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ECCEMaths
Écrire–Chercher–Concevoir–Échanger des mathématiques
ResponsablesEvelyne BARBIN, professeur des universités, IREM des Pays de la Loire et CFV, Université de Nantes |
Membres
Sylvie AUBRY, lycée de Grand Air, La Baule
Anne BOYÉ, lycée de Grand Air, La Baule, IREM des Pays de la Loire et CFV, Université de Nantes
Nathalie BURQUIN-GLEIZE, PRAG, département de mathématiques, Université de Nantes
Marie-Céline COMAIRAS, lycée Kastler, La Roche-sur-Yon, IREM des Pays de la Loire
Paul DELHUMEAU, PRAG, IUFM des Pays de Loire
Stéphane FAES, PRAG, IUFM des Pays de la Loire
Mireille GENIN, lycée F. d'Amboise, Nantes, IREM des Pays de la Loire
Stéphane GROGNET, maître de conférences, IREM des Pays de Loire, Université de Nantes
Simon MOULIN, département de mathématiques, Université de Nantes
Jean-Luc PLANES, lycée François Truffault, Challans
Laurent PIRIOU, maître de conférences, département de mathématiques, Université de Nantes
Partenariat
INRP, IREM et IUFM des Pays de Loire, Centre François Viète (Nantes) et Centre de Recherche en Education Nantais
Objectifs
Développer l’enseignement des mathématiques par les problèmes à l’articulation lycée-université, analyser et confronter des écrits de résolution de problèmes produits par des élèves, des étudiants et des mathématiciens, conjuguer des approches épistémologique, didactique et historique sur la recherche et l’écriture de résolution de problèmes.
Un projet de recherche
Faire des mathématiques présuppose d’écrire et de tracer, que ce soient des phrases, des figures, des formules ou des schémas. L’activité de résolution de problèmes pose mieux que toute autre les questions relatives aux relations entre une recherche et une écriture, à la diversité des écrits mathématiques, au passage d’un genre d’écrit à un autre. Dans l’enseignement, ces questions ne sont pas en général explicitées et l’élève essaie de se conformer à un genre d’écrit qui lui paraît formel, car il n’en saisit pas nécessairement les raisons et les attendus. Le genre d’un écrit dépend du destinataire de l’écrit, aussi la variation du destinataire donne lieu à des productions d’écrit de genres différents. Les genres diffèrent selon que le destinataire est une personne, professeur ou collègue ou correspondant, une communauté de personnes, une classe ou une équipe de laboratoire, un public large, constitué de lecteurs d’un ouvrage ou de consultants d’un site internet. Le projet de recherche ECCEmaths vise à analyser différents genres d’écrits par une approche épistémologique, historique et didactique, à les confronter et à analyser des passages. Il pourra s’agir de textes d’élèves dans des narrations de recherche, dans des échanges entre groupes d’élèves, dans des écrits scolaires. Il pourra s’agir aussi de correspondances entre mathématiciens, de mémoires dans des revues mathématiques ou d’ouvrages écrits à différents moments historiques. Nous confronterons en particulier des narrations de recherche d’élèves à des écrits de mathématiciens qui expliquent comment ils travaillent. Cette recherche s’intéressera, en particulier, au rôle des figures et des schémas, à la pulsation entre visuel et discursif, au passage du particulier au général dans la résolution de problèmes, aux recours à des méthodes ou à des schèmes de résolution, à la volonté de rigueur et à l’appel à l’évidence.
Une première investigation : les narrations de recherche comme genre d’écrit mathématique
La manière dont le mathématicien rédige un texte mathématique peut être très éloigné de ce que serait la narration de sa recherche mathématique. Par exemple, le texte d’Euclide ne donne aucune indication du pourquoi et du comment : le lecteur ne sait pas quels problèmes ont été au départ de l’investigation qui a abouti à un résultat ni par quels moyens le résultat a été obtenu. Cependant, il existe des périodes historiques où les mathématiciens ont adopté des formes d’écriture qui se voulaient proches du cheminement de leurs recherches. C’est le cas dans la première moitié du XVIIe siècle, et Pascal en est un exemple. Il est intéressant pour nous de savoir qu’à cette période la volonté de savoir des mathématiciens est celle d’inventer et de résoudre des problèmes, de produire des "méthodes de découverte". Par ailleurs, l’écriture d’un texte mathématique dépend de la sphère d’échange dans lequel il prend place. Il dépend en particulier du destinataire de l’écrit : un collègue, une communauté restreinte de mathématiciens, un grand public pour un traité. C’est ainsi que Pascal choisit le mode épistolaire pour écrire ses solutions au problème de la roulette. Ces réflexions historiques et épistémologiques sur l’écriture mathématique peuvent nourrir une réflexion sur la nature des textes que l’enseignant souhaite et que l’élève produit. En particulier, les narrations de recherche proposées aux élèves supposent un nouveau statut attribué au texte mathématique de l’élève et donc à l’élève. Tout comme le style euclidien et le style pascalien de l’écriture mathématique correspondent à des intentions de l’énonciateur vis-à -vis du destinataire qui sont fort différentes.
Les narrations de recherche questionnent la relation entre résolution de problèmes en mathématiques et problématisation à deux "niveaux" différents, étudiants et mathématiciens, qui pourront être mis en relation. Beaucoup d'étudiants de sciences n'ont pas d'habitudes en matière de résolution et de communication des problèmes de mathématiques, ce qui les conduit souvent à abandonner rapidement ce type d'activité. Or ces pratiques sont au cœur de l'activité des mathématiciens et sont à ce titre des moyens d'entrer dans une activité mathématique et de développer un certain rapport à la discipline. La narration de recherche qui constitue un moyen didactique et pédagogique de communiquer sa recherche d'un problème pourrait, à ce titre, introduire les étudiants à une telle activité. L'analyse des productions d'étudiants, associées à des entretiens et questionnaires, permettrait de comprendre en quoi un dispositif de narration de recherche permet aux étudiants d'avoir une "réelle" activité mathématique. Bien entendu, avant de conclure sur ce point, il convient de préciser ce qu'est une "réelle" activité mathématique, précision qui peut se faire à partir d'un travail épistémologique et historique. Par ailleurs, pour mesurer s'il y a ou pas, grâce à ce dispositif, une modification du rapport aux mathématiques des étudiants et préciser sa nature (est-ce qu'ils changent d'avis sur ce que c'est que faire des maths ? est-ce qu'ils travaillent différemment en maths ? qu'apprennent les étudiants avec ces situations ?), il convient de procéder avec un questionnaire préalable. L'analyse des travaux d'étudiants pourra se faire dans le cadre de la problématisation, en questionnant le cheminement du problème perçu à la solution du problème qui conduit à la construction de connaissances et savoirs à travers la construction du champ des possibles et la mise en évidence de nécessités (mathématiques) avec une mise en texte (orale ou écrite). De ce point de vue, une comparaison entre des écrits historiques et des écrits d'étudiants pourrait permettre de préciser la nature de l'activité mathématique dans chacun des cas et, éventuellement, de la situer par rapport à l'activité dans d'autres disciplines scientifiques. Par ailleurs, ce travail nécessite aussi de questionner le contrat didactique en jeu dans ce type de situation, par rapport au contrat "habituel" de façon à préciser les ruptures entre les travaux "habituels" des étudiants et les situations de narration de recherche.
L’utilisation de narrations de recherche au lycée ou à l’université conduit à d’autres questions relatives à l’articulation entre la recherche d’un problème et la production d’un écrit. Est-il aussi important d’apprendre à résoudre un problème que de savoir exposer sa résolution ? Quelles sont les différences « importantes » entre la narration d’une recherche et l’exposition finale des résultats ? Peut-il ou doit-il y avoir une reconstruction ? Autrement dit, cela relève-t-il de l’analyse et de la synthèse ? Est-il aussi important de narrer ses échecs que ses succès ? Les mathématiciens le font-ils ? Est ce important de lire des textes de mathématiciens, ou de ses pairs, pour progresser ? Ces questions peuvent être abordées de manière épistémologique et historique à partir de deux écrits de mathématiciens du XXe siècle, la conférence L’invention mathématique de Henri Poincaré et l’ouvrage Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique de Jacques Hadamard. Ce dernier centre ses propos sur le travail des étudiants, puisqu’il s’agit au départ d’un cours, et il fait référence à la conférence de Poincaré. Dans cette conférence, Poincaré raconte comment il travaille, et comment il invente, à propos des fonctions fuchsiennes. C’est une véritable narration de recherche. Tous deux font référence aux façons de travailler et d’exposer de certains de leurs grands prédécesseurs. Jacques Hadamard fait aussi référence à une enquête lancée par la revue L‘enseignement mathématique, auprès des mathématiciens du monde entier, pour savoir comment ils travaillent. Cette enquête s’étend sur plusieurs années, avec d’abord l’élaboration du questionnaire puis la publication des réponses.
Présentation de la recherche et méthodologie :
Qu’est-ce que chercher un problème de mathématiques pour un élève ? Quelle(s) place(s) et quel(s) rôle(s) y ont l’écriture, les outils, les destinataires ? Quels types d’écrits sont produits ? Telles sont les questions posées actuellement dans notre groupe avant un travail sur les narrations de recherche en mathématiques et les écrits de mathématiciens.
Pendant l’année 2006-2007, nous avons proposé à des élèves de Terminale ou de L1 trois problèmes et trois questionnaires (cf. annexe 1) élaborés au sein du groupe. Nous avons décidé de préciser aux élèves que leurs productions seront analysées dans le cadre d’une étude sur la manière dont les élèves cherchent. Il ne s’agit pas de proposer des problèmes ouverts ou des narrations de recherche : nous avons demandé aux élèves de chercher les problèmes et de rendre à leur professeur le résultat de leur travail. En fin d’année, une séance de restitution est proposée à propos du premier problème : les élèves sont invités à prendre connaissance d’une copie d’élève, à l’analyser et exposer la méthode de résolution utilisée à la classe. L’échange de mathématiques entre élèves s’effectue au cours de cette dernière phase.
L’analyse des copies d’élèves , des réponses au questionnaire 1 et de la restitution nous conduit à des résultats, que nous formulons partiellement ici. Seules les réponses au premier questionnaire sont prises en compte car, pour l’instant, les réponses aux deux autres, plus partielles, nous semblent plus difficiles à interpréter.
A.Chercher et écrire
Qu’est-ce que chercher un problème pour les élèves ? Pour la majorité des élèves chercher un problème, dans le contexte exposé précédemment, reste une activité d’une durée courte mais raisonnable (entre 1h et 2h 30 pour la moitié d’entre eux) qui apparaît le plus souvent comme une activité scolaire : un seul élève déclare avoir cherché 2 / 3 jours, ce qui signifie que le problème lui a « trotté » en tête. Pour la moitié des élèves, la recherche s’effectue en 2 / 3 reprises (2 reprises correspond à la fréquence la plus importante et à 50% des réponses, 3 trois reprises à 25% des réponses) ; cela leur permet d’ « avoir de nouvelles idées », de « laisser reposer » le problème, de « prendre du recul ». Cet intermède est souvent l’occasion pour les élèves de discuter du problème, le plus souvent avec leurs camarades. La moitié des élèves explore une seule piste lors de la recherche du problème, les autres n’exploitent pas longtemps d’autres pistes, mais ils ne disent pas pourquoi ils les abandonnent. De rares élèves cherchent au-delà du problème proposé (pour un autre chemin dans le cas du cône).
Quel rôle joue l’écrit dans cette recherche ? A quoi sert le brouillon ? L’écriture est présente dès le début de la recherche pour quasi-totalité des élèves, d’abord au brouillon puis au « propre ». Mais plus de la moitié des élèves n’ont pas écrit au brouillon de choses qu’ils n’ont pas réussi ensuite à mettre au propre. Cela recoupe le fait qu’ils n’explorent pas, en général, des pistes différentes, ni des pistes au-delà de celles proposées dans le problème. Par ailleurs, malgré un encouragement de la part des enseignants, les élèves ne rendent pas en général leur brouillon qui semble demeurer un écrit privé. Enfin, beaucoup (la moitié) d’élèves expriment qu’ils ont eu des difficultés à transcrire certaines idées. Le fait que le brouillon soit ressemblant avec le propre nous oriente aussi peut-être vers cette difficulté. Le passage par le brouillon nous semble donc plus lié à une volonté de rendre un écrit lisible par l’enseignant qu’à une pratique de la recherche.
B. Chercher et concevoir
Quels outils utilisés lors de la recherche ? Lien avec l’idée d’expérimenter. D’après le questionnaire sur le problème du cône, la recherche d'un problème est associée pour les élèves à la réalisation de traces non-verbales de type dessin, schéma, figure, ainsi qu'au test de certains exemples. Mais les schémas et dessins se limitent le plus souvent à la visualisation de Pythagore ou de Thalès. Peu d’élèves ont utilisé pour ce problème des outils technologiques (calculatrices, …). Pour les élèves qui déclarent majoritairement –et cela est confirmé par l’étude des copies- que cela les a aidé, ces démarches relèvent moins de l’expérimentation dans la recherche que ou de l’heuristique. Notons qu’un élève a réalisé une maquette du cône, ce qui s’apparente probablement plus à une forme d’expérimentation.
Raisonner sur un cas particulier, ou un exemple numérique, peut-il fournir une démarche générale ? C’est parfois le cas, mais les élèves ne procèdent pas ainsi et la plupart du temps n’exploitent pas ce travail « préalable ». Pour le problème du cône, certains disent avoir essayé d’abord sur des exemples numériques, mais cela n’apparaît pas du tout dans leurs « démonstrations » ; d’autres se contentent d’un raisonnement sur un exemple numérique particulier, et croient pouvoir conclure ; d’autres à l’aide d’un logiciel présentent un tableau avec un nombre très important d’exemples numériques et ne vont pas plus loin. Pour le problème de la fonction, ils sont nombreux à traiter trois cas : la fonction définie sur [0 ; 1] par f(x) = x ; puis f telle que f(x) = a ; puis un schéma qu’ils pensent « général » (où la fonction est souvent monotone, ou bien dont l’ensemble image est [0 ; 1] ; puis ils concluent. Les élèves interrogés ne voient pas de rapport entre ce qu’ils appellent de façon courante « expérience » en physique ou en SVT, et ces essais qui pourraient être faits en mathématiques. Ils pensent d’ailleurs qu’en physique on a des formules que l’on applique dans les « applications numériques », ou que l’on vérifie dans des « expériences ». Autrement dit pour eux, l’expérience vient après, pour valider, ce qui est exact.
C. Chercher et justifier
Nous avons obtenu deux genres d’écrits, d’une part des explications et d’autre part des démonstrations [Hannah 1989, Mancosu et alii 2005]. Par démonstrations, il faut entendre ici des écrits stéréotypés ayant par leurs structures et leurs termes le statut de démonstration, c’est-à -dire similaires à ceux que les professeurs montrent aux élèves et que les élèves produisent dans le cadre scolaire habituel. Ces écrits ont pour destinataire le professeur, et les élèves, dans leurs fonctions d’élèves, s’adressent à lui dans son langage. Parfois, la forme et la structure de l’écrit semblent alors primer sur le contenu mathématique. L’obtention de textes à visée justificatrice peut être liée au contexte non entièrement scolaire et au destinataire particulier de l’écrit [Bakhtine 1984]. En effet, le destinataire de l’élève-individu était aussi une équipe inconnue de professeurs s’intéressant à la manière dont les élèves-individus cherchent. Parfois, la forme de l’écrit utilise alors le « je »
Quoi qu’il en soit, le contexte particulier de l’expérience a permis l’obtention de textes où la variabilité des genres a été plus importante que d’ordinaire. Cette variabilité dépend aussi fortement des problèmes posés. Du côté des écrits explicatifs, le problème 2 a donné lieu à des réécritures de l’énoncé par lesquelles l’élève vise à expliquer comment il a compris l’énoncé. Il a donné lieu à l’intrusion de mots qui ne sont pas directement connectés à ceux du problème, comme le mot « chance ». Dans le problème 1, nous trouvons aussi des termes non usuels liés à l’explication visuelle, comme « vue de profil », « vu de face », etc. Du côté des écrits démonstratifs, l’élève introduit des lettres ou des symboles qui produisent un effet mathématique, même si cela s’avère inefficace, voire même perturbant. Plusieurs élèves terminent leur démonstration en utilisant le mot « obligatoirement », ce qui indique qu’ils ont compris le caractère nécessaire de la démonstration même si rien d’obligatoire ne permet de conclure.
D. Chercher et apprendre
Les recherches de problèmes permettent de donner pleinement aux savoirs leurs statuts d’instruments de compréhension et de maîtrise de situations mathématiques ou mathématisables. Il est donc clair que l’adéquation ou l’inadéquation des savoirs des élèves aux problèmes est source de conflits et de difficultés. Nous avons trouvé des erreurs ou des difficultés récurrentes dans les nombreuses copies à notre disposition, que nous mentionnons ici. Dans le problème 1, il était demandé de « comparer » des chemins. Ce terme a deux sens usuels. Dans le premier sens, on cherche si deux choses sont ou non-assimilables, donc en termes mathématiques si elles sont ou non égales. Dans le second sens, on cherche à établir un rapport ou une différence entre deux choses, donc en termes mathématiques si l’une dépasse l’autre et laquelle. Beaucoup d’élèves ont utilisé le premier sens. Le problème 2 a conduit certains d’élèves dans des considérations sur l’infini, qui indiquent, s’il en était besoin, les difficultés épistémologiques avec cette notion. Certains élèves proposent de « considérer l’infini comme un nombre » ou de « prouver que l’infini est un réel ». Les réponses au problème 3 montrent les difficultés liées à la notion de fonction. Les élèves assimilent une fonction à une courbe ou à une portion de courbe, la courbe représentative d’une fonction étant toujours représentée par une courbe continue, bien souvent monotone croissante.
E. Chercher et échanger
Ce point constituera l’essentiel de notre recherche de l’année en cours.
La réflexion menée a permis d’approcher ce que peut être « chercher » pour un élève de terminale ou un étudiant de L1. En travaillant sur le point E, chercher et échanger, nous nous rapprochons des travaux de narration de recherche, mais en privilégiant la variable « destinataire ». Notre but est donc d’utiliser les narrations de recherche comme outil d’apprentissage, en mettant l’accent sur l’interaction avec le destinataire, qui ne sera donc pas l’enseignant. Nous nous plaçons sous l’angle de la correspondance mathématique singulière, donnant de l’importance au « je ». Il ne s’agit pas de résolution collaborative.
A partir de quelques problèmes que nous leur proposons, chaque élève de terminale est invité à correspondre sur sa résolution avec un ou une étudiant-e de L1.
Notre réflexion sera mise en perspective historique en étudiant les correspondances singulières de mathématiciens ou mathématiciennes, et la notion de problème dans l’histoire des mathématiques et de leur enseignement.
Bibliographie
- Bachelard G., La formation de l'esprit scientifique, 5ème éd., Vrin, Paris, 1967.
- Bakhtine M., Esthétique de la création verbale (1979), Gallimard, Paris, 1994.
- Bakhtine, M. (1984), Les genres du discours, in Esthétique de la création verbale, Gallimard, Paris.
- Barbin E., Heuristique et démonstration en mathématiques : la méthode des indivisibles au XVII siècle, in Fragments d'histoire des mathématiques, n°II, APMEP 1987, pp.125-159.
- Barbin E., La démonstration : pulsation entre le visuel et le discursif, in Produire et lire des textes de démonstrations, E. Barbin, R. Duval, I. Giorgiutti, J. Houdebine, C. Laborde (éds), Ellipses, Paris, 2001, pp.31-61.
- Brousseau G., Théorie des situations didactiques, La pensée sauvage, Grenoble, 1998.
- Combes M.-C., Bonafé F., Narrations de recherche, points d’appui pour la démonstration, in Produire et lire des textes de démonstrations, E. Barbin, R. Duval I. Giorgiutti, J. Houdebine, C. Laborde (éds), Ellipses, Paris, 2001, pp.183-206.
- Dufour, D. –R., Les sujets de l’éducation, in La question du sujet en éducation et en formation, Pascal Bouchard éd., Collection Savoir et formation, LHarmattan, Paris, 1996, pp. 29-43..
- Duval, R., Écriture et compréhension : pourquoi faire écrire des textes de démonstration par les élèves, in Produire et lire des textes de démonstrations, E. Barbin, R. Duval, I. Giorgiutti, J. Houdebine, C. Laborde (éds), Ellipses, Paris, 2001, pp.183-206.
- Foucault M., L'archéologie du savoir, Gallimard, Paris, 1969.
- Guitart R., La pulsation mathématique, L’Harmattan, Paris, 1999.
- Hadamard J., Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique, (1944, traduit et publié en français en 1959,), rééd. Gabay, Paris , 1993.
- Hanna, G. (1989). Proofs That Prove and Proofs That Explain. in G. Vergnaud, J. Rogalski, and M. Artigue (Eds.), Proceedings of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Paris, Vol II, pp. 45-51.
- Legrand M., La problématique des situations fondamentales, Repères IREM, 27, avril 97, pp. 81 125.
- Mancosu, P., Jørgensen, K.F. and Pedersen, S.A. (Eds.). (2005). Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics. Series : Synthese Library, Vol. 327. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 6(2), 201-205.
- Orange C., Problématisation et conceptualisation en sciences et dans les apprentissages scientifiques, Les Sciences de l’éducation, pour l’ère nouvelle, 38 -3, 2005, pp. 69-94
- Poincaré H., L’invention mathématique (conférence de 1908), J. Gabay, Paris, 1993.
Annexe 1
Problème 1 : le cône
Nous sommes une équipe de recherche composée d’enseignants de mathématiques et de chercheurs de l’Université de Nantes qui s’intéressent à la résolution de problème de mathématiques par les élèves et les étudiants. Pour nous aider, merci de bien vouloir chercher ce problème et de rendre à votre professeur le résultat de votre travail.
Vous avez 15 jours pour chercher ce premier problème. Au bout de cette période, votre professeur vous demandera de répondre par écrit à des questions sur la façon dont vous avez cherché. Il importe donc que vous vous souveniez des « grands » moments de la recherche de ce problème.
Nous vous proposerons ensuite, par l’intermédiaire de votre professeur, de résoudre deux autres problèmes dans les mêmes conditions.
Merci de votre participation et bon courage !
On donne un cône dont le rayon de la base est 1 et la hauteur est h. Les points A et B, diamétralement opposés sur la base du cône, peuvent être reliés par trois types de chemins. Le premier contourne la base, le second monte vers le sommet S, tourne autour du cône à l’altitude x, et redescend vers B, le troisième passe par le sommet S. Quel est le plus court des chemins reliant A et B ?
(d’après les Olympiades de Mathématiques Nice)
Problème 2 : le dépassement
Voici le deuxième problème de la série. Comme pour le premier, vous avez 15 jours pour chercher. Au bout de cette période, votre professeur vous demandera de répondre par écrit à des questions sur la façon dont vous avez cherché. Il importe donc que vous vous souveniez des « grands » moments de la recherche de ce problème. Le troisième problème viendra ensuite.
Merci de votre participation et bon courage !
Pierre choisit un réel et le garde secret. Par ailleurs, Paul ajoute autant qu’il le veut des réels positifs de son choix. Etes-vous sûr que la somme obtenue par Paul finira par dépasser le nombre choisi par Pierre ?
Problème 3 : la fonction
Voici le dernier problème de la série. Comme pour les précédents, vous avez 15 jours pour chercher. Au bout de cette période, votre professeur vous demandera de répondre par écrit à des questions sur la façon dont vous avez cherché. Il importe donc que vous vous souveniez des « grands » moments de la recherche de ce problème.
Merci de votre participation et bon courage !
Soit f une fonction définie et continue sur [0;1] telle que pour tout x dans [0;1], 0 ≤ f (x) ≤ 1. Comment justifier qu’il existe a dans [0;1] tel que f (a)=a.
Questions sur la résolution du problème « Le cône »
Voici maintenant le questionnaire associé au problème « Le cône ». Merci d’y répondre aussi précisément que possible, sur une feuille, en précisant bien le numéro des questions. Si, pour certaines questions, vous ne pouvez pas répondre parce que vous ne vous souvenez pas de la façon dont vous avez procédez, indiquez le. Merci de votre contribution.
1. Combien de temps avez-vous consacré à la recherche de ce problème ?
2. Vous y êtes-vous pris à plusieurs reprises ? Combien ? Pourquoi ?
3. Est-ce que vous avez écrit quelque chose ? Au bout de combien de temps ?
4. Est-ce que vous en avez discuté avec d’autres personnes ? Qui ? Au bout de combien de temps ?
5. Avez-vous cherché de la documentation ? Laquelle (cours, manuel, livre, internet, autre) ? Où ? Au bout de combien de temps ? Pourquoi ?
6. Avez-vous testé un ou des exemples ?
7. Avez-vous fait des dessins ou des figures ou des schémas ? Si oui, précisez. Est-ce que cela vous a aidé ?
8. Avez-vous utilisé votre calculatrice ? Un logiciel de mathématiques et lequel ? Est-ce que cela vous a aidé ?
9. Vous souvenez-vous avoir déjà résolu ce genre de problème ? Est-ce que cela vous a aidé ? Comment ?
10. Avez-vous emprunté plusieurs pistes ? Au bout de combien de temps les avez-vous abandonnées ?
11. Avez-vous écrit au brouillon des choses que vous n’avez pas réussi à mettre au propre ?
12. Est-ce qu’il y a des idées que vous avez eu du mal à transcrire ?
13. Avez-vous pensé à ce problème sans le vouloir ?
14. Avez-vous tout de suite pensé à une réponse ?
15. Avez-vous testé différentes valeurs pour h ? D’emblée ou plus tard ? Lesquelles ?
16. Avez-vous commencé votre recherche avec un logiciel de mathématiques ?
17. Avez-vous cherché avec d’autres chemins que ceux proposés ?
