Maggy Schneider

Professeur

Université de Liège

Belgique

Introduction

Paris, séance préparatoire à la conférence nationale sur l'enseignement des mathématiques à l'école obligatoire, 16 janvier 2012.

Contribution

A vrai dire, mon travail de didacticienne ne m'a pas amenée à approfondir les questions d'apprentissage et d'enseignement spécifiques à l'algèbre. Mais j'ai travaillé des problématiques connexes, soit liées à des apprentissages en aval dans le domaine de l'analyse mathématique au Lycée, soit relatives à des contenus enseignés en parallèle avec l'algèbre, plus particulièrement la géométrie enseignée au Collège, y compris dans sa dimension algébrisée. C'est donc à travers un certain filtre que je parlerai aujourd'hui de l'algèbre au niveau du Collège. J'y ajouterai un regard d'actrice de terrain, ayant participé à des commissions chargées de rédiger des programmes et des référentiels de compétences et ayant exercé jusqu'en 2007 la fonction d'inspectrice et d'animatrice des professeurs de mathématiques des institutions scolaires dirigées par les Jésuites de la Province méridionale de Belgique.

Dans ce dernier contexte, mes observations sur l'enseignement de l'algèbre au Collège m'ont laissée perplexe. J'en garde l'impression globale que l'algèbre est un enjeu de formatage des élèves, sommés de respecter des règles fort peu motivées et donc obligés de manÅ“uvrer à coup d'obligations et d'interdictions. J'en prends pour indicateur le nombre élevé de questions adressées au professeur du type « Peut-on faire ceci ?» ou « Doit-on faire cela ? ». Et le risque que s'installe, chez les élèves, une telle posture vis-à-vis des mathématiques pour le reste de leur scolarité n'est pas négligeable. J'ai vu de telles « connaissances de contrat » à l'Å“uvre également dans des recueils d'exercices dont je vous livre deux exemples assez interpellant : Précise si le résultat du calcul suivant est un périmètre, une aire, un volume ou aucun des trois : 3a + 5a et Simplifie en utilisant toutes les règles algébriques vues : (5 – 2a) 3d (2 – b). J'ajouterai une anecdote qui me paraît significative même si piège il y a. Invités à commenter, sans autre précision, les trois égalités ci-dessous, la quasi totalité des professeurs y repèrent des erreurs classiques d'élèves lorsqu'ils divisent une somme par un même nombre plutôt que d'y voir des égalités ayant, par rapport à la lettre a, des statuts différents d'identité, d'équation sans solution ou d'équation avec solution.

Quant à ce qui se passe au niveau du Lycée, on peut noter le désarroi des élèves qui doivent assumer un certain degré d'incertitude, devant choisir suivant les circonstances une forme factorisée d'une expression algébrique, une qui ne l'est pas et même des formes dans lesquelles des mises en évidence, telles que 2x² – 3x + 1 = x²(2 – 3/x + 1/x²), n'avaient aucunement droit de cité au Collège. J'ai pu également observer, dans le discours des professeurs de Lycée, le peu d'explications qui marquent et motivent cette rupture, comme si l'important était plutôt de remplacer une espèce de formatage par une autre, à savoir le respect inconditionnel d'une démarche canonique pour étudier les variations d'une fonction.

Il s'agit là d'observations « sauvages » qui présentent cependant l'intérêt de corroborer ce que d'autres chercheurs ont pu mettre en évidence. En particulier, des écrits déjà anciens d'Y. Chevallard (1988) me paraissent toujours d'actualité. Ce dernier souligne bien que c'est un changement de contrat qui est une cause majeure d'échec à l'entrée au Lycée et que, si changement de contrat il y a, c'est parce que l'enseignement de l'algèbre au Collège ne procure aucune fonctionnalité à cette discipline : « A l'issue du collège, la manipulation des expressions algébriques n'est tendue vers aucun but extérieur au calcul algébrique, lequel doit trouver en lui-même la source de ses propres exigences. Aussi, les « règles » de cette manipulation sont-elles immotivées, purement formelles, s'exprimant par des consignes elles-mêmes standardisées (développer, factoriser) ». Il n'est d'ailleurs pas certain, en Belgique comme en France, que ce défaut soit complètement corrigé au Lycée tant l'enseignement souffre de ce que Chevallard (op. cit.) appelle la pseudo-algorithmicité : « D'une manière générale, l'enseignement usuel tend à diminuer l'incertitude inhérente à l'activité mathématique en fournissant à l'élève un code de conduite, nulle part explicité comme tel, mais extrêmement prégnant, qui engendre un quasi déterminisme des pratiques mathématiques scolaires, ce que nous nommerons la pseudo-algorithmicité ». Ainsi, quand on a un carré, on s'empresse de le développer que ce soit judicieux ou non de le faire. D'autres chercheurs (Mercier, 1992 et 1995) soulignent l'ampleur du phénomène en mettant en évidence un malaise lié à la validation des règles algébriques qui sont souvent présentées comme des règles de « conformité » dans des versions pouvant différer selon qu'il s'agit de théorèmes « Ã©lèves » (par exemple, Tout terme qui change de membre change de signe) ou de théorèmes « professeurs ». En Belgique, les professeurs du Collège insistent sur la récitation en « mots » des règles, en faisant référence le cas échéant, quoique de plus en plus rarement, aux structures que confèrent certaines propriétés aux ensembles de nombres.

Je reviendrai plus loin sur la difficulté réelle à justifier les règles du calcul algébrique. Mais je souhaite pointer un autre phénomène que j'ai pu souvent observer dans les classes belges, à savoir l'absence de prise de conscience que les expressions algébriques « dénotent », c'est-à-dire qu'elles fournissent une valeur numérique lorsqu'on remplace les lettres contenues dans l'expression par des nombres donnés et que cette valeur fournie ne se modifie pas lorsqu'on transforme ces expressions selon des règles conformes. On a là un point de vue jadis présent dans les manuels, les expressions algébriques y étant spécifiées par des ensembles de nombres représentés par des lettres et des opérations à effectuer sur ceux-ci. Mais aujourd'hui, plusieurs recherches mettent en évidence que, pour certains élèves, les expressions algébriques sont des étiquettes mises sur des objets graphiques ou géométriques et non des contraintes portant sur des coordonnées de points, que ce soit dans le domaine de l'analyse (Schneider, 1988) ou dans celui de la géométrie analytique (Sackur et al., 2005; Lebeau et Schneider, 2010) et que cette conception est le signe d'une ignorance du phénomène de dénotation. Dans de nombreuses recherches, on tente de trouver aux erreurs algébriques habituelles une certaine cohérence en termes de règles implicitement appliquées par les élèves. Personnellement, je pense qu'on peut interpréter toutes ces erreurs en termes de contrat didactique, entre autres par le respect de la complexité ostensive de l'expression initiale (Chevallard, 1992) et qu'il n'y a guère d'intérêt à faire des catégories d'erreurs relevant du « non sens » en regard de ce problème lié à la dénotation. Aussi, dans une étude faite sur les compétences algébriques des élèves belges après 2 ans de collège (Vlassis et Demonty, 2002), ai-je tendance à souligner que le résultat le plus important est que ceux-ci ne savent pas ce que signifie : vérifier que 2 est solution de l'équation 3x – 6 = 0. Et je souscris dans la foulée à la proposition que ces chercheuses étayent sur base de la littérature anglo-saxonne qui consiste à « rendre aux démarches intuitives [de résolution d'équations], une place véritable […] en cessant de présenter les méthodes formelles comme unique méthode de résolution ».

Vers une approche de l'algèbre par ses usages

D'un tel relevé d'écueils relatifs à l'enseignement de l'algèbre, je déduis l'importance de rendre à l'algèbre une certaine fonctionnalité et cela d'entrée de jeu. Les domaines où l'algèbre est utilisée sont multiples : le calcul des grandeurs, la géométrie analytique, l'analyse mathématique sans oublier des domaines plus spécifiques tels que l'algèbre financière ou la programmation linéaire, … Bien sûr, il est plus facile de penser « applications » que « situations d'amorce » à l'algèbre dans chacun de ces domaines. Mais il n'est pas exclu d'imaginer avancer au collège l'étude d'objets que l'on réserve habituellement pour le lycée et le reste de mon exposé ira dans ce sens. J'ai une affection particulière pour la géométrie analytique et l'étude des fonctions. La géométrie analytique offre des occasions privilégiées d'apprendre aux élèves à faire un plan de calcul algébrique. Il suffit de penser à la preuve analytique de la concourance des médianes d'un triangle pour voir que l'on y fait jouer à leurs équations respectives des sorts différents dans un programme finalisé. Mais, la géométrie analytique trouve, en la géométrie vectorielle, une forte concurrente et je ne peux ici argumenter valablement du choix de l'une par rapport à l'autre. Je choisis donc de développer, bien que schématiquement, la piste de la modélisation fonctionnelle sur laquelle, je pense, peuvent se greffer les principales techniques algébriques. C'est une piste que j'ai personnellement travaillé dès le milieu des années 80 dans le cadre d'une commission des programmes ayant observé, dans des manuels de la série School Mathematics Project, qu'il y avait des avancées de ce point de vue très tôt dans le curriculum anglais alors même que l'algèbre y était moins développée. Et, en particulier, j'ai proposé d'introduire les problèmes de suites de nombres figurés qui y étaient présents. Je reviendrai, dans la conclusion, sur les heurs et malheurs de cette proposition, pour décrire ce qu'une recherche récente, co-dirigée par A. Mercier et moi-même, a permis d'en dire. A des élèves de 12 ans, les suites ci-dessous ont été présentées et, pour chacune, ont été posées des questions relatives au nombre d'objets à une étape éloignée et à n'importe quelle étape ainsi qu'une question sur le numéro d'étape à laquelle on a un nombre donné d'objets. S'ensuivait une question globale sur les ressemblances entre suites.

Les expérimentations et l'analyse qui en est faite (Krysinska, Mercier et Schneider, 2009 ; Krysinska & Schneider, 2010) montrent et expliquent les potentialités mais aussi les limites de ce milieu en termes d'instrumentation sémiotique de l'idée de covariation, d'algébrisation ou de pré-algébrisation des programmes de calcul, de références temporelles qui sont un catalyseur tantôt positif, tantôt négatif et de la faisabilité d'un classement que le professeur peut traduire par un paramétrage. Le focus mis sur les suites arithmétiques et géométriques, le dernier exemple ayant le rôle d'intrus, est délibéré : elles sont en effet très facilement identifiables par des élèves de cet âge et se prêtent à une double lecture, itérative et fonctionnelle, ce qui fait que la validation du terme général vient tout simplement de la définition du produit comme addition répétée et de la puissance comme multiplication répétée. L'une de ces suites au moins favorise une pluralité de programmes de calcul. Se pose alors la question de leur équivalence et celle des règles algébriques qui permettent de transformer l'un en l'autre. La dénotation, qui joue déjà un rôle dans l'algébrisation, permet alors d'invalider certaines règles non conformes. En outre, ces programmes de calcul correspondent à différentes stratégies de comptage qui s'adaptent à toute valeur de n. On sait donc qu'ils sont équivalents. Par conséquent, dans le contexte du problème, les règles algébriques mobilisées sont validées comme étant celles qui permettent de passer d'un programme de calcul à un autre dont on sait déjà qu'il est équivalent au premier. Certaines de ces règles peuvent être corroborées par des évidences relatives au calcul de grandeurs. Dans les deux cas, on a une forme de validation pragmatique des règles d'algèbre lesquelles doivent être cohérentes avec les propriétés des objets et leur modélisation algébrique. Ce n'est que dans un second temps que ces règles, une fois acceptées pour les raisons qui viennent d'être décrites, seront les outils de démonstration de l'équivalence de nouveaux programmes de calcul.

Le travail fait sur ces suites en début de collège peut faire l'objet d'une institutionnalisation dans laquelle les mots « fonction », « identité » et « Ã©quation » sont illustrés et contrastés pour la 1ère fois sur base des exemples traités. Les progressions arithmétiques et géométriques et divers modes de reconnaissance trouvent là leur place.

Modélisation par des relations fonctionnelles

Mais intégrer l'algèbre dans un parcours de modélisation fonctionnelle est une entreprise qui doit être pensée sur la globalité du cursus et en articulant toutes les dimensions en jeu. D'abord, l'aspect fonctionnel. Il s'agirait de se focaliser non sur le concept même de fonction, défini en termes de triplets d'ensembles, et tout le vocabulaire associé mais bien sur l'étude des principaux modèles fonctionnels qui servent d'outils dans des applications diverses : étude de tarifs, problèmes de croissance, phénomènes harmoniques… Les fonctions ne seraient donc plus étudiées une par une mais par classes paramétrées, les paramètres étant les degrés de liberté qui permettent l'adaptabilité du modèle aux particularités du problème étudié. Dans cette étude, les fonctions de référence et leurs composées avec certaines affinités sont centrales mais il faut se prémunir d'un enseignement trop exclusivement basé sur les constatations graphiques que les calculatrices permettent aujourd'hui. Des activités d'anticipation s'imposent alors. A ce stade, le discours technologique demeure cependant hybride, loin des théories standard : d'une part, des axiomes graphiques portant sur la représentation des fonctions de base qu'il convient d'étayer de considérations numériques telles que Si un nombre est inférieur à 1, son carré lui est inférieur et, d'autre part, du travail relevant de la géométrie analytique, comme celui-ci qui permet de déterminer la transformation que subit une expression analytique lors d'une translation :

Ensuite, passer des premières suites numériques aux modèles fonctionnels suppose une densification numérique. Celle-ci met en jeu une dialectique particulière entre numérique et algébrique. Par exemple, l'extension à tous les points d'une même droite d'une même relation y = ax ou y = ax + b ou le regroupement de toutes les droites du plan en un seul et même ostensif ax + by + c = 0 imposent des règles relatives aux opérations sur les relatifs que ceux-ci soient des variables ou des paramètres. C'est l'algébrique qui commande ici au numérique puisqu'il s'agit de prolonger un même calcul littéral, des naturels aux relatifs, en définissant en conséquence l'extension des opérations. Un autre exemple est donné par la construction progressive du sens de l'ostensif 2^x pour des x appartenant à des ensembles de plus en plus vastes, dans le souci d'uniformité d'écriture et de permanence d'une régularité : à des abscisses en progression arithmétique correspondent des ordonnées en progression géométrique, ce qui amène jusqu'à l'axiome des intervalles emboîtés et la continuité numérique. Les modèles fonctionnels sont in fine construits comme solutions d'équations fonctionnelles (ici, f(x+y) = f(x)f(y) puis f'(x) = kf(x)) et l'unicité d'une fonction engendrée par des programmes de calcul équivalents est gérée dans ce cadre.

Enfin, dans ce parcours, les fonctions constituent le principal objet d'étude, celle des équations et inéquations y étant subordonnée. Quant aux identités, elles sont d'emblée enseignées dans le but de transformer des expressions analytiques de fonctions pour des besoins particuliers : factoriser pour obtenir les racines,… Les sophistications techniques abordées sont alors délibérément liées au choix des modèles fonctionnels et à la manière de les introduire et l'intérêt de toute tâche ou technique algébrique devrait être jaugée à l'aune d'un tel parcours. Ainsi, je m'interroge sur l'intérêt de l'exercice suivant en dehors de l'étude de la classe des fonctions homographiques pour des raisons diverses que je ne peux développer en l'espace de ces quelques lignes.

Cette piste de la modélisation fonctionnelle telle que je viens de la décrire rejoint le point de vue de Bolea et al. (2001) selon lequel l'algèbre est une organisation mathématique au service des autres. Et en diffère à la fois. Pour ces chercheurs, les organisations mathématiques liées aux programmes de calcul et aux (in)équations du Collège font place à la modélisation fonctionnelle au Lycée. Ici, c'est cette dernière démarche qui pilote l'ensemble et elle est organisée, qui plus est, autour de l'étude de classes de fonctions.

En conclusion

Cette proposition curriculaire a laissé quelques traces timides dans les programmes belges de la fin des années 80. Les problèmes de suites de nombres figurés avaient bien leur place dans une rubrique appelée « activités » mais n'ont jamais donné lieu, que ce soit dans les écrits officiels, dans les manuels ou dans les pratiques enseignantes à des institutionnalisations structurées. Or, il y a ici plusieurs couches d'institutionnalisation, les fonctions, les ensembles de nombres et les techniques algébriques se construisant par enrichissement mutuel et il y aurait lieu de constituer progressivement des cahiers séparés, celui relatif à l'algèbre permettant d'isoler de contextes divers les propriétés d'expressions algébriques et de les organiser en un tout cohérent. A l'époque de la réforme des compétences (qui n'est pas terminée), l'importance des problèmes de suites de nombres figurés a été soulignée, ces problèmes étant jugés protypiques des fameuses tâches complexes et inédites auxquelles il convenait d'entraîner les élèves. On se souciait alors encore moins des modèles fonctionnels mobilisés et de l'ingénosité qu'ils demandaient aux élèves. Et je me suis rendue compte alors que toute institutionnalisation, des suites arithmétiques et géométriques par exemple, était jugée inopportune par les enseignants comme entravant l'exercice de la résolution de problèmes dont elle facilite trop la résolution. C'est que la péjoration dont l'algèbre a souvent pâti aurait bien, dans le contexte scolaire, un parfum d'élitisme. Des propos cités par Chevallard et Bosch dans un article à paraître, tels que Si la solution algébrique est plus rapide que la solution arithmétique, nous ne devons pas oublier que c'est cette dernière surtout qui contribue à développer le raisonnement, illustrent une des raisons de cette péjoration. Et, parce que l'algèbre apporte une réelle économie de pensée, elle ne permet pas toujours de déceler quels sont les élèves suffisamment ingénieux pour s'en passer sauf à compliquer le niveau technique dans le but de créer ce que Mercier (à paraître) appelle le « verrou algébrique » pour l'accès à une orientation scientifique au Lycée. Ce qui est d'ailleurs de l'ordre de l'illusion vu l'existence d'élèves qui rentrent dans le format sans forcément s'impliquer dans une recherche de sens. N'y aurait-il pas lieu plutôt de glorifier l'économie réalisée par l'algèbre en tâchant qu'elle soit organisée comme une conquête de la classe ? Auquel cas, il serait bien légitime que les élèves puissent rentabiliser celle-ci, les autres occasions de rencontrer la complexité étant suffisamment nombreuses en mathématiques.

En bref, je plaide pour un programme d'algèbre dans lequel la technique est au service d'autre chose. Et pour une certaine façon d'envisager la modélisation fonctionnelle qui permet de relativiser l'intérêt de certaines prouesses algébriques. Sans doute faut-il miser sur un temps long pour changer les pratiques enseignantes de ce point de vue mais, après tout, on est bien arrivé à éradiquer les exercices où il fallait rendre logarithmiques certaines expressions algébriques !

Bibliographie

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10. Schneider M. (1988) Des objets mentaux « aire » et « volume » au calcul des primitives. Thèse doctorale, Louvain-la-neuve : Université catholique de Louvain.

11. VLASSIS J. & DEMONTY I. (2002), L'algèbre par des situations-problèmes au début du secondaire. Bruxelles : De Boeck & Larcier.