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Extraction des racines carrées

Dernière modification 03/12/2007 09:02

Le procédé d'extraction des racines carrées présenté ici diffère assez notablement de la méthode occidentale classique. On commence par inscrire à droite du boulier le radicande que l'on divise mentalement en tranches de deux chiffres en partant de la droite. On soustrait 1 de la tranche la plus à gauche et on marque 1 sur la tige située à l'extrême gauche du boulier. Voici, par exemple, le calcul de la racine carrée de 546.


Position de départ.



Première étape : 5 - 1 = 4.

Ensuite, tant que cela est possible, on soustrait le double du nombre situé à gauche augmenté de 1 à la tranche en cours et on ajoute 1 à ce nombre. Ci-dessous, on a soustrait 2 × 1 + 1 = 3 de 4 et on a ajouté 1 à gauche.


Deuxième étape : 4 - 3 = 1.

Lorsque la soustraction n'est plus possible, on ajoute une tige au nombre situé à gauche et la tranche suivante à la tranche en cours, puis on reprend le procédé. Dans notre exemple, on ne peut retirer 2 × 2 + 1 = 5 de 1. On soustrait donc 2 × 20 + 1 = 41 de 146, et ainsi de suite...


Troisième étape : 146 - 41 = 105.



Quatrième étape : 105 - 43 = 62.



Cinquième étape : 62 - 45 = 17.

On lit le résultat : 546 = 232 + 17.

La justification du procédé repose essentiellement sur l'égalité :

(n + 1)2 = n2 + 2n + 1.

Si n désigne le nombre inscrit à gauche du boulier et N la partie du radicande en cours de traitement, alors le nombre inscrit sur les tiges en usage à droite est égal à N - n2. Ceci se vérifie aisément par récurrence. En effet, pour augmenter n de 1, il faut soustraire 2n + 1 du nombre inscrit à droite. Celui-ci devient donc :

(N - n2) - (2n + 1) = N - (n + 1)2.

Lorsque le procédé s'arrête, le nombre n inscrit à gauche minimise la quantité N - n2. C'est donc la partie entière de la racine carrée de N.


 

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