Florence Ligozat

Maître Assistante

Université de Genève / Faculté de psychologie et des sciences de l'éducation / GREDIC

Introduction

Le point de vue que j'apporte ici est soutenu par dix années de recherches (2002-2012), menées au sein de la Faculté de psychologie et des sciences de l'éducation de l'Université de Genève, sur le fonctionnement de l'enseignement et apprentissage des mathématiques au quotidien dans les classes du primaire, en Suisse romande, mais aussi en France. Dans ce cadre, j'ai rédigé une thèse sur les logiques de l'action enseignante et leurs effets sur les savoirs enseignés dans le domaine de la mesure et des grandeurs, et plus particulièrement celui des aires de figures planes (Ligozat, 2008). Ce travail inclut une comparaison des curricula en France (programmes de 2002) et en Suisse romande (Plan d'étude de 1997 ; Moyens d'enseignement de 1999) afin de comprendre les racines épistémologiques mais aussi idéologiques des logiques d'action observables dans les classes, de part et d'autre de la frontière franco-suisse.

Je soutiens l'idée qu'une réflexion sur l'enseignement des nombres et des grandeurs ne peut se faire sans coordonner différent points de vue apportés par les recherches : point de vue développemental sur l'acquisition des savoirs par les sujets (élèves); point de vue anthropologique sur la construction de ces savoirs, leurs fonctions dans les activités sociales et les choix curriculaires ; point de vue pragmatique des conditions de la diffusion et de maîtrise de ces savoirs en contexte d'enseignement. La perspective comparatiste qui est la mienne, à la croisée des systèmes scolaires suisse-romands et français, et centrée sur les pratiques de classe, permet de croiser ces points de vue, en pointant les lieux de tension dans le curriculum concernant les relations entre nombres, grandeurs et mesures.

Le point de vue anthropologique - grandeurs et mesures dans les curricula en France et en Suisse romande

Comme la grande majorité des didacticiens des mathématiques francophones, je me retrouve dans l'idée que la réforme de l'enseignement des mathématiques dans les années 70 a profondément bouleversé les rapports entre les grandeurs et les nombres, faisant disparaître certains outils de conceptualisation des opérations arithmétiques ; et ramenant la construction du nombre décimal à une transformation des entiers par un changement d'unité. Je ne reviendrai pas sur les évolutions curriculaires en France, fort bien décrites par mes collègues. Si en France, la période post-réformiste débute dès les années 80, avec une réintroduction progressive des grandeurs dans certains types de tâches, par nécessité pratique, mais aussi sous l'influence grandissante des travaux de didactique des mathématiques qui visent à restaurer la fonctionnalité des savoirs à travers la construction de situations didactiques (Brousseau & Brousseau, 1987, sur les rationnels et décimaux), la réalité est un peu différente en Suisse romande. Les effets de la réforme y ont été prolongés par jusqu'au milieu des années 90, par la « force » des moyens d'enseignement officiels¹ qui constituent le référentiel de base pour enseigner dans toutes les classes. La période de « post-reforme » apparaît avec la définition d'un nouveau plan d'étude en 1997 (grade 1-6), assorti d'une nouvelle collection de moyens d'enseignement (COROME 1999) qui vise à tenir compte des développements les plus récents des recherches en éducation.

Aussi bien dans les programmes français de 2002 à 2007 (cycle 3 – grades 3, 4 & 5) que dans le plan d'étude romand de 1997 (grade 1 à 6) et les moyens d'enseignement associés, on trouve une section dédiée à la « mesure »². Je résume rapidement les points de divergence entre ces deux curricula ; la comparaison créant un moyen d'excentration pour comprendre autrement, ce que l'on sait indépendamment.

En France, il s'agit de « Grandeurs et mesures », comportant une sous-section spécifique pour les « aires », au côté de celle regroupant « longueurs, masses, volumes / contenance, temps et durées » d'une part et « angles » d'autre part. Ce découpage assume une spécificité de l'approche des aires en déclinant une série de compétences précises à acquérir selon une progression qui va des comparaisons qualitatives dans l'espace sensible à l'usage des unités de mesures conventionnelles et leurs équivalences³. Les documents d'accompagnement détaillent de nombreuses activités de manipulation des grandeurs avant de s'engager dans des activités de mesures (longueur & aires). A noter que l'introduction des nombres décimaux fait l'objet d'une section différente intitulée « Connaissance des fractions rationnelles et nombres décimaux » dans laquelle les fractions sont introduites comme un moyen de codage des mesures de longueurs (ou aire), puis servent de « passerelle » vers l'écriture décimale, via l'identification des fractions décimales.

En Suisse romande, il s'agit de « Nombres réels et mesure ». Parmi la liste des 18 compétences attendues, on peut dégager deux grandes catégories :

1. Celles qui visent des compétences purement numériques (ex : comparer, ordonner encadrer, intercaler des nombres entiers) sur les entiers, les décimaux, les fractions unitaires (½ ; 1/3 ; ¼...) ou de mêmes dénominateurs (2/3; 5/3; 8/3...) ;

2. Celles qui mettent jeu des grandeurs et leurs mesures (ex : comparer, ordonner des grandeurs par manipulation de lignes, surfaces, solides à l'aide d'unités non conventionnelles).

On trouve une insistance sur le dédoublement des techniques de mesurage à l'aide d'unités non conventionnelles et conventionnelles (système métrique) ainsi qu'une référence explicite aux activités de mesurage issues de la vie quotidienne (calculer une longueur de trajet et un périmètre; exprimer des mesures dans différentes unités courantes) ou des pratiques scientifiques (prendre une mesure à l'aide d'un instrument et en donner un encadrement). Au niveau du plan d'étude, il n'y a pas d'approche spécifique préconisée pour certaines grandeurs; en revanche, on trouve dans les « Commentaires didactiques »⁴ qui accompagnent les moyens d'enseignement, un condensé théorique⁵ sur :

1. les opérations sur les grandeurs indépendamment de leur mesure - référence à Rouche (1992)-,

2. l'encadrement d'une mesure par subdivisions successives d'une unité choisie;

3. les spécificités de la mesure instrumentée en fonction des problèmes posés par les différentes grandeurs.

Signalons que l'on retrouve une progression similaire à ce qui est préconisé pour la notion d'aire dans les Programmes français (d'abord des superpositions et des recouvrements, puis des pavages en fonction d'une unité choisie & composition additive des unités ; puis la multiplication comme moyen plus économique de dénombrer les unités d'aire à partir des longueurs des côtés d'un rectangle).

Si, au niveau du Plan d'étude suisse-romand, la référence aux grandeurs est nettement moins sensible qu'en France pour appuyer la construction des nombres et des opérations, on constate qu'il apparaît une justification du fonctionnement de la mesure (même sommaire) à partir des opérations sur les grandeurs dans les documents d'accompagnement. Toutefois, dans le module « Problèmes pour mesurer » (grade 4) incluant longueurs, masses, aires et volumes /contenances, l'examen des types de problèmes qui sont effectivement proposés aux enseignants et aux élèves montre qu'il est possible de traiter tous les problèmes par la mesure directement. Du reste, le terme de « grandeur » disparaît dans le texte introductif du module : « l'enjeu de chaque activité du module est d'adopter alternativement ou simultanément ces deux points de vue, c'est à dire traduire des observations ou des manipulations sur les objets en actes de pensée sur des nombres, et réciproquement, de s'assurer que les opérations numériques sur les mesures se vérifient dans la réalité de l'espace sensible » (COROME, 1999 grade 3 & 4). Le principe est donc de travailler dialectiquement la relation entre objets (grandeurs) et nombres, aucune hiérarchie ne semble prépondérante.

Au grade 5, la mesure est abordée à travers deux thèmes, celui des « Mesures de longueurs » et celui des « Mesures d'aires ». On relève que le thème des longueurs a pour enjeu central les changements d'unités dans le système métrique. Il fait stratégiquement suite au thème « Nombres rationnels » car il contribue, selon les auteurs, à montrer la nécessité de travailler avec des nouveaux nombres non-naturels pour exprimer des mesures de longueur dans le système métrique. Précisons que les nombres rationnels sont introduits par la subdivision de segments sur une droite graduée, mais aussi la subdivision du rang des unités du nombre entier, créant ainsi des dixièmes, centièmes... Ainsi la construction du nombre décimal est-elle supportée par le cadre géométrique procuré par les longueurs mais pas par des rapports de grandeurs dénotés par des fractions⁶.

Le thème des aires vise la découverte de « la règle multiplicative » du calcul de la mesure d'aire d'un rectangle à partir des mesures de ses côtés. Toutes les activités proposées, y compris celles qui sont suggérées comme des points de départ, reposent toutes sur du mesurage d'aires, avec une unité qui peut être reportée ou qui quadrille déjà la figure. En effet, la plupart des fiches-élèves demandent de dénombrer par diverses techniques des pavés-unités sur des figures déjà quadrillées, ou par des réseaux à mailles différentes, privilégiant l'observation des changements d'unités sur la mesure de l'aire.

Cette visite comparée des curricula français et suisse-romands nous donne une idée de la diversité du traitement des grandeurs et de leurs mesures. A l'appui des grands résultats de la didactique des mathématiques des années 80, la réintroduction des manipulations de grandeurs dans l'espace sensible comme préalable à la définition des nombres et des opérations numériques est assez évidente dans le contexte français. En Suisse romande, si l'importance des grandeurs est évoquée dans certaines strates du discours de justification des activités, le cadre numérique issu des mathématiques modernes reste fortement présent dans la construction des nombres décimaux, mais il est combiné à une approche pratique de la mesure à l'aide du système métrique. Les élèves sont amenés à fréquenter ces nombres dans des pratiques de mesurage, d'opérations sur les mesures en lien avec les opérations sur les grandeurs.

Un type de tâche privilégiée au grade 4 est par exemple le mesurage de la longueur d'un couloir d'une vingtaine de mètres, comportant des pans de murs en renfoncement. Cela nécessite la mesure de plusieurs segments au mètre-ruban et l'addition de ces mesures pour trouver la distance totale; cette addition met en jeu la somme de décimaux concrets (ex: 3 m et 15 cm s'écrit 3,15 mètres) à traiter à l'aide de la connaissance du système métrique (3,15 m + 4,89 m c'est en fait 3 m + 4 m = 7 mètres et 15 cm + 89 cm = 104 cm ; mais on sait que 104 cm c'est aussi 1 mètre et 4 cm (on peut le constater sur le mètre ruban) donc la longueur totale c'est 8 m et 4 cm, on peut l'écrire 8,04 mètres – pas de dizaine au nombre de cm). Cette fréquentation « pratique » du nombre décimal au grade 4 précède souvent l'introduction « formelle » de ces nombres au grade 5, par subdivision de segments sur la droite numérique.

Le point de vue pragmatique : difficultés de gestion didactique dans les premières approches de l'aire

J'en viens maintenant aux constats qui peuvent être faits sur la base de l'observation de l'action conjointe de professeurs et de leurs élèves, dans le cas de la mesure des aires. Je me référerai pour cela à deux activités scolaires prototypiques que j'ai observées pour aborder cette notion, en 4ème année d'école primaire.

• En France, il s'agit d'une séquence ERMEL CM1, intitulée « Ces rectangles ne manquent pas d'aires ». La séquence propose une progression qui repose sur la complexification des variables didactiques : il s'agit d'abord de comparer les « quantités de papier » de rectangles d'abord à vue, puis en les superposant et recomposant si besoin dans l'espace sensible (rectangles découpés et recollés). La grandeur « aire » est instituée comme équivalente à la notion de « quantité de papier ». Une fois cela fait, on aborde des méthodes dites de superposition et recomposition « fictives » lorsqu'il n'est plus possible de superposer les rectangles effectivement (recours au dessin géométrique). Il est précisé à l'enseignant que le recours au comptage d'unités d'aire n'est pas une attente dans cette séquence (cela fait l'objet de la séquence suivante, pour travailler la distinction aire-périmètre). Le cadre géométrique est explicitement privilégié.

• En Suisse romande, il s'agit d'une fiche d'activités des Moyens d'enseignement (grade 4) : « Du plus grand au plus petit ». Le problème demande de comparer et ordonner les aires de 13 polygones (carrés, triangles isocèles, triangle-rectangle, rectangles, parallélogrammes, trapèze) qui sont fournis prédécoupés. Aucune progression n'est proposée à l'enseignant; si ce n'est que la consigne fournie aux élèves comporte d'emblée le mot "aire" et que cela suppose un travail sur les figures "en aparté" de la consigne dans un premier temps, pour définir le type de tâche en jeu. Une grande diversité de procédures est possible, depuis le pavage de tous les polygones par le plus petit (triangle) pouvant servir d'unité, jusqu'aux procédés géométriques de superpositions et transformations, permettant de rechercher des inclusions entre les figures. L'enseignant a alors à sa charge de coordonner les différentes procédures pour aboutir à la sériation des aires.

L'observation de ces deux activités fait saillance parmi toutes les situations observées sur une année à propos de la mesure de différentes grandeurs (longueurs, masses, contenances, temps) car enseignants et élèves rencontrent des difficultés plus importantes que dans les autres cas. Pour certains élèves, il apparaît que les résultats obtenus par des manipulations dans l'espace concret ne sont pas nécessairement liés à la grandeur considérée. En quoi un rectangle totalement inclus dans un carré permet-il de dire quelque chose sur leurs aires ? Le constat d'inclusion ne vaut que s'il est relié à un discours qui institutionnalise la notion d'aire par une relation du type : « si une figure A peut être totalement incluse dans une figure B (soit par superposition directe, soit par découpage et recomposition), alors on peut dire que l'aire de A est plus petite que l'aire de B ». Toutefois, lorsqu'elle est institutionnalisée, cette relation n'est pas facilement reconvoquée lorsque les figures ne sont plus déplaçables (travail sur dessin); pour les élèves, la technique de superposition et recomposition (et les résultats permis par cette technique en terme de comparaison d'aire) reste contingente à la situation de manipulation dans l'espace sensible. Dans le même temps, d'autres élèves recherchent des solutions numériques pour attester de ce qui est « plus grand » ou « plus petit ». Quel statut donner à ces procédures numériques par rapport aux manipulations dans l'espace concret ? Ces observations révèlent que la gestion didactique de la définition de l'aire est délicate avec des élèves de 9 ans.

• Si le dispositif didactique essaie de se fonder dans une dialectique d'action, formulation, validation, propre à faire évoluer le statut des connaissances construites⁷, on remarque que la description des superpositions et transformations de figures est un obstacle sérieux au fonctionnement de la situation. Les élèves ne disposent pas d'outils géométriques suffisants (propriétés des figures; repères pour dénoter les transformations) pour formuler les opérations concrètes qu'ils réalisent; on peut « montrer », mais on ne peut pas construire un discours sur la procédure. Cela continue à renforcer l'effet de contingence des résultats obtenus. La difficulté s'accroît lorsque les figures ne sont plus manipulables dans l'espace concret et qu'il faut reporter les longueurs des côtés d'une figure sur les côtés d'une autre pour les comparer.

• Le « nombre » est un outil culturel bien installé au grade 4. Les élèves ont déjà rencontré des situations de dénombrement de carrés dans un rectangle (ou de mailles dans un réseau). En Suisse, cela reste un moyen privilégié pour introduire la table de Pythagore (construction de différentes « couvertures » à l'aide d'un même nombre de carrés donnés – une situation provenant des anciens Moyens d'enseignement, jugée efficace par les enseignants). En France, mais aussi en Suisse, cela apparaît dans nombre d'exercices sur la multiplication : dénombrer des carrés ou des mailles dans une figure rectangulaire (ex: Cap Maths CM1 p31), voire dans une figure décomposable en plusieurs rectangles (ex : Corome, grade 4, Grand L, p174 et Sous Pli, p194). En France, cela peut apparaître aussi à l'occasion de la construction des fractions (progression proposée dans « J'apprends les maths » CM1, p90-102, qui se prolonge par le découpage effectif de rectangles en portion égales recomposables, pour traiter de l'égalité des « Ã©tendues » ou aire). Dans la réalité de la progression en classe au fil de l'année, on se rend compte que certains élèves sont à même de reconvoquer des techniques de fractionnement des côtés des rectangles créant un quadrillage ou application d'un quadrillage par transparence (avec plus ou moins de maîtrise de l'opération de dénombrement), comme outils de mesurage de « l'étendue » ou « surface » qu'il leur est demandé de comparer.

Un constat assez général peut-être fait, à la fois dans les classes françaises et suisse-romande observées : les élèves recherchent une mathématisation des problèmes qui leur sont soumis, mathématisation dans le domaine numérique qui peut aller au-devant du projet didactique. Je l'attribue au fait qu'en 4^ème année, les élèves ont déjà intégré une culture mathématique assez développée pour imaginer qu'une comparaison de « ce qui se voit » ne suffise pas à satisfaire l'enquête qui leur est proposée. Certes, ce n'est pas le cas de tous élèves. Les cas les plus « remarquables » sont bien sûr ceux qui proposent d'emblée des techniques pertinentes pour la mesure de l'aire par un dénombrement sur quadrillage ou le produit des longueurs directement, ou un mixte des deux. Toutefois, vu sous l'angle des pratiques culturelles liées au nombre, parmi ceux qui calculent le « périmètre », certains ne recherchent pas nécessairement la mesure du « tour » de la figure, mais une technique pour évaluer « la surface occupée », technique qu'ils ne maîtrisent pas encore. La procédure qui consiste à faire la somme de deux côtés et à la multiplier par deux (technique dite du « ½ périmètre ») peut aussi être vue comme un théorème en acte (au sens de Vergnaud) dans une tentative « manquée » d'utiliser une technique calculatoire qui permette de quantifier cette "place occupée" par le rectangle.

Il est évident que l'attribution d'un nombre à un objet ne suffit pas à généraliser la notion grandeur comme classe d'équivalence sur des objets, surtout dans le cas où des objets appartenant à une même classe de grandeur peuvent avoir des formes géométriques différentes (et je rejoins en cela l'hypothèse de Perrin-Glorian, 1992). Mais les observations de classe m'amènent à dire que la notion de grandeur se construit avec les élèves de l'école primaire, dans des opérations de comparaisons garanties par des techniques de mesurage (mesures à l'aide d'une unité pré-définie). Le nombre concret (8 carrés) fait « mémoire » de la grandeur manipulée, et partant, il permet de la désigner, de la communiquer et de la confronter à d'autres, selon le même procédé de dénombrement. Cette hypothèse fait écho aux résultats d'une recherche développementale menée par Fluckiger & Brun (2005), et à laquelle j'ai participé, concernant la mesure des longueurs. Fluckiger et Brun mettent en évidence que les invariants conceptuels de la mesure des longueurs⁸ se construisent en même temps que les unités se constituent en systèmes, pour le sujet, à travers les pratiques d'usage. Grâce à une étude longitudinale menée avec des élèves de grades 2 à 5 (équivalent CE1-CM2), ces chercheurs constatent que les comparaisons de distances à l'aide de mesurants non conventionnels (baguettes) qui doivent être mis en rapport pour déduire la mesure des distances à comparer, n'est valide qu'à partir des grades 4 et 5. Auparavant, les élèves restent centrés sur des estimations des longueurs de baguettes à l'aide des unités conventionnelles, qui elles sont bien prégnantes dans les pratiques culturelles et scolaires. Ce n'est qu'ensuite, que peut se produire leur « désinvestissement » au profit d'une généralisation, qui s'observe dans des productions argumentatives de plus en plus denses, pour comparer les distances sur la base des nombres de reports de baguettes.

De mon point de vue, les deux processus (définition des procédés de mesurage numériques et définition de la grandeur comme classe d'équivalence par des opérations sur les objets géométriques) sont nécessaires et complémentaires. Leur « déconnexion » dans une progression (par une séquentialisation trop rigide des opérations sur les objets précédant les procédés numériques) semble produire des obstacles dans la gestion didactique en 4ème année de primaire⁹. Dans le cas de l'aire (contrairement aux autres grandeurs), il n'existe pas d'instrument donné par la culture; le travail des techniques de mesurage (engageant le principe fondamental d'un agencement et somme d'unités) est alors un moyen de faire exister concrètement cette grandeur pour les élèves. Le quadrillage peut prendre le statut d'instrument de mesure pour donner du sens aux manipulations géométriques (ex : « par superposition et recomposition, la figure A peut être complètement incluse dans la figure B et par comptage d'unités, on constate qu'il y a moins d'unités dans A que dans B » ; ou encore « Si je superpose A sur B en les ayant pavés avec la même unité ; je compare 8 carreaux de A qui dépassent de B et 12 carreaux de B qui ne sont pas recouvert par A »). Les observations conduites en classe ordinaires montrent que les techniques géométriques de superposition – recomposition pour montrer l'inclusion doivent faire l'objet d'un travail explicite de mise en relation avec les techniques numériques du comptage d'unités d'aire (évoluant vers le produit des mesures des cotés des rectangles), car ces deux approches s'informent mutuellement pour construire la notion d'aire.

Une étude des problèmes posés par l'enseignement / apprentissage de l'aire, parmi les problèmes de mesure des différentes grandeurs les plus courantes à l'école primaire, en « visitant » différents points de vue, conceptuel et anthropologique, semble fructueuse. Il existe toute une littérature anglo-saxonne sur les manipulations des unités (« unitizing ») dans le cas des longueurs (Barrett & Clements, 2003) mais aussi des aires (Outhred & Mitchelmore, 2000) qui sensibilisent aux contraintes qui pèsent sur la généralisation des opérations de dénombrement sur les grandeurs, et qui finalement nous rappelle qu'une mesure est le compte rendu des opérations sur une collection (ou une grandeur), selon la formule de Lebesgue (1975). Selon nous, il y a matière à saisir le problème cognitif de la mathématisation des grandeurs dans son contexte anthropologique d'émergence (tel qu'il se révèle dans les pratiques de classes, qui se font elles-mêmes l'écho d'un problème culturel), et pas seulement d'un point de vue psychologique (c'est à dire interne à l'élève), ni seulement d'un point de vue mathématique (axiomatique des grandeurs).

Quelques recommandations sur les ressources pour enseigner à la lumière des observations dans les classes.

Il est primordial que les professeurs gardent la responsabilité de construire et agencer la progression des enseignements dans leur classe, en choisissant les ressources qui conviennent à un projet d'enseignement fondé dans des notions à enseigner désignées par les instructions officielles. Une standardisation des ressources pour enseigner peut paraître un bon moyen de faire pénétrer rapidement certaines innovations voulues à un moment donné ou bien faisant gagner du temps de formation, en contrôlant comment les savoirs sont enseignés dans les classes mais cela a des effets pervers. Cela réduit la responsabilité des professeurs et donc leur engagement dans l'analyse des ressources disponibles afin de les sélectionner et les coordonner entre elles (réduction de la vigilance épistémique sur le contenu des activités). Le contrôle et l'uniformisation des modalités pédagogiques d'enseignement est l'un des aspects les plus problématiques des Moyens d'enseignements officiels en Suisse-romande. Côté français, le recours aux « fichiers » proposés par les éditeurs commerciaux pour les classes du primaire produit le même effet d'enfermement car l'enseignant perd la maîtrise de la progression.

L'évolution des pratiques effectives dans les classes dépend de l'intensité de la formation initiale des enseignants bien évidement, mais aussi de la possibilité pour les enseignants en poste de développer l'étude des activités pour enseigner à partir des ressources disponibles, mais aussi des analyses de pratiques croisées au sein de collectifs d'enseignants (animés par des formateurs ou des chercheurs) sur la base d'enregistrements vidéo. Les travaux que je mène dans le réseau Maison des petits à Genève¹⁰ exploitent ces modalités depuis quatre ans, nous constatons que cela a des effets concrets sur la manière dont enseignants repèrent et utilisent les variables didactiques dans les ressources pour enseigner.

La possibilité d'accroître la qualité de l'enseignement mathématique passe par une mise en cohérence des ressources existantes pour reconstruire des formes de progressions dans les savoirs qui ont été « endommagées » dans les réformes successives. Il y a certes le problème de la reconstruction des « chaînes trophiques » telles que Chambris (2010) le pointe, mais plus généralement, il faut aussi être vigilant sur la mise en forme des savoirs à enseigner dans les ressources à disposition des enseignants (Ligozat, 2010). En Suisse romande, la post-réforme de la fin des années 90 a produit un éclatement des types de tâches qui fondent les mathématiques de l'école primaire, dans un ensemble de fiches d'activités de recherche utilisables « Ã  la carte » au fil de l'année. Dans ces conditions, les éléments d'organisation entre les situations disparaissent aux yeux de l'enseignant. Dans le cas de la séquence ERMEL « Ces rectangles ne manquent pas d'aire », il y a certes des difficultés conceptuelles liées à une chronologie des techniques devant être développées, mais par ailleurs la complexification progressive d'un type de tâche (comparaison de rectangles) par le changement des variables didactiques permet de guider la problématisation et faire émerger la nécessité de relier les résultats permis par les techniques géométriques et ceux permis par les techniques numériques pour comparer des aires. A contrario, les Moyens d'enseignement suisse-romands proposent des problèmes « complexes », dont la responsabilité de la structuration est entièrement laissée à l'enseignant. Si, sur le plan mathématique, le problème est intéressant (souvent potentiellement porteur d'un PER au sens de Chevallard – cf. Ligozat 2012), en pratique la responsabilité de la structuration est trop lourde à porter du point de vue de chaque enseignant ; le problème est alors traité a minima, parce qu'il est donné entier à l'élève. Je considère que le risque de ce genre de dérive doit être pris au sérieux avec la montée en puissance du discours sur la nécessité d'engager les élèves dans des démarches d'investigations scientifiques (ou Inquiry Based Leanring), qui tendent à privilégier les manières de l'activité sur les savoirs à apprendre.

Bibliographie

Références scientifiques

1. Brousseau, G. & Brousseau, N. (1987). Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire. Brochure de l'IREM de Bordeaux.

2. Barrett, J. E., & Clements, D. H. (2003). Quantifying Path Length: Fourth-Grade Children’s Developing Abstractions for Linear Measurement. Cognition and Instruction, 21(4), 475-520.

3. Chambris, C. (2010). Relations entre grandeurs, nombres et opérations dans les mathématiques de l’école primaire au 20ème siècle: théorie et écologie. Recherches en Didactique des Mathématiques, 30(3), 317-368.

4. Clements, D. H. & Brights, G. [Eds] (2003) Learning and teaching measurement. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

5. Fluckiger, A. & Brun, J., (2005). Conceptualisation et classes de problèmes dans le champ conceptuel de la mesure. Recherches en didactique des mathématiques, 25 (3), 349-401

6. Lebesgue, H., (1931/1975). La mesure des grandeurs. Paris: Blanchard. [articles originaux parus dans le Bulletin de l'enseignement mathématique, 1931-1935].

7. Ligozat, F. (2008). Un point de vue de didactique comparée sur la classe de mathématiques. Étude de l’action conjointe du professeur et des élèves à propos de l’enseignement / apprentissage de la mesure des grandeurs dans des classes françaises et genevoises. (thèse de doctorat en sciences de l’éducation). Université de Genève & Université de Provence, Genève & Marseille.

8. Ligozat, F. (2010). Les textes de l’activité mathématique scolaire. Préconstruits et ressources dans la genèse des formes de l’action didactique. Dans G. Gueudet & L. Trouche (Éd.), Ressources Vives. Le travail documentaire des professeurs de mathématiques (PUR & INRP., p. 303-320). Rennes & Lyon.

9. Ligozat, F. (2012) La démarche d'investigation dans les moyens d'enseignement suisse-romands pour les mathématiques? Modéliser les conditions de l'enquête didactique. Texte d'une communication au colloque EMF, GT, 10, 3-9 février.2012, Genève

10. Outhred, L. N., & Mitchelmore, M. C. (2000). Young Children’s Intuitive Understanding of Rectangular Area Measurement. Journal for Research in Mathematics Education, 31(2), 144-167. doi:10.2307/749749

11. Perrin-Glorian, M. J. (1992). Aires de surfaces planes et nombres décimaux. Questions didactiques liées aux élèves en difficulté aux niveaux CM-6^ème. Thèse de doctorat d'état. Université Paris 7

12. Rouche, N., (1992). Le sens de la mesure. Bruxelles: Didier HatierBrissiaud, R., Clerc, P., & Ouzoulias, A., (2001). J'apprends les maths, CM1. Livre de l'élève et livre du maître. Paris : Retz.

Textes et ouvrages institutionnels

13. CDIP / SR+TI (1997). Plan d'étude romand de mathématiques. Degrés 1 à 6. Neuchâtel : Institut de recherche et documentation pédagogique.

14. Charnay, R., Combier, G. & Dussuc, M.-P., (2003). Cap Maths, CM1. [Livre de l'élève et livre du maître]. Paris : Hatier.

15. Chastellain, M. & Jacquet, F. / COROME (2001). Mathématiques (5^ème et 6^ème année). [Livre de l'élève, Fichier de l'élève et Livre de Maître] Neuchâtel : Commission romande des moyens d'enseignement (IRDP).

16. Danalet, C., Dumas, J.-P., Studer, C. & Villars-Kneubühler, F. / COROME (1999). Mathématiques (3^ème et 4^ème année primaire). [Livre de l'élève, Fichier de l'élève et Livre de Maître] Neuchâtel : Commission romande des moyens d'enseignement (IRDP).

17. ERMEL / INRP (1997/2001/2005). Apprentissages numériques et résolution de problèmes, CM1. [Livre du maître] Paris : Hatier.

18. Gagnebin, A., Guignard, N. & Jacquet, F. / COROME (1998). Apprentissage et enseignement des mathématiques. Commentaires didactiques sur les Moyens d'Enseignement pour les degrés 1 à 4 de l'école primaire. Neuchâtel : Commission Romande des Moyens d'Enseignement (IRDP).

19. M.E.N. [Ministère français de l'Éducation nationale], (2002a). Qu'apprend-on à l'école élémentaire? Programmes de 2002. Paris : Scéren / CNDP

20. M.E.N. [Ministère français de l'Éducation nationale] (2002b). Mathématiques, Cycle 3. Documents d'application des programmes. Paris : Scéren / CNDP.

     

    Notes :