposée dans le paragraphe précédent suppose d’avoir compris que diviser par un produit revient à diviser successivement par chacun des termes du produit ;
-    la seconde nécessite de maîtriser le fait que le quotient d’une somme par un nombre est égal à la somme des quotients de chacun de chacun des termes de la somme par ce nombre ;
-    la troisième suppose de connaître la relation entre division et multiplication.O
n peut noter que le calcul du quotient de 90 par 15 conduirait sans doute à utiliser d’autres procédures, en le ramenant à une question du type « combien de fois 15 est-il contenu dans 90 ? » ou « par quel nombre faut-il multiplier 15 pour obtenir 90 ? ». Compte tenu des choix stratégiques qui sont à effectuer et des connaissances qui doivent être mobilisées, le calcul réfléchi de tels quotients ne peut que difficilement être envisagé avant le cycle 3. La connaissance de l’égalité caractéristique de la division euclidienne (a = bq + r avec r < b) est également fondamentale. Elle permet notamment de vérifier un résultat, mais peut également être utilisée pour trouver un quotient et un reste, par exemple en utilisant une calculatrice ordinaire qui ne les affiche pas directement.

Différents langages pour « parler » la division

Pour évoquer la division et les traitements à son propos, différents éléments langagiers peuvent être utilisés. Des formes langagières, proches du langage ordinaire, peuvent être introduites assez tôt. Ainsi, un élève de CE1 peut-il verbaliser le fait que « dans 15, il y a 3 fois 5 » ou que « 15 partagé en 3 donne 5 ». Il n’utilise pas alors de terminologie spécifique qui viendrait, à ce moment là, embrouiller son raisonnement.
Le langage verbal (oral ou traduit par écrit) utilisant des termes spécifiques peut être plus ou moins délicat à manipuler. L’une des procédures précédemment évoquée peut être exprimée ainsi : « Pour diviser 90 par 6, j’ai d’abord divisé 90 par 3 puis j’ai divisé le résultat obtenu par 2 », le mot « diviser » étant alors le seul terme spécifique utilisé. Dans le même registre, on pourrait expliquer que « Pour trouver le quotient de 90 par 6, on cherche d’abord le quotient de 90 par 3, puis le quotient par 2 du premier quotient obtenu ». Cette seconde formulation est plus difficile à manipuler que la première, notamment parce que l’énoncé porte sur les résultats (quotient) plutôt que sur l’opération (diviser). Là encore, l’enseignant doit être attentif à ne pas exiger trop tôt des formulations dont la compréhension ne serait pas assurée et qui focaliserait l’attention de l’élève sur la correction de la formulation plutôt que sur les étapes du raisonnement. Le discours ne soutient efficacement le raisonnement que si les termes et les formulations utilisées sont chargés de suffisamment de signification correcte.
Du côté du langage symbolique, la question est encore plus complexe. Lorsque le reste est nul, le quotient euclidien est égal au quotient décimal et l’utilisation du symbole « : » n’est guère différente de celle des autres symboles opératoires. Dans le cas de la division euclidienne avec reste non nul, on a affaire à une opération à deux résultats (le quotient et le reste) ou à deux opérations (l’opération « quotient » qui, à deux naturels associe le quotient euclidien du premier par le second et l’opération « reste » qui leur associe le reste). La question, ancienne, d’une notation pour cette division n’a, jusqu’à présent, pas trouvé de solution consensuelle. Dans l’immédiat, il semble raisonnable d’utiliser assez tôt le langage verbal, de privilégier l’égalité fondamentale de la division euclidienne pour rendre compte du quotient et du reste et de réserver la notation « : » au cas où la division « tombe juste » ou à celui où on cherche une valeur décimale approchée du quotient (7 : 3 ≈ 2,33, par exemple).

Conclusion

La question de l’apprentissage d’une opération aussi complexe que la division qui, quoi qu’en disent certains, met les élèves à rude épreuve depuis qu’elle est enseignée ne se résoudra  pas en avançant le moment où les élèves apprennent le symbolisme de cette opération et sont confrontés à la division posée à l’aide d’une potence. Le risque d’accroître des difficultés déjà importantes, de bloquer certains élèves sur des comportements « de détour » d’un apprentissage trop coûteux s’il intervient trop tôt est important. Il devrait dissuader les apprentis sorciers de s’engager dans une telle aventure… qui tournera à la mésaventure pour de nombreux élèves.
Finalement, la question « faut-il enseigner tôt la division ? » peut être comprise différemment. S’il s’agit de permettre aux élèves de résoudre, à l’aide de leurs connaissances disponibles, des problèmes dits « de division » ou de traiter des calculs simples par la réflexion avant de les mémoriser ou de les automatiser, la réponse est « oui ». S’il s’agit de les mettre en difficulté en les confrontant trop précocement à ce que la division comporte de plus délicat et de plus complexe, la réponse ne peut être que « non ».
Il faut espérer que, devant la complexité de ce type d’apprentissage, les décideurs auront l’intelligence de ne pas prendre de décision dans la précipitation et suivront les sages recommandations de l’avis de l’Académie des sciences qui souligne que « les changements préconisés devraient alors s’effectuer par paliers, et être accompagnés d’expérimentations sur le terrain, avec une attention toute particulière portée à la formation des maîtres ».