Fabien Emprin

Maître de conférences

Université Champagne Ardenne IUFM / CEREP

Positionnement

Les recherches académiques que nous menons portent sur l’analyse des pratiques de formation des enseignants avec les technologies en particulier en mathématique. Ce n’est donc pas essentiellement sur ces recherches que se basent les observations et les analyses suivantes même si la question des processus de professionnalisation des enseignants intervient bien ici. Cette réflexion utilise principalement deux expérimentations : l’une liée au travail de l’équipe ERMEL et l’autre liée à la construction d’un ouvrage avec l’AGEEM en relation avec le travail de l’IREM de Reims sur les rallyes mathématiques. Ces observations se sont déroulées sur un temps relativement long (respectivement six années complètes et quatre années) et à grande échelle (plus de dix classes chaque année).

Nous tirons de ces observations quatre niveaux de difficultés que nous présentons du plus général au plus spécifique. Les deux premiers apportent une réflexion sur le travail de l’enseignant, les deux suivants utilisent plus les résultats de la didactique des mathématiques.

Au niveau du rôle de l’école maternelle

Un des enjeux de l’école maternelle qui, à notre sens, est mal assumé par les enseignants est d’amener l’élève à comprendre l’enjeu de l’école et d’éviter le malentendu scolaire (Bauthier et Rayou, 2009). Ce malentendu peut être illustré par une vidéo¹ que nous avons tournée lors de la mise en Å“uvre d’un rallye mathématique avec des élèves de moyenne, grande section et CP :

Quatre élèves ont chacun un sac contenant des jetons, chacun regarde le contenu de son sac. Puis le premier élève doit dire au second élève ce qu’il a dans son sac et le lui donner, le second dit alors au troisième ce qu’il a dans ses sacs et les lui donne, jusqu’au quatrième qui doit dire combien il y a de jetons dans les sacs. Lors de la première mise en Å“uvre, les élèves échouent, car ils ne donnent comme information que le contenu de leur sac. Les élèves se rendent compte du fait que le quatrième élève n’a pas assez d’informations lorsque l’enseignante leur demande s’ils auraient pu réussir à donner assez d’informations les élèves sont d’abord surpris ce qui laisse penser qu’ils ne se sont pas posé la question de la réussite de la tâche. Ensuite, ils répondent simplement « non ». Ainsi les élèves semblent penser que ce qui leur est demandé est de faire un message sans se rendre compte que c’est la nature de ce message qui est l’enjeu du travail.

Nous avons observé de nombreux cas d’élèves qui n’ont pas compris qu’ils n’avaient pas rempli le contrat de l’école quand ils avaient simplement effectué la tâche (coché, rempli, communiqué, dessiné…).

Or, comme nous l’avons mis en évidence dans une analyse des représentations des enseignants sur la mise en échec des élèves (Jourdain et Emprin, 2010), les enseignants ont assez peu conscience de cette problématique et ne la relie pas à la question de l’échec scolaire ce qui nous invite à penser qu’ils ont des difficultés à la prendre réellement en charge.

C’est donc pour nous un des enjeux spécifiques de l’école maternelle que d’amener les élèves à comprendre leur métier d’élève en général, mais également à donner, à l’activité mathématique, un sens positif. Ainsi les élèves qui travailleraient beaucoup sur fiches où il faut remplir des cases avec des nombres ne verraient dans les mathématiques qu’une discipline très formatée, très opposée à l’affirmation de Cantor « les mathématiques c’est la liberté ». Le risque est que cette représentation perdure et qu’elle soit plus difficile à modifier ensuite même en mettant en place des activités plus riches comme les problèmes ouverts, les rallyes…

Cette première constatation interroge donc les pratiques des enseignants dont nous analysons maintenant quelques aspects.

Au niveau des pratiques des enseignants et de leur formation

Notre premier constat est que les pratiques à l’école maternelle sont plus riches et plus diversifiées qu’à l’école élémentaire. Les dispositifs pédagogiques sont potentiellement plus intéressants : le travail par ateliers pourrait être lié à la définition de groupes de besoins et la gestion de l’autonomie des élèves, l’utilisation de matériels pédagogiques variés pourraient être également liées à un travail de différenciation, mais il nous semble que beaucoup de ces dispositifs sont attribuables à des habitudes et une représentation des usages. Pour illustrer ce constat, nous utiliserons une situation usuelle en maternelle : le « filet du pêcheur ». Dans cette situation, moitié de la classe fait une ronde et choisit un nombre en le cachant à l’autre moitié. La deuxième moitié traverse ensuite la ronde dans laquelle les élèves récitent en cÅ“ur la comptine numérique. Une fois arrivée au nombre déterminé en secret au début, la ronde s’abaisse et capture les élèves qui seraient alors à l’intérieur. Nous avons souvent montré² cette situation en formation. Lorsque l’on demande aux enseignants s’ils connaissent et utilisent cette situation, la réponse est majoritairement oui pour les enseignants expérimentés, en revanche lorsque l’on demande pourquoi il est utile de travailler cette tâche les enseignants n’ont pas de réponse satisfaisante : ils répondent qu’il s’agit d’entraîner la comptine numérique ou d’apprendre à compter. En fait, il s’agit ici d’entraîner les élèves à s’arrêter à un nombre donné, cette capacité est nécessaire non pas quand il s’agit de dénombrer (il faut alors s’arrêter quand il n’y a plus d’objets à dénombrer), mais quand il faut constituer une collection d’un cardinal donné. Ainsi les enseignants mettent en place une situation sans conscience de l’enjeu précis de la tâche.

La mauvaise connaissance des enjeux mathématiques peut conduire l’enseignant à dévoyer la situation qu’il met en place. Dans la situation dite des pinceaux (Brousseau, 1998) l’élève a sur sa table des pots vides et dans une autre pièce un stock de pinceaux. La consigne est d’aller chercher « juste ce qu’il faut de pinceaux pour qu’il n’y ait pas de pot sans pinceau ni de pinceau sans pot, attention on a le droit qu’à un seul trajet ». Le but de la situation est que l’élève se rende compte que le nombre est l’outil adapté pour mémoriser une quantité, la collection à distance et la limitation à un unique trajet disqualifie toutes les autres stratégies comme la correspondance terme à terme par exemple. Nous avons filmé un enseignant qui donne la consigne suivante : « va chercher juste le nombre de pinceaux qu’il faut pour qu’il n’y ait… », cet enseignant donne donc la réponse avec la question en prononçant le mot nombre.

Cela nous renvoie au travail de Liping Ma (1999) qui fait une étude comparative de l’enseignement des mathématiques entre la Chine et les États-Unis. Elle arrive à la conclusion que la plus-value des enseignants chinois ne vient pas de connaissances mathématiques de haut niveau, mais d’un « profound understanding of fundamental mathematics ».

Ce type de connaissances est un des enjeux de la formation des maîtres qui intègre une analyse des concepts étudiés sous de multiples angles notamment épistémologique, didactique….

Ainsi nous avons le sentiment que les usages et l’absence de manuel en tant que tel (il existe des fichiers et des documents tout prêts sur internet) amènent les enseignants à des pratiques ayant un potentiel plus riche, mais que les enseignants manquent de connaissances fines des concepts manipulés pour les exploiter réellement.

Au niveau des types de situations d’apprentissage

Au cours de nos expérimentations nous avons identifié deux grandes classes de situations pour l’école maternelle : les situations problèmes au sens de Brousseau (1998) et les situations de construction d’expérience.

Dans le premier type de situations, nous utilisons principalement : les situations d’action dans lesquels l’échec de l’action force l’élève à modifier ses stratégies, à s’adapter et les situations de communication dans lesquels c’est l’échec de la communication avec un autre élève qui est le vecteur de l’apprentissage. La question du langage est centrale à l’école maternelle et nos observations nous montrent que les enseignants se contentent parfois, en mathématiques, d’accrocher un mot avec une « image ». Un enseignant montre un carré, dit « c’est un carré » et les élèves répètent, mais l’enseignant ne maîtrise pas toujours le concept attaché par l’élève au mot carré. Les élèves sauront reconnaître un carré mis en position prototypique (côtes horizontaux et verticaux), mais si l’enseignant incline le carré les élèves disent losange. Dans la situation de communication, les élèves doivent trouver le mot qui correspond au concept et qui soit compréhensible par tous donc appartenant à un vocabulaire partagé. Par exemple dans une situation un élève (le photographe) doit dire à un autre (le sujet) de se placer comme sur une photo modèle (de face, de dos, de profil gauche ou droit). Nous avons observé un élève qui dit à sa camarade « mets-toi en arrière » ce qu’elle ne comprend pas, elle recule, mais ne parvient pas à interpréter le message et la photo prise ne correspond pas au modèle qui était de dos. Lors de la mise en commun les élèves décrivent les messages qui réussissent et ceux qui échouent, ils déterminent trois catégories de messages : les messages agissant sur les autres « tourne, tourne, tourne… stop » ; les messages utilisant un repérage absolu : « regarde vers la porte, vers l’aquarium… », les messages utilisant un repérage plus relatif au sujet : « de face, de dos… ». L’élève qui avait échoué s’est d’abord rendu compte de l’insuffisance de son vocabulaire qui n’était pas compris par tous et a pu adopter le vocabulaire « de dos » pour le remplacer ou encore s’approprier d’autres stratégies. Il est important que les élèves aient à utiliser le vocabulaire comme moyen de communiquer différents aspects du concept, par exemple pour le mot carré : le carré comme faces du cube, le carré comme forme plane touchée en aveugle, le carré comme constitué de 4 côtés égaux quand il s’agit de commander des tiges pour le construire, le carré comme forme sur laquelle on peut placer l’angle droit de l’équerre… En contrôlant les différents aspects du concept fréquenté et attaché au mot carré, l’enseignant évite de l’associer uniquement à une figure prototypique (signifiant / signifié Duval)

En tant que chercheurs nous nous sommes beaucoup concentrés sur les situations problèmes, mais en expérimentant des ingénieries pédagogiques nous nous sommes rendu compte qu’un autre type de situations était également nécessaire à l’école maternelle : les situations de construction d’expérience. Par exemple des situations où un élève va toucher un solide dans un sac opaque pour le retrouver parmi un lot et se rendre compte de la nécessité de bien toucher avec les deux mains. En effet un élève touche un cube avec une seule main, saisit bien un des sommets et désigne un tétraèdre. D’autres situations où il faut emballer un solide et où les élèves se rendent compte qu’en appliquant une feuille sur un solide ce dernier laisse une empreinte dans la feuille : ses faces. La construction d’expérience n’est pas uniquement liée à l’espace sensible, il est important que l’élève effectue réellement des distributions : il faut distribuer 24 cartes à 6 élèves par exemple. Sans cette expérience de la distribution comment l’élève peut-il conceptualiser les situations de division et s’approprier les différents types de problème au sens de la structure de multiplication et de division de Vergnaud (1996).

Nous avons pu observer des exemples d’utilisation du TNI (Tableau Numérique Interactif) qui nous interpellent sur cette question de l’expérience. Les TNI sont de plus en plus présents dans les classes et un de leurs attraits est qu’ils permettent aux enseignants d’économiser sur la préparation matérielle. Néanmoins on peut s’interroger sur le fait que la manipulation d’objets virtuels construise une expérience comparable que celle d’objets réels, c’est particulièrement vrai pour les objets ou les transformations géométriques, mais aussi pour le numérique. Lors d’une observation nous avons vu un enseignant présenter des flascards au TNI. Il s’agit de montrer très rapidement une collection d’objets aux élèves et leur demander combien il y en a pour les forcer par exemple à faire du calcul et de la reconnaissance globale de collection. Les élèves se lèvent un par un ; l’enseignant fait afficher puis disparaître la collection et un élève doit dire combien il y en a. Il se rassoit ensuite. À un moment un élève se trompe, il dit 7, puis se rassoit, l’enseignant rappelle le même élève puis enfonce la touche retour-arrière, l’élève dit 8 et se rassoit. La question que nous nous posons est, comment est-ce que l’élève sait qu’il s’est trompé ? En effet, seul l’enseignant sait qu’il est revenu en arrière, l’élève peut avoir eu l’impression qu’on l’interrogeait deux fois de suite. Il est vrai qu’il est possible d’adapter le logiciel sur le TNI pour que l’élève se rende compte que l’on passe d’une carte à l’autre, mais ce que nous montre cette situation c’est qu’il faut que l’enseignant soit pleinement conscient que la transposition d’une situation dans un espace informatique entraîne la modélisation d’objet. Cette modélisation, qui peut nous sembler transparente peut être non accessible à un élève qui n’aurait pas acquis suffisamment d’expérience réelle.

Dans le choix des outils comme dans celui des situations, les enseignants manquent parfois d’une connaissance suffisante des fondements des démarches d’enseignement apprentissage qu’ils utilisent. Ils se centrent bien souvent sur l’action, la manipulation sans se rendre compte que ce n’est pas suffisant pour apprendre, qu’il faut que les élèves reviennent sur leur action lors d’une mise en commun, qu’ils mettent des mots sur leurs actions, que l’enseignant fasse émerger le savoir en jeu dans la situation et enfin qu’il l’institutionnalise c’est-à-dire que ce savoir soit reconnu par lui comme « Ã  savoir ». Sans ces dernières phases les connaissances restent en suspend et risquent de se perdre en suivant l’idée de Meirieu³ qui dit « Quand on sait qu'on sait on peut utiliser le savoir sans attendre qu'on vous le demande.» ou l’idée de connaissances disponibles de Robert (1998).

Au niveau des contenus à enseigner

Pour ce qui est des contenus à enseigner dans le domaine numérique, la didactique des mathématiques a produit des connaissances suffisantes pour fournir aux enseignants des connaissances qui leur permettent de mettre en Å“uvre leur enseignement. Ces résultats (Briand, 1993) (Brousseau, 1998) font globalement consensus et font l’objet de travaux de vulgarisation (IREM de Grenoble revue grand N, notamment 1999) (Briand et al., 2004) et de transmission d’ingénierie pédagogique ERMEL(1995). Une controverse existe en ce qui concerne l’enseignement du comptage. Cette procédure qui consiste à dénombrer en numérotant les objets un à un : « un, deux, trois, quatre, il y en a quatre » est considérée par certain (Brissiaud⁴) comme néfaste et ne devant pas être enseignée à des jeunes enfants alors que d’autres considèrent qu’il faut d’abord l’enseigner pour que les élèves accèdent aux quantités et qu’ensuite il faut amener les élèves à l’abandonner au profit de procédure plus experte que sont le calcul et l’utilisation de la numération. Il y a donc consensus sur le fait que les procédures expertes de dénombrement qui sont visées sont l’utilisation de la numération et le calcul, mais certaines divergences existent sur les moyens d’y parvenir.

En revanche, en ce qui concerne la géométrie et les connaissances spatiales les travaux de didactique manquent et ne permettent pas de constituer une assise conceptuelle suffisante. Pour le cycle 3, ils sont déjà en nombre moindre que pour numériques et, à notre connaissance seulement quelques travaux existent dans le domaine de la psychologie comme Lurçat (1976) et sont, comme ceux de Piaget et Inhelder(1947), anciens. Nous pouvons citer Berthelot et Salin (1992) ou Houdement et Kuzniak (2006) qui donnent deux cadres de compréhension de la géométrie en général.

Pour conclure

Le travers d’un tel texte pourrait être de dresser un tableau très noir des mathématiques à l’école maternelle. Il nous semble au contraire qu’elle a des potentialités au niveau des dispositifs pédagogiques existants et des situations pédagogiques découlant de recherches bien stabilisées.

Sur ce terrain, qui apparaît favorable, se pose la question de la formation des enseignants et de la transmission des résultats de la recherche. Pour ce deuxième point, deux modèles sont possibles : la diffusion de chroniques qui décrivent explicitement toutes les actions, les paroles, les gestes pédagogiques ou la description argumentée des enjeux des situations, des variables didactiques et donc des choix que l’enseignant peut faire. Pour des enseignants débutants, les chroniques permettent une première expérience « réussie » de la situation sur laquelle ils vont pouvoir s’appuyer pour faire des adaptations, mais elles sont très coûteuses en temps de lecture. Cette démarche, généralisée sous-entendrait que tous les élèves apprennent de la même façon et que le travail de l’enseignant peut être facilement modélisé. En cas d’imprévu le risque est que les enseignants ne soient pas capables de se détacher du scénario et si tout se passe bien qu’ils ne soient jamais capables de prendre le recul nécessaire. En revanche les situations décrites par leurs enjeux et les variables sur lesquelles l’enseignant peut jouer peuvent laisser les novices face à des choix insurmontables alors que l’enseignant « expert » sera capable de les exploiter en fonction des élèves et ainsi de programmer l’apprentissage.

Annexe : Précision concernant les études sur lesquelles se basent ces observations

Le travail de l’équipe ERMEL est un travail de production d’ingénieries pédagogiques. L’équipe travail depuis 6 ans sur la géométrie de la grande section au CE1. Ce n’est pas un travail recherche académique et didactique au sens où il ne vise pas essentiellement à produire de nouvelles connaissances pour la science, mais à produire des dispositifs d’enseignement dans un processus circulaire décrit dans le figure 1 ci-dessous (Douaire et Emprin, soumis).

À partir d’une question de départ, l’équipe met en place des dispositifs expérimentaux permettant :

1. Une analyse du savoir géométrique (problèmes, propriétés, représentations…), ainsi que des connaissances spatiales développées par les élèves.

2. L’organisation de l’étude des différentes notions spatiales et géométriques, sur les trois années du cycle.

3. L’élaboration de situations didactiques et leur expérimentation dans des classes de plusieurs académies.

Ces trois composantes sont en interaction, l’identification des potentialités des élèves étant aussi issue des expérimentations menées. Chacune de ces étapes associe l’ensemble des collègues de l’équipe, qu’ils soient formateurs en IUFM (PRAG ou enseignants chercheurs) ou maîtres-formateurs du premier degré. Les membres de l’équipe se réunissent pour analyser les expérimentations. Il découle de ces échanges une explicitation des potentialités des élèves, de leurs difficultés. Ce travail permet de définir les besoins relatifs à l’enseignement dans les différents domaines et débouche sur la production ou l’amélioration de dispositifs d’enseignement. Bien évidemment les disponibilités de chacun sont variables (les maîtres formateurs n’ont pas de décharge de service pour ces travaux). D’un point de vue pratique l’équipe est structurée en équipes locales pilotées par les formateurs IUFM qui se réunissent et travaillent ensemble. Les formateurs IUFM sont les intermédiaires entre les équipes locales et l’équipe nationale.

4. La rédaction d’un ouvrage à destination des formateurs et des enseignants du premier degré. Il comporte une première partie explicitant les enjeux des apprentissages et des problématiques de l’enseignement dans ce domaine. La seconde partie présente les situations qui ont été retenues parmi les dispositifs d’enseignement expérimentés.

Les résultats de la recherche feront l’objet d’une publication destinée aux enseignants et aux formateurs, comme pour nos précédentes recherches (cf. ERMEL Géométrie cycle 3 : « Apprentissages géométriques et la résolution de problème au cycle 3 » INRP/Hatier, 2006).

Les situations qui y sont proposées présentent une certaine « robustesse » : les résultats et procédures produits par les élèves sont présentés dans le descriptif des situations, ce qui permet au maître, en général non spécialiste des mathématiques, de pouvoir anticiper ses décisions. Cette fiabilité nous semble due d’une part à la cohérence entre les conceptions de l’apprentissage et les situations proposées et, d’autre part, à leur expérimentation dans de nombreuses classes durant plusieurs années.

Chaque année entre 10 et 30 classes expérimentent les dispositifs ce qui constitue un terrain d’observation privilégié.

Le second terrain d’observation provient du travail de l’IREM de Reims sur les rallyes mathématiques au collège (depuis plus de 20 ans) et à l’école (du CP au CM2 depuis plus de 10 ans) et d’un questionnement de l’AGEEM de la Marne. En effet l’AGEEM organise des rallyes lectures à l’école maternelle alors même que les élèves ne savent pas lire, l’association s’est donc tourné vers nous en nous posant la question suivante : « il existe des rallyes maths à l’école, des rallyes lecture en maternelle, est-ce qu’il serait possible de faire un rallye mathématique à l’école maternelle ? ». La réponse à cette question a donné lieu à 4 ans de production de situations et d’expérimentation sur lesquelles nous nous appuyons. Il a donné également lieu à la production d’un ouvrage (Charotte, Emprin, 2006)

Bibliographie

1. Bautier É. Rayou P. (2009). Les inégalités d’apprentissage. Programmes, pratiques et malentendus scolaires. Paris : PUF , 184 p..

2. Berthelot R. Salin M.-H. (1992). L’enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire, Thèse de doctorat, Bordeaux.

3. Briand J. (1993). L’énumération dans le mesurage des collections. Un dysfonctionnement dans la transposition didactique, thèse de doctorat de l’Université Sciences et Technologies - Bordeaux I (1993-12-14), BROUSSEAU Guy (Dir.)

4. Briand J. Loubet M. Salin M-H. (2004). Apprentissages mathématiques en maternelle, Hatier (CD-Rom)

5. Brousseau G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.

6. Charotte F. Emprin F. (2006). Un rallye mathématique à l’école maternelle ? Oui, c’est possible. CRDP Champagne Ardenne

7. Houdement C. Kuzniak A. (2006). Paradigmes g̩om̩triques et enseignement des la g̩om̩trie, ANNALES de DIDACTIQUE et de SCIENCES COGNITIVES, volume 11, p. 175 Р193.

8. Emprin, F. Jourdain, C. (2010). Les représentations des enseignants sur l’échec scolaire : étude à partir d’une question contraposée, actes du colloque AREF 2010 : Actualité de la recherche en éducation et en formation, Genève, 13 au 16 septembre 2010 :

9. ERMEL (1995). Apprentissages numériques en Grande Section, Hatier

10. IREM de Grenoble (1999), Grand N. Spécial maternelle : T. 2. IREM de Grenoble, Grenoble, 1999

11. Liping Ma (1999), Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States: Teachers' Understanding ... Mathematical Thinking and Learning Series, Lawrence Eribaum Associates Inc, Publishers.

12. Lurçat, L. (1976). L’enfant et l’espace : le rôle du corps. Paris : PUF.

13. Piaget, J., & Inhelder, B. (1947). La représentation de l’espace chez l’enfant. Paris : PUF

14. Robert A. (1998). Outils d'analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et à l'université, Recherches en didactique des mathématiques, La Pensée Sauvage éditions Grenoble, Vol. 18. Num. 2. p. 139-190.

15. Vergnaud G. (1996) La théorie des champs conceptuels. In J. Brun (Ed). Didactique des Mathématiques. Delachaux et Niestlé. Lausanne.

     

    Notes :