Christine Chambris
Maître de conférencesUniversité de Cergy-Pontoise IUFM / Laboratoire de Didactique André Revuz,
Université Denis Diderot-Paris 7

Éléments pour un état des lieux des relations en grandeurs, nombres et opérations

Pour établir un état des lieux des relations en grandeurs, nombres et opérations dans l'enseignement primaire actuel, il me semble important de considérer que ces relations résultent de diverses transformations opérées dans la société depuis 150 ans (Chambris 2010), notamment :

• l'évolution des pratiques de la vie courante qui implique les grandeurs (notamment les techniques de mesurage sans « Ã©talon » de masse ou de capacité, les achats « Ã  l’unité » dans des emballages qui prennent en charge la capacité ou la masse – pack de lait, plaquette de beurre...),

• les relations entre nombres et grandeurs dans les mathématiques savantes (suppression des grandeurs dans la définition savante des nombres depuis le milieu du 19e siècle),

• les changements opérés dans l'enseignement au moment crucial de la réforme des mathématiques modernes (programmes de 1970 en primaire en France) et leurs conséquences jusqu'à aujourd'hui.

Voici quelques éléments concernant la réforme et ses suites. Elle se manifeste par une modification des savoirs de référence et de leur nature que j'interprète comme un écho aux transformations dans les mathématiques savantes du 19e siècle. Ceci a deux conséquences :

• le programme de 1970 qui est une réorganisation du programme de 1945 comporte un nouveau domaine : « mesure ». Ce domaine contient ce qui relevait du continu tant en arithmétique qu’en géométrie dans l’ancien programme – sauf la proportionnalité qui est intégrée au « numérique ».

• à court terme, on observe des ruptures dans des relations installées depuis longtemps entre objets dans l’enseignement, en particulier entre numération et système métrique, opérations et grandeurs, techniques de calcul et sens des opérations.

   

Savoirs de référence

Pour préciser les modifications dans les savoirs de référence, je définis deux types de savoirs mathématiques :

• les savoirs savants du premier ordre, ce sont les savoirs utiles pour les mathématiciens, mais pas nécessairement adaptés pour l'enseignement primaire,

• les savoirs savants du second ordre, ce sont des savoirs mathématiquement corrects, utiles pour l'enseignement, mais pas nécessairement utiles pour les mathématiciens. Je fais entrer les travaux de Rouche sur les grandeurs (1992, 1994, 2006) dans ce cadre.

Voici deux exemples repris par la suite. Le premier concerne les fractions : définir un rationnel comme classe d'équivalence d'un couple d'entiers est un savoir savant du premier ordre, définir un rationnel à partir des opérateurs de fractionnement sur une grandeur (un enchaînement d'une multiplication et d'une division d'une grandeur par un entier) (Rouche 1992) est un savoir savant du second ordre. Le deuxième exemple concerne la numération des entiers. Le savoir savant du premier ordre réside dans l'existence et l'unicité de la décomposition polynomiale d'un entier dans une base. Les traités de Bezout et Reynaud (1821) contiennent des « théories » de la numération – des savoirs savants du second ordre – où interviennent les différents ordres d'unité (unité, dizaines, centaines, milliers...) que j'appelle aussi les unités de numération.

Au cours de la réforme, on observe une bascule des savoirs de référence : les anciens savoirs du second ordre (éventuellement caduques) sont remplacés par des savoirs du premier ordre. Depuis la réforme, il y a eu peu d’évolution explicite des savoirs savants de référence pour le primaire (sauf pour le domaine mesure qui est notamment relié aux grandeurs repérables et mesurables de la physique en 1980). En revanche, il y a une pénétration plus ou moins explicite (mais de plus en plus nette) des grandeurs dans le domaine numérique : fractions en 1980, proportionnalité en 2002.

Relations entre objets d’enseignement : le système métrique

À travers des manuels scolaires, j'ai étudié l'enseignement des grandeurs (longueurs, masses, capacités) au cours élémentaire. Avant la réforme (Chambris 2009), j'ai identifié un maillage serré entre numération et système métrique : ce dernier apparaît comme un contexte de l’étude de la numération. Certains types de tâches et leurs techniques de traitement sont communs aux deux thèmes. Elles reposent sur les « unités de numération ». J'ai aussi relevé une utilisation « scolaire » des instruments de mesure « de la vie courante » qui contribue à la conceptualisation des grandeurs (pour mesurer trois mètres, reporter trois fois un mètre, plutôt que lire 3 m sur un décamètre). Le maillage entre numération et système métrique ne survit pas à l'introduction du travail en bases au moment de la réforme. Le système métrique vit ensuite dans le nouveau domaine mesure et la numération dans le « nouveau » domaine numérique.

Depuis 50 ans, l'enseignement du système métrique est relativement stable (avec un appauvrissement probable) comparativement à celui de la numération : certaines tâches « anciennes » de « numération » ont survécu dans l'étude du système métrique (les relations entre unités) alors qu'en « numération » ces tâches ont disparu et de nouvelles tâches ont été introduites (notamment le dénombrement de grandes collections). Les représentations des nombres « en unités de numération » ont plus ou moins disparu de l'enseignement de la numération au profit de représentations en « Ã©critures chiffrées des puissances de dix » (5x1000+4x10, plutôt que 5 milliers 4 dizaines) alors que les écritures correspondantes en unités métriques (5 km 4 dam) ont perduré malgré un enseignement devenu probablement marginal de la signification des préfixes métriques.

Plus précisément, les unités de numération vivent très mal dans l’enseignement actuel :

• la seule unité est le « nombre 1 »,

• ces unités de numération survivent dans le tableau de numération et quelques décompositions réglées dont « chiffre des », « nombre de »,

• les relations entre unités « 1 millier = 10 centaines » ne sont pas systématiquement formulées dans les manuels. Le problème « Combien peut-on faire de paquets de 100 avec 6543 jetons ? » qu'on peut résoudre avec cette relation est considéré comme un problème de division par les enseignants et est massivement échoué avant l’apprentissage de la division par un nombre à 3 chiffres (Parouty 2005).

   

Savoirs de référence, relations : opérations sur les grandeurs

Il n'y a pas d’opération sur les grandeurs dans les savoirs du premier ordre pour le « numérique ». En revanche, il y en a dans ceux du second ordre, notamment les fractions de grandeurs. Elles ont un rôle dans la construction des nombres non entiers. Avec les opérateurs de fractionnement par exemple, les propriétés des nombres découlent des propriétés des grandeurs. En particulier, ces opérateurs de fractionnement sur les grandeurs précèdent les nombres rationnels : savoir partager une longueur en 4, prendre 3 fois une telle longueur et aussi prendre 3 fois une longueur puis le quart du tout, puis 3 quarts d’une longueur, 6 huitièmes de la même longueur, ensuite définir le nombre ¾. Des fractions de grandeurs peuvent aussi intervenir dans les techniques d'autres thèmes, notamment dans certaines utilisations de la linéarité (isomorphisme de grandeurs) dans l'étude de la proportionnalité. Considérons le problème : « En marchant à vitesse régulière, on parcourt 900 m en 20 min. Quelle distance parcourt-on en 15 min ? » On peut dire que 15 min ce sont 3 quarts de 20 min, donc comme on parcourt 900 m en 20 min, à la même vitesse, on parcourt 3 quarts de 900 m en 15 min ce qui peut aussi s'écrire : 900 m x¾.

Des pistes pour aboutir à un meilleur apprentissage ?

Sur la numération (et le système métrique)

Une première piste pourrait être de « réhabiliter » les unités de numération et le travail des relations entre ces unités. Utiliser le système métrique pour restaurer unités de numération et introduire des tâches clés est peut-être un levier. C'est une des hypothèses que j'ai faite pour écrire le texte « Le système métrique au service de la numération des entiers et des grandeurs » (Chambris à paraître), destiné à accompagné les programmes de primaire. Voici quelques choix effectués pour l'écrire :

• expliciter un parallèle entre numération et système métrique en mettant en évidence des « techniques communes » de traitement pour des tâches relevant les unes de la numération, les autres du système métrique ;

• utiliser explicitement les unités de numération pour décrire des éléments du système métrique (Un kilomètre, c’est un millier de mètre. Un hectomètre, c’est une centaine de mètre. Un mètre, c’est une centaine de cm.) ;

• « valoriser » les unités de numération pour le travail de la numération… en proposant des tâches et des techniques de traitement qui en utilisent.

Certaines tâches qui font travailler les relations entre unités existent en système métrique et pas en numération, le texte décrit l'intérêt de certaines d'entre elles, par exemple : convertir 3 milliers en centaines (convertir 3 km en hm) ; comparer 4 dizaines et 3 centaines (comparer 4 dm et 3 m). Les tâches du type convertir 3 milliers en centaines et 30 centaines en milliers sont en effet cruciales car elles interviennent – sous des formes diverses – dans de nombreux domaines : nombres entiers, décimaux, système métrique, calcul mental...

Sans doute faut-il aussi développer d'autres moyens pour agir sur l'enseignement de la numération.

Sur les opérations sur les grandeurs

Une autre piste consiste à réintroduire explicitement des opérations sur les grandeurs tant en terme d'action sur les objets matériels qu'au niveau du symbolisme arithmétique (900 m x). Ceci passe notamment par l'enseignement de la multiplication d’une grandeur non mesurée (puis mesurée) par un entier, par la division d’une grandeur non mesurée (puis mesurée) par un entier, puis le fractionnement de grandeurs, et aussi par l'addition des grandeurs.

Dès le cycle 2, notamment pour la longueur, en relation avec le lexique : moitié, double, tiers, triple, quart… de telles opérations peuvent être enseignées, des tâches d’estimation notamment (cf. point suivant). Plus tard, on peut apprendre 3 quarts d’une longueur, 7 cinquièmes d’une longueur, d'une masse...

À un moment, ces opérations sur les grandeurs, doivent être reliées aux opérateurs sur les nombres (le tiers de 60).

Les tâches d'estimation

Une autre piste concerne les tâches d'estimation. Il existe une grande diversité de telles tâches. Elles sont peu répandues dans l'enseignement français, souvent évoquées dans les travaux internationaux au sujet du « number sense ». Les tâches d'estimation combinent souvent une (ou plusieurs) estimation(s) simple(s) de grandeur(s) et du calcul.

On peut estimer en unités conventionnelles. Cette dimension est présente dans (Chambris à paraître). Un travail relativement systématique sur la grandeur des différentes unités métriques y est suggéré, conjointement à la mise en relation des unités. L'unité peut être imposée ou au choix. Pour estimer en mm la longueur du trait ci-dessous, la mise en relation des unités métriques est nécessaire.

^{___________________________________________________________}

Pour travailler les fractions de grandeurs, à partir d'un trait déjà là, on peut demander de tracer un trait de longueur moitié, 5 quarts… (et de vérifier en pliant, par exemple).

Mon expérience de formateur me porte à croire que l'incompréhension de ce qu'est l'unité sur une droite graduée constitue une entrave majeure à l'utilisation de cet outil dans l'enseignement des nombres et des opérations. Je ne connais qu'un manuel actuel de primaire (Euro Maths, Hatier, CM1) qui prenne en charge cette question. Placer des points d’abscisses entière ou rationnelle sur une droite graduée (ou déterminer – sans instrument de mesure – les abscisses de points déjà placés) me semble pourtant être un moyen assez puissant pour travailler les estimations de longueurs et les opérations sur la grandeur longueur. Voici aussi quelques exemples de tâches (évaluatives) tirées de (Stigler et al. 1990, p. 55).

Pour la recherche

Sur les savoirs savants du second ordre

Une hypothèse est que fonder l’enseignement sur des savoirs du second ordre, communs à l’école et au début du collège, est une condition favorable pour agir sur la continuité des apprentissages (ce n’est pas une condition suffisante…). En effet, un tel choix pourrait notamment avoir les conséquences suivantes :

• produire davantage de repères partagés entre les enseignants, les formateurs des deux institutions ;

• la référence à de tels savoirs peut permettre de « ne pas oublier d’enseigner » certaines choses importantes (telles par exemple les relations entre unités en numération) ;

• contribuer à l’élaboration de progressions.

À titre exploratoire, (Chambris à paraître) est structuré par une théorie de la numération du second ordre, mais ce n'est pas explicite dans le texte.

Même si des variations importantes sont possibles dans le choix des savoirs de référence, les textes officiels récents ont pris des options assez nettes sans, la plupart du temps, référer explicitement à des « savoirs mathématiques de référence ». Quels savoirs mathématiques (du second ordre) retenir ou expliciter ? Du point de vue de la formation des enseignants, la mise en évidence de tels savoirs pourrait être favorable à la continuité des savoirs entre la formation théorique (pour les concours) et les savoirs pour l’enseignement. Cette hypothèse n'est pas incompatible avec des travaux récents sur l'impact mitigé voire négatif des mathématiques « académiques » dans la formation des enseignants (Moreira & David 2008, Proulx & Bednarz 2010). Quelles sont les possibilités (compte-tenu notamment des contraintes institutionnelles), quel serait le gain à former sur les questions théoriques en référence à des savoirs savants du second ordre pour les enseignants du 1er degré ? Du second degré ?

Quelle place donner à ces savoirs de référence dans les ressources pour les enseignants du primaire et du secondaire ? Dans les ressources pour les formateurs ? Dans quel type de ressources ?

Relations entre conceptualisation des grandeurs et instruments

Une autre dimension des questions de recherche sur le thème des grandeurs me semble devoir être liée aux relations entre conceptualisation des grandeurs et pratiques de la vie courante impliquant les grandeurs, notamment les instruments. C'est un autre objectif de (Chambris à paraître) que de tenter une articulation entre les deux. Que l'enseignement des instruments de mesure ne se limite à l'enseignement de gestes est important d'une part car le temps d'enseignement n'est probablement pas suffisant pour assurer une maîtrise suffisante des gestes, d'autre part car les instruments de mesure, notamment analogiques, incarnent des propriétés conceptuelles des grandeurs dont il est dommage de se passer lorsqu'elles se manifestent.

Par exemple, les dernières évaluations CM2 montrent que beaucoup d'élèves n'interprètent pas comme il le faudrait la position de la petite aiguille sur une horloge analogique : apparemment, ils lisent 3h55 (car la petite aiguille est presque sur le 3) au lieu de 2h55 (ou « 3h moins 5 »). Ce constat amène plusieurs remarques et questions :

• Cette erreur n'existait peut-être pas dans les proportions actuelles il y a quelques années car les horloges (et les montres) à aiguilles étaient le seul moyen de connaître l'heure. Elle est probablement due à l'absence de perception de la continuité du déplacement de la petite aiguille au fil du temps et aussi au fait que la lecture de l'heure sur une horloge à aiguille n'est plus une connaissance sociale critique (en tout cas en fin de CM2).

• Faut-il encore enseigner aux élèves de primaire à lire l'heure sur une horloge à aiguille ? Si oui, pourquoi ? Et comment ? Peut-on mieux cerner le rôle que joue cet instrument dans la conceptualisation des durées ? Et aussi, comment enseigner la lecture de l’heure pour qu’elle soit favorable à la conceptualisation des durées ?

Il me semble que l'enjeu de ces questions réside dans l'articulation entre l'enseignement des pratiques de la vie courante impliquant les grandeurs et de ce qui vise la conceptualisation des grandeurs dans l'enseignement. On peut le voir comme un problème d'écologie des savoirs (Chevallard 2007), c'est-à-dire de relations entre objets d'enseignement : il faudrait concevoir des tâches et des progressions qui tout en impliquant des pratiques de la vie courante (relatives aux grandeurs) participent de la conceptualisation des grandeurs.

Plus généralement, eu égard à des considérations notamment d'ordre développemental, pragmatique, cognitif, mathématique, écologique... (cf. textes de F. Ligozat et M.J. Perrin), une question de recherche importante qui rassemble les trois interventions est sans doute « comment et à quel moment de la scolarité intégrer de façon optimale l'usage des instruments de mesure et des unités métriques – notamment les estimations – dans des progressions visant la conceptualisation des différentes grandeurs et plus généralement l'apprentissage des opérations sur ces grandeurs nécessaires entre autres aux apprentissages des quatre opérations, des fractions et de la proportionnalité ? »

Sur les ressources

Pour terminer, j'évoque la question des ressources. Même s'il en existe d'autres, je me place dans la perspective de ressources visant à la diffusion de résultats de recherches plus ou moins récentes. Une question importante est : de quelles ressources les enseignants ont-ils besoin pour faire évoluer leurs pratiques liées à grandeurs et mesures ? Elle se décline en « sous » questions :

• Que mettre dans les ressources ? Jusqu'où la réponse à cette question dépend-elle du cadre théorique que le chercheur / concepteur de la ressource utilise ?

• Comment élaborer les ressources ? Quelle place pour les enseignants dans cette élaboration ? Quelles collaborations entre enseignants – formateurs – chercheurs – inspecteurs ?

• Comment les enseignants s’approprient-ils les ressources ? A quelles conditions sont-elles des facteurs de développement ? Quels dispositifs de formation sont-ils les plus pertinents pour accompagner les ressources ?

Pour écrire mon « texte ressource » (Chambris à paraître), j'ai essayé d'utiliser quelques résultats de recherche sur ce qu'on sait de « comment se forment les pratiques ». Dans la mesure où il semble que, la plupart du temps, les pratiques ne se transforment pas « brutalement », j'ai essayé de donner la possibilité de modifications « locales » (par exemple, introduction de discours pour accompagner certaines techniques ou introduction de technique ou introduction de tâches...) tout en prenant en compte la cohérence globale d'un objet d'enseignement assez gros (l'enseignement du système métrique) et aussi ses ramifications (numération) (praxéologie locale, Bosch et Gascon 2005). J'ai aussi essayé de positionner le propos et les tâches « nouvelles » par rapport aux pratiques dominantes : ce qu'il faut garder, ce qu'on pourrait enlever et par quoi le remplacer. Une série de recherches à venir pourrait consister à étudier des effets de cette ressource sur les pratiques des enseignants et les apprentissages des élèves, et les conditions de ces effets (existence de ressource dérivée, accompagnement des enseignants...). Voici les instructions de présentation pour la rédaction d'un article pour conférence mathématiques du 13 mars 2012. Les contributions ne contiennent pas de résumé.

Bibliographie

1. Bezout E., Reynaud A. (1821) Traité d'arithmétique à l'usage de la marine et de l'artillerie, 9e édition. Consulté sur Internet le 21 janvier 2012, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201342q/f2.table

2. Bosch M., Gascon J. (2005) La praxéologie comme unité d’analyse. In Mercier et Margolinas (Eds) Balises en didactique des mathématiques. Cours de la XIIe école d’été de didactique des mathématiques. Grenoble : La pensée sauvage.

3. Chambris C. (2009) Contribution de l’étude des grandeurs à l’étude de la numération de position avant la réforme des mathématiques modernes, en France, au cours élémentaire (2ème et 3ème années de primaire). In C. Ouvrier-Buffet & M.J. Perrin-Glorian (Eds.) (2009) Actes du colloque DIDIREM: Approches plurielles en didactique des mathématiques. (pp. 211–222) Paris: Laboratoire de didactique André Revuz, Université Paris Diderot.

4. Chambris, C. (2010). Relations entre grandeurs, nombres et opérations dans les mathématiques de l’école primaire au 20e siècle : théories et écologie. Recherches en Didactique des Mathématiques, 30, 317–366.

5. Chambris (à paraître). Le système métrique au service de la numération des entiers et des grandeurs.

6. Chevallard Y. (2007) Passé et présent de la théorie anthropologique du didactique. In Ruiz-Higueras L., Estepa A., Javier García F. (Eds.) Sociedad, Escuela y Matemáticas. Aportaciones de la Teoría Antropológica de la Didáctico (pp. 705–746). Jaén : Servicio de publicationes – Universidad de Jaén.

7. Moreira P.C., David M.M. (2008). Academic mathematics and mathematical knowledge needed in school teaching practice: Some conflicting elements. Journal for Mathematics Teacher Education, 11(1), 23-40.

8. Parouty V. (2005) Compter sur les erreurs pour compter sans erreurs : état des lieux sur l'enseignement de la numération décimale de position au cycle 3. In Commission Inter-IREM COPIRELEM (Ed.), Actes du XXXIème colloque sur la formation des maîtres (Cédérom). Toulouse : IREM de Toulouse.

9. Proulx J., Bednarz N. (2010). Formation mathématique des enseignants du secondaire. Partie 1 : Réflexions fondées sur une analyse des recherches. Revista de Educação Matemática e Tecnologica Ibero-americana. 1(1)

10. Rouche N. (1992) Le sens de la mesure. Bruxelles : Didier Hatier

11. Rouche N. (1994) Qu’est-ce qu’une grandeur ? Analyse d’un seuil épistémologique. Repères IREM 15 25–36.

12. Rouche N. (2006) Du quotidien aux mathématiques : Nombres, grandeurs, proportions. Ellipses

13. Stigler J.W., Lee S.-Y. Stevenson H.W. (1990) Mathematical Knowledge. National Council of Teachers of Mathematics.