À propos de l’enseignement du calcul à l’école primaire : une perspective historique Certaines des propositions formulées dans l’avis de l’Académie des sciences ne sont pas sans rappeler les programmes de « calcul et système métrique » de l’école élémentaire de 1945, programmes au sujet desquels certains scientifiques ont exprimé une certaine nostalgie ces dernières années : l’enseignement « aussi précoce que possible » des quatre opérations et l’introduction de la proportionnalité « via la traditionnelle règle de trois », mais aussi la référence aux « situations concrètes » et la liaison entre géométrie et calcul à travers les activités de dessin, sont parmi les plus significatives. Un détour historique peut permettre, nous semble-t-il, d’en mesurer la portée.

Sur l’enseignement « aussi précoce que possible » des quatre opérations

L’institution d’un apprentissage précoce et simultané des quatre opérations trouve son origine dans l’organisation de l’enseignement primaire public – qui constitue alors « l’école du peuple » – des premières années de la Troisième République. Il s’agit d’enseigner à tous les élèves les connaissances nécessaires pour entrer dans la vie active, tout en tenant compte de la brièveté des scolarités (vers 1935 encore, moins de 20% d’une classe d’âge accède à un enseignement post-élémentaire). Aussi l’enseignement est-il organisé selon un système dit « concentrique », de telle sorte que, quel que soit le temps passé à l’école, les élèves aient étudié, certes de façon plus ou moins complète, l’ensemble des notions inscrites au programme. Ce système conduit à mener de front l’apprentissage de notions mathématiques qui autrefois se succédaient, et donc à rendre certains apprentissages plus précoces. C’est ainsi que l’étude de la division est déplacée vers l’amont de la scolarité, et que les quatre opérations sont inscrites non seulement au programme des cours élémentaire, moyen et supérieur, mais aussi à celui de la classe enfantine qui accueille les enfants de 5 à 7 ans et de son équivalent à l’école maternelle (arrêtés des 27 et 28 juillet 1882).

Instituée en 1882, cette disposition des programmes fut prorogée en 1923 (le cours préparatoire est alors substitué à la classe enfantine), puis en 1945 modulo quelques aménagements (multiplication et division par 2 et 5, plutôt que par 2, 3, 4). Elle est restée en vigueur jusqu’en 1970, date à laquelle un nouveau programme, de « mathématiques » cette fois, est publié  dans le cadre de la réforme dite des « mathématiques modernes ». En proposant un apprentissage plus gradué des quatre opérations, le programme de 1970 rompt avec la logique de l’enseignement concentrique : au cours préparatoire, l’apprentissage arithmétique ne dépasse pas la comparaison et l’addition de deux nombres entiers. C’est que, avec la scolarité obligatoire repoussée à 16 ans et la démocratisation croissante de l’accès à l’enseignement du second degré, il devient possible, en les étalant dans le temps, de proposer des apprentissages mieux adaptés aux différentes étapes du développement de l’enfant, voire de reporter l’enseignement de certaines connaissances aux classes du premier cycle du second degré. Au-delà des considérations d’ordre psychopédagogique, ce mouvement de report vers l’aval de certains apprentissages apparaît comme une conséquence du changement de fonction de l’école primaire élémentaire, laquelle ne constitue plus essentiellement un enseignement terminal, mais débouche sur le collège.

Sur la règle de trois et les fractions

L’avis de l’Académie des sciences suggère, pour l’enseignement de la proportionnalité, de renouer avec « la traditionnelle règle de trois », c’est-à-dire avec la méthode de réduction à l’unité. Peu usitée au début du XIXe siècle, la méthode de réduction à l’unité est popularisée à partir des années 1830-1840, tant par les inspecteurs primaires que par les manuels scolaires ou la presse pédagogique, puis s’impose après 1850. Elle consiste à faire résoudre aux élèves des problèmes relevant de la règle de trois en utilisant seulement les « quatre opérations » ainsi qu’un raisonnement élémentaire, plutôt que la théorie des proportions, rejetée hors du champ de l’arithmétique scolaire. C’est précisément parce qu’elle fournit l’occasion de « raisonner » un problème que cette méthode va connaître une certaine fortune scolaire. Son emploi trop systématique est cependant contesté. Dans son article « Problème » du Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire (1887), l’inspecteur général Pierre Leyssenne en signale l’« abus dangereux quand on l’applique aux problèmes les plus simples ». De même, certains auteurs de manuels dénoncent son emploi machinal (un procès fait antérieurement à l’usage des proportions), relèvent les absurdités (comme les fractions d’ouvriers) auxquelles celle-ci peut conduire, et recommandent la prudence, voire proposent le recours aux proportions. Vers le milieu des années 1950, les méthodes proposées tendent d’ailleurs à se diversifier, avec par exemple l’emploi de solutions graphiques. Une instruction ministérielle d’août 1957, relative à la classe de 6e il est vrai, recommande même d’établir, quand l’occasion se présente, des « correspondances » entre des grandeurs variables : « On peut remarquer, à ce propos, que dans le cas de grandeurs variant proportionnellement, la considération de telles suites de nombres pourra parfois rendre inutile le recours à la "règle de trois" et à son automatisme non exempt de danger ».

La notion de proportionnalité, notent les académiciens, est étroitement liée à la manipulation des fractions. Tel est le cas également dans les programmes de 1945. Mais alors que les programmes de 1923 faisaient se succéder l’étude des fractions (décimales puis ordinaires, « dans des cas numériquement très simples ») et celle de la règle de trois, ceux de 1945 inversent cet ordre : l’étude de la règle de trois précède celle des fractions, celles-ci devant être « très simples » (demi, tiers, quart, cinquième, dixième, soixantième). Cette inversion est loin de faire l’unanimité : un inspecteur y voit alors « le caprice (et le diktat) de quelques-uns »  et les instituteurs de Montélimar, réunis en conférence pédagogique en 1955, manifestent leur préférence pour les programmes de 1923.

Reste que les programmes de 1945 ne vont pas aussi loin que les propositions de l’Académie des sciences. En effet, celle-ci préconise l’étude des nombres premiers, de la décomposition en facteurs premiers pour la recherche du PPCM, afin de pouvoir opérer sur les fractions et les réduire au même dénominateur. Toutes notions qui, portées au programme du cours supérieur (11-13 ans) en 1882, furent supprimées quatre décennies plus tard :

« Le programme du cours supérieur ignorera désormais l’étude des nombres premiers, les caractères de divisibilité, le plus grand commun diviseur, en un mot tout ce qui est arithmologie pure. Faut-il le déplorer ?

Évidemment ces questions font la joie de quiconque a du goût pour les mathématiques. Elles continueront d’ailleurs à faire la joie de ceux qui, à l’école normale par exemple, poursuivront leurs études. Mais dans nos écoles élémentaires, pour des enfants qui n’ont pas treize ans, pouvons-nous, en toute tranquillité, laisser subsister des enseignements de luxe ? Des vÅ“ux unanimes, répétés, réclamaient des programmes allégés et pratiques. Un sacrifice a paru nécessaire. Il faut bien se résigner à ce qu’on a souhaité et exigé. Qui serait assez insensé pour réclamer l’inscription au programme de tout ce qui est la fleur des disciplines variées ? Les mathématiques ont bien d’autres chapitres aussi élégants : l’histoire, la philosophie, les lettres, les sciences de la nature, l’astronomie, n’offriraient-elles pas, sans fin, des chapitres rivalisant de charme avec les nombres premiers ? Mais hélas ! L’art est long et les années sont brèves.

Ajoutons qu’il sera permis de faire faire en classe des problèmes, des exercices de calcul, où les mots "nombres premiers", "diviseurs communs", "caractère de divisibilité" pourront être employés. Ce qui est supprimé, c’est le "cours", "l’étude théorique" de cette arithmologie » (Instructions du 20 juin 1923).

Et si les programmes de 1945 réintroduisent les caractères de divisibilité, au niveau du cours moyen cette fois, c’est principalement en vue de la simplification des fractions (et pour la preuve par 9). Le fait que, avec la pérennisation de notre système décimal de mesures, les problèmes pratiques faisant intervenir des fractions deviennent « de plus en plus rares » (Instructions du 7 décembre1945), et que les calculs relatifs aux problèmes de proportionnalité n’utilisent que la multiplication et la division des fractions, rend inutile les réductions au même dénominateur. C’est d’ailleurs ce point de vue qui est adopté en 1970 : introduites au cours moyen dans la cadre de l’étude de la « proportionnalité » (et non préalablement à celle-ci), les fractions représentent une chaîne d’opérateurs que l’on peut multiplier, simplifier, inverser.

Sur la référence aux « situations concrètes »

Les académiciens proposent que l’enseignement du calcul puisse « se référer à des situations concrètes » et s’appuie sur la « résolution de problèmes concrets ». La référence au concret constitue une caractéristique majeure de l’enseignement primaire tel qu’il s’est développé au XIXe siècle et dans la première moitié du XXe. Celle-ci tient largement au fait que l’enseignement s’adresse à de jeunes enfants. C’est au cours du XIXe siècle que s’impose l’apprentissage simultané (et non plus successif) du « lire-écrire-compter » dès le commencement de la scolarité. Rendre plus précoce les apprentissages mathématiques élémentaires implique de revoir les méthodes pédagogiques : on n’enseigne pas de la même façon à de jeunes enfants qui savent à peine lire et écrire et à des pré-adolescents qui possèdent déjà des éléments de lecture et d’écriture. Donnant davantage de place à l’oral, les méthodes pédagogiques évoluent dans le sens d’une approche inductive des objets mathématiques en s’appuyant sur le « besoin d’activité » des enfants et en mobilisant leur expérience sensible. Tandis que les « nombres concrets », c’est-à-dire suivis d’un nom d’objet ou d’une unité (30 pommes, 30 mètres), sont préférés aux « nombres abstraits », les pratiques enseignantes s’orientent vers l’utilisation d’objets matériels destinés à faciliter la compréhension des opérations : cailloux, bâtonnets, ou mieux encore boulier-compteur, lequel apparaît autant comme un appareil de démonstration (pour le maître) qu’un instrument de calcul. L’apprentissage arithmétique passe donc par l’observation et la manipulation. Ce que les instructions de 1945, reprenant celles de 1923, rappellent en ces termes : « Partout, l’opération manuelle doit précéder l’opération arithmétique ».

Mais si la référence aux « situations concrètes » caractérise l’école primaire d’avant 1960, c’est aussi parce que, accueillant des enfants qui, dans leur très grande majorité, entreront tôt dans la vie active, elle doit approprier son enseignement à leur probable avenir social et professionnel. L’enseignement mathématique n’échappe pas à cette logique, et la résolution de problèmes « pratiques », rendant compte de situations « usuelles », est au centre du dispositif : « Nous n’oublions pas que la plupart de nos élèves devront, dès qu’ils nous auront quittés, gagner leur vie par leur travail, et nous voulons les munir de connaissances pratiques qui, dès demain, leur serviront dans leur métier », indiquent par exemple les instructions de 1923. Si, dans l’esprit des principaux responsables de l’enseignement primaire, il n’y a pas d’antinomie a priori entre le caractère « utilitaire » et la dimension éducative de l’école primaire, cet ancrage dans la « vie courante », renforcé en 1945 afin de marquer « la volonté d’une relation étroite entre les mathématiques de l’école et les nécessités de la vie » n’en suscite pas moins certaines réserves : non seulement les problèmes « pratiques », qui sont censés rendre compte de situations réelles, sont trop souvent des problèmes factices, mais – l’argument se développe fortement dans les années 1950 – la priorité donnée au pratique risque de minorer la valeur proprement éducative de l’enseignement du calcul, voire le développement de l’« esprit mathématique ». Au reste, cette dimension pratique de l’enseignement n’a pas résisté au mouvement de démocratisation de l’enseignement. La réforme de 1970 rompt avec la logique de préparation à la vie active et professionnelle. Il ne s’agit plus, désormais, de faire acquérir aux élèves des techniques de résolution de problèmes suggérés par la vie courante mais, comme le dit la circulaire du 2 janvier 1970, « de leur assurer une approche correcte et une compréhension réelle des notions mathématiques liées à ces techniques ».

Calcul, géométrie et dessin

« Le lien entre géométrie et calcul doit être recherché dans des activités de dessin », estiment les académiciens. L’enseignement de la géométrie entretient avec l’enseignement du dessin des liens historiques forts, qui remontent aux premières décennies du XIXe siècle lorsque les méthodes de « dessin linéaire », dont le mathématicien FrancÅ“ur est le principal initiateur, commencent à être popularisées dans les écoles (voir article sur le site CultureMath). Loin de se distendre, ces liens vont au contraire se resserrer lorsque l’enseignement de la géométrie trouve officiellement sa place comme matière obligatoire de l’école primaire en 1882. Observer, reconnaître, nommer, comparer, mesurer, dessiner : telles sont les activités auxquelles les élèves, surtout les plus jeunes, sont invités à se livrer dans le cadre des leçons de géométrie. Outre les activités de dessin géométrique, le travail manuel est mis à contribution à partir des année 1890 : les exercices de pliage, de découpage ou de cartonnage sont envisagés comme la partie expérimentale – ou appliquée – de l’enseignement mathématique, à l’instar des manipulations ou des travaux agricoles dans l’enseignement des sciences physiques et naturelles. Des manuels scolaires, des revues pédagogiques, publient des « tableaux de concordance » mettant en parallèle notions géométriques (incluant le calcul de surfaces et des volumes), exercices graphiques et activités manuelles ; des inspecteurs expliquent comment organiser un « cahier de géométrie » comprenant ces trois composantes ; et on connaît des exemples de classes où, au début du XXe siècle, ces trois enseignements furent dispensés de façon véritablement complémentaire.

Cette complémentarité entre les enseignements d’arithmétique et de géométrie, de dessin et de travail manuel, va rester une constante jusqu’aux années 1960 au moins. Les instructions de 1945 rappellent, après celles de 1923, que l’enseignement de la géométrie consiste essentiellement en des exercices d’observation et de construction faits en liaison avec le dessin et le travail manuel. Les nombreux manuels scolaires qui proposent, en guise d’application, des dessins de frises géométriques, mais aussi des pliages et des découpages, éventuellement accompagnés d’applications numériques, témoignent de la fortune, mais peut-être aussi de la pertinence, de cette collaboration disciplinaire. Après un relatif abandon, dû aux bouleversements opérés par la réforme des mathématiques modernes, le dessin géométrique est redevenu, grâce notamment à l’impulsion donnée dans les années 1980 par les IREM, une activité mathématique à part entière permettant de faire découvrir et apprécier la géométrie à l’école élémentaire.

Les programmes de 1945 furent-ils de « bons » programmes ?

Alors que les académiciens motivent leur avis par le fait que « de nombreuses observations convergentes indiquent une insuffisante maîtrise du calcul, dont les fondements se mettent indiscutablement en place à l’école primaire », on peut se demander si les programmes de 1945 furent de « bons » programmes et si l’enseignement dispensé avant la réforme des mathématiques modernes, permettait d’obtenir des élèves de bonnes « performances en calcul ».

Rappelons que si l’école primaire de l’après-guerre scolarise l’ensemble des petits français, elle n’en est pas encore à les envoyer tous dans les classes de premier cycle secondaire ou dans les cours complémentaires qui se développent alors. Certes, il faut déjà compter avec un début de démocratisation de l’accès au second degré, qui va aller crescendo au cours des années 1950, mais de nombreux élèves (environ 40 % de la population scolarisable en 1958) achèvent encore leur scolarité dans les classes de fin d’études des écoles primaires, faute d’avoir réussi l’examen d’entrée en 6e (ou d’y avoir été présentés). S’il s’avère que ces élèves des classes de fin d’études ont des connaissances de base insuffisantes, plusieurs enquêtes effectuées dans la décennie 1950 aboutissent à un jugement identique, quoique plus nuancé, concernant leurs camarades admis en classe de 6e (après un examen réputé difficile, et souvent au prix d’un redoublement du cours moyen 2e année) et même les élèves du second cycle. Si bien que, à cette époque, le thème de la « baisse du niveau » mobilise les esprits. Bien que contestés sur certains points, les programmes de 1945 n’apparaissent toutefois pas comme étant la cause exclusive d’une éventuelle faiblesse des élèves en calcul (signalée dès 1947 dans une circulaire ministérielle) : les méthodes d’enseignement, l’« effet-maître », comme on dirait aujourd’hui, sont également invoqués. On peut surtout penser que la démocratisation de l’enseignement des années 1950 rend plus visibles les élèves rencontrant des difficultés scolaires, lesquels ne quittent plus forcément l’école de façon précoce. Le fait que, en 1960, une circulaire ministérielle invite les maîtres de l’enseignement élémentaire à « établir les fondations solides et durables de tout l’édifice scolaire » et à faire en sorte que les élèves entrant en 6e, toujours plus nombreux, « n’hésitent pas sur le sens d’une opération arithmétique » (cette compétence n’était donc pas forcément acquise) et « ne commettent pas des erreurs dues à une connaissance imparfaite des tables » (ce qui prouve qu’elles n’étaient pas toujours sues) est significatif de cette évolution.

Il n’est pas question ici de porter un jugement sur le degré d’efficacité des programmes de 1945. Une chose est sûre, ces programmes, ainsi que leurs instructions d’accompagnement, affichaient clairement les objectifs de l’enseignement mathématique à l’école primaire : calculer vite et bien pour pouvoir résoudre les problèmes de la vie courante. Mais si ces derniers pouvaient paraître en phase avec l’état de la société au lendemain de la Seconde Guerre mondiale (scolarité obligatoire à 14 ans seulement, environ 5 % d’une classe d’âge accédant au baccalauréat), ces derniers se sont révélés progressivement inadaptés aux évolutions de l’institution scolaire : évolutions dans l’organisation de ses cursus qui se démocratisent et s’allongent de façon notable ; évolutions dans ses objectifs, l’école primaire cessant de préparer à la vie pour préparer au collège.

S’il s’agit aujourd’hui de repenser l’enseignement du calcul, peut-être faudrait-il réfléchir non seulement aux « performances en calcul », mais aussi aux finalités de l’enseignement mathématique dans une école où c’est aujourd’hui l’ensemble des élèves scolarisés à l’école élémentaire, et non plus une petite élite sociale, qui accède aux études longues.