Objectifs

Dynamiser l’étude des mathématiques dans l'enseignement secondaire par la mise en place d’Activités ou de Parcours d’Étude et de Recherche. Développer des activités et des parcours d’étude et de recherche qui redonnent du sens aux mathématiques enseignées dans le second degré. Etudier les conditions de réalisation effective de telles activités et de tels parcours.

Partenariat

INRP, ADIREM (avec une participation des IREM de Bordeaux, Clermont-Ferrand, Aix-Marseille, et Poitiers), IUFM de Toulouse.

Présentation

Motif

Il y a urgence à redonner du sens aux mathématiques enseignées dans le secondaire. Trop souvent, des objets mathématiques, leurs propriétés, sont enseignés sans que l’on fasse apparaître l’intérêt de leur étude. Par exemple, au collège puis au lycée, le triangle fait l’objet d’un enseignement qui couvre une importante partie du programme de géométrie, mais on peut se demander quelles sont les raisons qui motivent tant d’attention accordée à cet objet. Ce sont de telles raisons qu’il convient de restaurer à travers une dynamique d’études et de recherches qui permette de les faire rencontrer et vivre par les élèves dans l’enseignement des mathématiques du secondaire.

Le travail de recherche : Activités d’étude et de recherche (AER) – Parcours d’étude et de recherche (PER)

La définition des AER et des PER est donnée dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique développée notamment par Y. Chevallard (Chevallard, 1998, 2002, 2004). En quelques mots, il s’agit de motiver, à partir d’une question problématique dévolue aux élèves, l’étude d’un sujet ou d’un thème mathématique pour le cas des AER ou bien l’étude d’une partie d’un secteur ou d’un domaine mathématique pour le cas des PER. On retrouve ainsi l’un des objectifs pratiques que s’est assignée la didactique des mathématiques : parvenir à développer dans la classe et par l’étude une genèse artificielle du savoir, afin que les élèves rencontrent sa nécessité et sa fonctionnalité au sein de situations conçues pour cela. Cette idée est au cÅ“ur de la théorie des situations didactiques développée par G. Brousseau. Elle est reprise dans le travail des diverses équipes, en tenant compte de certaines des contraintes propres à l’enseignement des mathématiques dans les établissements secondaires actuels.

S’il est d’usage aujourd’hui de faire débuter l’étude d’un chapitre par une ou plusieurs activités, force est de constater, en parcourant la plupart des manuels existants, que trop souvent ces activités ne sont que de simples phases préparatoires, voire de purs échauffements mettant en scène des pré requis, et dont le principal défaut est de ne pas faire apparaître la ou les questions problématiques motivant l’étude à entreprendre. Il apparaît aussi que le découpage en chapitre, chacun traitant d’un sujet particulier, tend à faire disparaître les grandes questions problématiques à fort pouvoir générateur d’études et de recherches, lesquelles pourraient motiver fortement l’enseignement de notre discipline. Avec la production d’AER et de PER, pour remédier à cet état de fait, nous développons des activités authentiques faisant apparaître des questions problématiques objets de l’étude. Ces questions peuvent se poser en dehors mais aussi depuis l’intérieur des mathématiques.

C’est ainsi qu’on peut donner, à ce jour et sans être exhaustif de tout le travail réalisé, les quelques exemples suivants :

·         l’équipe de l’IREM de Bordeaux a élaboré et expérimenté une AER où la notion de médiatrice et la propriété d’intersection des médiatrices d’un triangle sont construites en tant que réponse à deux questions successives dévolues aux élèves : « Existe-t-il un ou plusieurs cercles qui passent par deux points, puis par trois points ? » Elle peut déboucher sur le problème plus vaste de l’étude de la cocyclicité de n points, que l’on rencontre dès le Collège.

·         plusieurs équipes ont travaillé le grand domaine de l'algèbre au collège, définissant ainsi un PER qui peut se construire comme réponses aux questions problématiques suivantes : "Comment représenter un programme de calcul?", "Comment produire un calcul sur les programmes de calcul pour s'assurer de l'équivalence de tels programmes?", "Comment résoudre une équation?", « Comment comparer des programmes de calcul ? »

·         le théorème de Thalès est rencontré lors de l'étude de triangles en fonction de leurs angles : "Que peut-on dire de triangles dont on connaît un angle, deux angles, trois angles?" La superposition de triangles semblables conduit alors au théorème de Thalès. C'est une AER étudiée par l'équipe de l'IREM de Marseille. Elle permet de rencontrer l’étude de la similitude qui traverse l’enseignement des mathématiques de la 4^e à la Terminale, même si c’est parfois sous des dénominations différentes, et débouche sur un PER.

·         Le programme de géométrie dans l'espace de la classe de seconde a été traité par l'équipe de Clermont-Ferrand avec l'étude de pyramides et leurs représentations en perspective cavalière : "Une représentation en perspective cavalière d'une pyramide étant donné que peut-on dire de celle-ci ?" "Peut-on construire un patron, et si oui comment, d'une pyramide ayant pour base un quadrilatère quelconque?" Peut-on déterminer la section d'une pyramide par un plan?"

·         L'équipe de Poitiers s'est donnée comme objectif de structurer deux programmes, celui de la classe de sixième et celui de la classe de seconde, à partir de questions à fort pouvoir générateur d'étude, ce qui génère des PER. Citons, pour l’exemple, et pour la classe de sixième de telles questions : comment mesurer, comment calculer, comment comparer des grandeurs ? Comment dénombrer l’effectif d’une collection ? Comment construire ou reproduire un objet géométrique ? De telles questions en appellent d’autres et leur étude forme ce que nous appelons un parcours d’étude et de recherche.

·         Un PER statistique couvrant l'ensemble du programme du collège est l'objet d'une étude et d'expérimentations par l'équipe de l'IUFM de Toulouse : celui-ci est généré par une enquête sur les habitudes alimentaires au petit déjeuner des élèves de collège.

Méthodologie

La recherche implique plusieurs étapes de travail :

1. À la lecture des programmes en vigueur, dégager des questions à fort pouvoir générateur d’études et de recherches. (On peut penser qu’un tel travail peut faire apparaître des manques  dans les programmes actuels ainsi que certains sujets superflus). La contrainte que nous nous imposons est néanmoins celle du respect du programme.

2. A partir des questions précédentes, imaginer des parcours d’étude et de recherche, ce qui revient à générer des suites de questions problématiques pouvant faire l’objet d’études et de recherches spécifiques.

3. Construire des activités d’études et de recherches : de telles activités ne sauraient se réduire à un problème que l’on pose aux élèves mais nécessitent d’anticiper l’action du professeur qui, partant d’une question, peut être amené à poser d’autres questions relançant la dynamique de l’étude, à enrichir, à modifier le milieu engendrant l’étude. Faire émerger une suite de questions et des milieux associés nous semble faire partie du travail à réaliser afin de construire un savoir professionnel utile aux enseignants.

4. Expérimenter dans des classes les PER et AER conçues.

5. Les publier à des fins de diffusion auprès des enseignants.

Eléments bibliographiques

• Bosch M. Gascon J. (2002) Les praxéologies didactiques : Organiser l'étude. Cours n°2 : Théories et empiries in Dorier J.L. et al : Actes de la 11e école d'été de Didactique des mathématiques, Grenoble, La Pensée sauvage

• Brousseau G. (1998) Théorie des situations didactiques, Grenoble, La Pensée Sauvage.

• CII didactique des mathématiques (2002) Nouveaux dispositifs d'enseignement en mathématiques dans les collèges et les lycées, IREM de Dijon.

• Chevallard Y. (1998) Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques : l'approche anthropologique. in Noirfalise R., éd. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: acte de l'Université d'été de la Rochelle. Ed IREM de Clermont-Ferrand

• Chevallard Y. (2002) Les praxéologies didactiques : Organiser l'étude. Cours n°1: Structures et fonctions. Cours n°3 : Ecologie et régulation in Dorier J.L. et al : Actes de la 11e école d'été de Didactique des mathématiques, Grenoble, La Pensée sauvage

• Chevallard Y. (2004) La place des mathématiques vivantes dans l_éducation secondaire : transposition didactique et nouvelle épistémologie scolaire, communication à la 3e Université Animath, Saint Flour (Cantal), 22-/27 août2004.

• Colomb J., Douaire J., Noirfalise R. éds (2003) Faire des maths en classe ? Didactique et analyse de pratiques enseignantes, Paris, INRP.

• Groupe didactique des mathématiques au collège (2000) Un enchaînement d'activités ; géométrie au cycle central, IREM de Bordeaux

• Groupe didactique des mathématiques au collège (2002) Des activités aux situations d'enseignement en mathématiques au collège, IREM de Bordeaux,

• Mercier A., Tonnelle J. (1993-1994) Autour de l'enseignement de la géométrie au collège (troisième partie), Petit x.n° 33, p. 5-35, IREM de Grenoble

• Noirfalise R., éd. (1998) Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: acte de l'Université d'été de la Rochelle. Ed IREM de Clermont-Ferrand

• Roditi E.(2005) Les pratiques enseignantes en mathématiques : entre contraintes et liberté pédagogique,  Paris, L’Harmattan

• Salin M.H., Clanché P., Sarrazy B. éds, (2005) Sur la théorie des situations didactiques, Grenoble, La Pensée sauvage.