Il nous a été difficile, presque douloureux, de construire un texte sur cet Avis. D'abord il émane de personnalités dont nous avons toujours admiré la haute compétence, reconnue et validée par la communauté de référence des questions auxquelles ils s'attèlent. Ensuite la question de l'enseignement est un enjeu dont personne ne peut nier l'importance, mais dont chacun sait qu'elle est au cÅ“ur d'un réseau de systèmes social, économique, politique, psychologique, didactique…. Or dans cet Avis, à part une ligne sur la formation, aucune autre contrainte que celle des savoirs n'est mentionnée ; l'hypothèse implicite est donc la suivante : changeons les savoirs à enseigner ou l'année où on exige leur connaissance explicite et les élèves apprendront. Fonctionnons donc momentanément avec cette hypothèse. Le parfum du texte fleure bon la nostalgie (problèmes concrets, nombres concrets, proportionnalité via règle de trois….), traversé par certaines maximes indiscutables (la place de l'automatisation et de la compréhension dans les mathématiques), mais dont les principes de mise en Å“uvre laissent perplexe. Un certain nombre d'avis recouvrent les préoccupations des programmes 2002 du primaire et ont donc déjà été mis en texte à disposition des enseignants.

Notons cependant que les auteurs sont conscients des limites de leur rapport : «  C'est pourquoi l'Académie, en formulant cet Avis, considérerait comme prudent de s'abstenir de préconisations impératives immédiates, et recommande que les observations ici présentées puissent être corroborées d'analyses plus approfondies, le cas échéant contradictoires, auxquelles elle est toute disposée à apporter son concours. Les changements préconisés devraient alors s'effectuer par paliers, et être accompagnés d'expérimentations sur le terrain, avec une attention toute particulière portée à la formation des maîtres  ». A ce sujet, les préconisations du ministre (1) qui ont suivi la réception de ce texte «  Votre avis ouvre donc une perspective nouvelle, dont je souhaite préciser devant vous les modalités concrètes d'application. Les opérations doivent être introduites dès la grande section de maternelle pour qu'à la fin du CE1, les élèves sachent additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres entiers simples.  Et je ne veux pas seulement parler du « sens des opérations », mais aussi de la capacité à les poser et à les effectuer !  » ont donc été qualifiées, par anticipation, par l'Académie, d'imprudentes.

Mais examinons quelques points de cet Avis.

Lien entre calcul, géométrie et grandeurs

On peut lire dans l'Avis que l'enseignement du calcul devrait très tôt englober la numération et les quatre opérations et garder des liens avec la géométrie. Si géométrie garde sa signification classique relative à la connaissance de figures de base, des modes de construction sur feuille blanche de ces figures et des propriétés qui les définissent, cela représente beaucoup de travail simultané pour les jeunes années. Si géométrie se réfère plutôt à espace : les recherches cognitives et didactiques se sont accordées sur la nécessaire composante spatiale du dénombrement, l'importance d'un travail sur la ligne numérique pour l'organisation des nombres qu'ils soient entiers ou non entiers, les relations quasi- topologiques entre les nombres ; les préconisations actuelles des programmes 2002 soulignent l'importance d'outils de structuration comme la bande numérique, la ligne graduée. Si sous l'expression géométrie , se cache l'idée de supports type dessins algorithmiques à reproduire ou à continuer sur papier quadrillé ou ligné (les frises de bas de page des fichiers ou des cahiers d'antan), cela effectivement ne nécessite pas stricto sensu de grandes connaissances géométriques et/mais plutôt le recours à du repérage aidé par le comptage.

Dans les programmes 2002, le lien entre géométrique et numérique est très présent dans tous les cycles : repérage sur quadrillages par système de coordonnées (DAP ( 2)cycle 2 , page 25), construction de graphiques, de plans, de cartes ( DAP cycle 3 , pages 30 et 34), agrandissement réduction de figures ( DAP cycle 3 page 34) d'un point de vue géométrique (propriétés conservées ou non) et d'un point de vue numérique (échelle, conservation des rapports de longueurs ou de distances) en relation avec la proportionnalité ( DAP cycle 3 , page 16). Ce lien est aussi très travaillé dans le thème Grandeurs et Mesures ( DAP cycle 2 , pages 29 à 31 ; cycle 3, pages 35 à 39 ; DAC (3) pages 78 à 88), avec la mise en garde de ne pas réduire la première composante à la seconde.

Concernant la place des grandeurs pour la compréhension des nombres, les programmes 2002 ont insisté sur cette liaison fondamentale, de façon beaucoup plus forte que les programmes antérieurs. Les nombres sont travaillés à l'occasion de problèmes ( DAP cycle 2 , page 15) ; les nombres « concrets » sont donc bien présents. Il est fortement conseillé d'introduire les fractions à partir de situations de mesurage de grandeurs (longueurs et aires) avec une unité fixée, avec la contrainte de ne pas subdiviser l'unité en unités plus petites. ( DAP cycle 3 , pages 21-22). Attention cependant à ne pas engager les élèves dans une numérisation trop précoce des grandeurs continues dont de nombreux travaux en didactique des mathématiques ( 4) ont montré les dangers : croyance à la variation simultanée du périmètre et de l'aire (5), réduction des aires de quadrilatères au produit de deux (ou plus) longueurs de leurs côtés ( DAP cycle 3 , pages 35-39).

Les programmes 2002 conseillent aussi vivement dans le chapitre Grandeurs et mesure des DAC de ne pas ignorer le rôle que peuvent jouer certaines écritures symboliques dans la compréhension ( DAC page 82) :
Puisque les grandeurs considérées (longueurs, aires, volumes, durées, masses) peuvent s'additionner, se soustraire, être multipliées ou divisées par un nombre, les écritures suivantes sont correctes et leur utilisation est recommandée :
3 cm + 15 mm = 30 mm + 15 mm = 45 mm = 4,5 cm
3 kg + 500 g = 3,5 kg = 3500 g
4 x 37 cm = 1,48 m
3 h 45 min +1 h 28 min = 4 h 73 min = 5 h 13 min
3 x 15 min = 45 min etc

Calcul, automatismes et compréhension en arithmétique

Les trois volets du calcul

Le rapport 2001 sur le calcul de la CREM ( 6) avait clarifié ces trois composantes du calcul que sont calcul écrit, calcul mental, calcul instrumenté. Les programmes 2002 ont décliné calcul exact et approché selon ces trois modalités dans les pages 32 à 63 du Document d'accompagnement des programmes mathématiques (2005) : : calcul mental avec ses deux versants : automatique (tables, techniques incontournables) et réfléchi (calculer la différence 31-18 ; le produit de 15 par 16 ; le quotient entier de 230 par 7…) ; calcul écrit , non seulement automatique comme le calcul posé, mais aussi réfléchi  et enfin calcul instrumenté , essentiellement avec une calculatrice, en insistant sur sa complémentarité, aussi pour les apprentissages, avec les autres modes de calcul. Nous insistons sur le fait que c'est la première fois dans l'histoire des programmes qu'un texte sur le Calcul mental, aussi important et détaillé, est publié par le Ministère de l'Education Nationale ( DAC pages 32 à 49) : il s'intéresse aux conditions de la mémorisation, donne des indications de temps (une séance quotidienne dès le CP , 5 à 10 min pour de l'entretien, 15 min à 30 min pour la construction de techniques) et de moyens pour parvenir à des objectifs repérés par thème mathématique et cycle ( DAC page 37-38), avec pour support les nombres seuls ou des petits problèmes.

Un préalable : la compréhension

Nous adhérons à la phrase du rapport  : «  Le pire écueil à éviter est l'apprentissage de recettes calculatoires détachées de toute compréhension  ». Mais l'apprentissage des quatre opérations au CP nous semble justement faire courir le risque d'un tel écueil. La compréhension nécessite un équilibre beaucoup plus subtil qu'une relation monosémique entre problème, codage par une opération et technique de calcul. Les travaux de G.Vergnaud ( 7) ont abondamment montré la complexité de cette question de la résolution des problèmes relevant des quatre opérations.
Les programmes 2002 préconisent de faire résoudre aux élèves des situations qui relèvent des quatre opérations dès le CP : «  prévoir quel sera la résultat d'actions sur des quantités, des positons ou des grandeurs (augmentation, diminution, réunion, partage, déplacement,…)  » DAP cycle 2 , page 15), mais n'exigent pas d'eux qu'ils exhibent l'opération solution. Pour résoudre un problème de partage (12 bonbons équitablement entre quatre enfants), les élèves peuvent mener différentes actions mentales ou relayées par un écrit qui les conduisent au résultat du partage, résultat et/ou action, qui pourra ensuite être validée par un partage effectif. On sait l'impact positif sur les individus de la prise de conscience de leur capacité mentale à penser la réalité même cachée, ce que vise à permettre cette dialectique entre anticipation et contrôle par le réel. Où donc peut se loger la compréhension chez des élèves de grande section de maternelle ou de CP si elle n'est pas nourrie par une possibilité de contrôler, au moins dans un premier temps, que les résultats annoncés ne sont pas magiques ?
Le problème se pose différemment quand le partage concerne un plus grand nombre d'objets (36 objets entre trois enfants) : la distribution virtuelle (et même réelle) un par un est coûteuse, elle doit donc évoluer, les élèves ne peuvent envisager le traitement numérique jusqu'au bout que s'ils disposent de relais symboliques puissants à leurs actions : je donne 10 à chacun, ça fait 10+10+10 et encore 6 à donner… Ces relais symboliques sont souvent d'abord langagiers. L'écrit symbolique permet aussi de contrôler la réponse : 12+12+12 =36. Même si la division a été institutionnalisée dans le premier partage (12 par 4) il y a peu de chances qu'elle soit reconnue comme l'outil de traitement de ce nouveau problème, justement parce que le modèle d'action de l'élève aura changé.
Enfermer trop tôt les actions des élèves dans une formulation unique réduit considérablement la prise en compte de leurs expériences en général différentes. Ces expériences sont pourtant constitutives du savoir (en l'occurrence diviser).
Institutionnaliser une technique avant que les élèves n'aient eu des occasions de comprendre quels avantages, quelle économie elle offre par rapport à des stratégies plus « naturelles » reste inadapté. Par analogie, songeons à ces élèves de 2 nd² degré qui, pour vérifier que tel nombre est solution d'une équation, la résolvent entièrement.
Personne ne nie la nécessité d'entraînements routiniers sur des techniques. Mais l'élève qui n'a retenu de la règle ‘multiplier par 10' que ‘placer un zéro à la droite du nombre' sans mettre cela en relation avec la numération (23 fois 10, c'est 23 dizaines donc cela s'écrit 230 , idem pour 10 fois 23), ne peut étendre la règle sans coût mémoriel à la technique ‘multiplier par 100' ; il risque donc de se trouver surchargé de règles inutiles et de se construire une image des mathématiques comme accumulation de règles. Le passage à la multiplication par 10 d'un décimal non entier représentera un coût énorme pour de tels élèves. On sait trop que les élèves maladroits en mathématiques sont ceux qui accumulent les règles sans pouvoir contrôler leur domaine de validité.
Et que penser de la préconisation suivante, par ailleurs contradictoire avec les précautions du début de l'Avis : «  Des raisons pédagogiques fortes indiquent que celle-ci [la proportionnalité] doit être abordée via la traditionnelle règle de trois »  ?
Comment mettre l'injonction précédente en cohérence avec l'importance accordée à juste titre au calcul mental dans des problèmes concrets, par exemple dans le problème suivant : si 15 objets pour 7 €, combien d'objets pour 21 € ? Ou quel prix pour 30 objets ? Les élèves qui n'ont pas suffisamment travaillé les propriétés de linéarité en acte parce qu'ils auront été assujettis à la règle de trois seront bien démunis. Dans un contexte où la connaissance des rationnels est encore partielle, la règle de trois a elle aussi sa limite de validité. Si elle est l'unique technique apprise par les élèves, il se peut qu'en fin de primaire, certains élèves ne répondent rien à ces problèmes ou y répondent de manière erronée en tentant d'adapter la technique à leurs connaissances et non leurs connaissances au problème posé. Cet exemple montre bien les limites d'UNE technique à tout prix : il est indispensable d'étudier son coût, coût pour l'individu lors de la résolution d'un problème et coût en termes de complexité cognitive lors de son apprentissage. De ce point de vue là, l'apprentissage des quatre opérations au CP, vu sous l'angle décrit par le rapport, nous semble extrêmement coûteux.

Un enjeu magistral de l'école est l'apprentissage de la numération.

Les décalages entre numération orale (française) et codes indo-arabes (très partagés dans le monde) sont devenus invisibles à tout adulte, ils représentent pourtant nombre de perturbations sur le chemin du jeune l'écolier : 70 ne se dit pas septante, 95 ne se dit pas nonante cinq ; 100, 1000, 10 6 ont des noms spécifiques cent, mille, million, mais les noms de 10⁴ , 10⁵ , 10⁷ sont fabriqués avec des noms déjà là (dix mille, cent mille, dix millions…). Il y a donc bien deux systèmes de codes à apprendre, et à mettre en relation, le code langagier et le code indo-arabe, chacun fonctionnant avec une syntaxe différente, la syntaxe du code langagier s'opposant parfois à la régularité de l'écrit en chiffres : ‘ soixante cinq = 60+5' mais ‘quatre vingt trois= 4 x 20+3'. Addition et multiplication ont depuis toujours leur place dans cette construction, en aidant à expliciter certains principes des désignations des nombres.
Le calcul mental gagne à s'appuyer sur une dialectique entre ces deux codes : au cycle 2, le calcul de 80 + 14 peut se limiter à un traitement oral, celui 70+14 est souvent appuyé sur une image visuelle chiffrée.
L'écriture chiffrée des nombres est contre-intuitive pour les élèves de CP qui doivent déjà se persuader que 23 ce n'est pas 2+3 ; c'est plus que 20 et moins que 30 ; reste à préciser combien de façon exacte. Le travail à mener pour donner du sens à cette juxtaposition de chiffres très réglée du code indo-arabe ne se résout ni en un jour, ni à coup de règles apprises par cÅ“ur. Le but visé est certes que les élèves reconnaissent l'équivalence entre 56 unités ET ‘5 dizaines et 6 unités' mais aussi ‘4 dizaines et 16 unités' ; ‘26unités et 2 dizaines' et ces connaissances là, fondamentales pour la compréhension et la construction de techniques opératoires valent bien qu'on y consacre du temps.

Pour élargir le débat, la question de la formation

Il nous semble avoir montré que les programmes 2002 sont déjà conformes à certaines recommandations de ce rapport. Comment cela se traduit-il dans les pratiques ?
Premier problème : la prise de connaissance des textes par les enseignants. Bien que ces textes soient d'accès relativement aisé (en ligne et en vente) et distribués dans les écoles et/ou par les circonscriptions l'année de leur sortie, ils ne sont pas toujours lus (en témoignent d'ailleurs les rédacteurs de cet Avis) ; ils nécessitent souvent un accompagnement de la part de formateurs pour les mettre en résonance avec sa propre pratique, et ce d'autant plus, que pour les professeurs des écoles, cette dynamique est répétée dans chaque discipline enseignée à l'école.
Le récent rapport de l'Inspection Générale sur l'enseignement des mathématiques au cycle 3 ( 8) met à jour, dans son développement, certains malentendus de la part des enseignants sur la lecture des textes de programmes et des documents d'accompagnement, dont on peut faire l'hypothèse raisonnable qu'ils seraient au moins en partie corrigés par un effort de formation (animations en circonscription, stages de formation continue, formation à distance) qui permettraient aussi aux maîtres de revisiter des savoirs mathématiques.
Deuxième problème : la formation des maîtres reste toujours à peine mentionnée, détachée de ses éventuels effets sur les apprentissages des élèves. Or nous savons qu'elle constitue un des maillons essentiels de la chaîne entre textes injonctifs et apprentissages mathématiques des élèves.
La formation continue des maîtres ne touche qu'une infime partie des enseignants, et principalement des enseignants volontaires, dont l'implication dans la formation n'est d'ailleurs en général pas reconnue. Elle subit des rognages successifs alors qu'elle aurait dû être décuplée pendant plusieurs années suite aux nouveaux programmes 2002 dans toutes les disciplines. Cette année (2006-07), sur décision ministérielle, elle a encore été diminuée d'environ un tiers : les stagiaires PE2 ne remplacent plus un maître déchargé pendant trois semaines pour se former, mais un directeur d'école de quatre classes un jour par semaine toute l'année. Mais sans doute ces préoccupations de « mise en acte à grande échelle » des textes des programmes semblent elles bassement matérielles à bon nombre de penseurs. Puisque les savoirs mathématiques du ressort de l'école primaire ont peu changé et que les méthodes anciennes ont permis à certains élèves de réussir, pourquoi donc changer et développer l'effort de formation ? Il suffit de se rappeler comment on a été enseigné, peu importe avec quelle efficacité sur l'ensemble de nos autres compagnons de classe. Par analogie provocatrice, concernant l'apprentissage de la natation en piscine, nous proposons la réintroduction de la méthode Beulque (9), novatrice en 1922, dont notre mère garde un souvenir ému, bien que ne sachant pas nager.
Troisième problème : l'impact des outils disponibles tels que manuels scolaires n'est pas non plus envisagé. Or il faut se rendre à l'évidence, pour des enseignants en grande majorité non spécialistes de mathématiques, c'est souvent le manuel scolaire qui fait référence. Leur variété fait florès, ils ne sont soumis à aucun contrôle scientifique ni didactique, leur choix est libre. Il serait donc illusoire de croire à une lecture consensuelle des textes de programmes. Envisager des veilles scientifiques sur une liste d'outils pédagogiques guidant l'enseignant pourrait devenir une question aussi envisagée en France (comme dans de nombreux autres pays), sans doute au grand dam des maisons d'édition. Bien entendu, la commission chargée de la veille devrait rester garante de la scientificité de la veille, par sa culture disciplinaire et didactique, son ouverture sur les recherches liées à l'enseignement et sa connaissance du Système de l'Ecole Primaire et de ses acteurs (les élèves, les enseignants, les formateurs, les inspecteurs...). Il est vrai que dans le climat actuel, cette proposition n'est pas sans risque…

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2 DAP = Doc u ment d'application des programmes 2002, mathématiques. Editions SCEREN CNDP 2002 ; disponible sur le site du CNDP
3 DAC= Doc u ment d'accompagnement. Mathématiques. Editions SCEREN CNDP 2005 : disponible sur le site du CNDP
4 Par exemple Douady R. & Perrin-Glorian M.J (1989) Un processus d'apprentissage du concept d'aire. Educational Studies in Mathematics 20 . 387-424.
5 Si le périmètre d'une figure A est plus grand que celui d'une figure B, il en sera de même des aires : aireA>aireB.
6 Disponible sur http://smf.emath.fr//Enseignement/CommissionKahane/
7 Vergnaud G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques 10/2.3 . 133-170.
8 disponible sur http://www.education.gouv.fr/cid4172/l-enseignement-des-mathematiques-au-cycle-3-de-l-ecole-primaire.html
9 Cette méthode, appuyée par un système de poulies et de câbles, consiste, pour le soulever ou le plonger dans l'eau, à entourer chaque enfant d'une sangle suspendue lui permettant de faire des mouvements et à un moment d'ouvrir cette sangle…..