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Changer le rapport des élèves aux mathématiques en intégrant l'activité de recherche dans les classes

Dernière modification 01/03/2012 10:18

Mots-clefs : Problèmes, didactique, manuels

Denise Grenier
MCF
Université Joseph Fourier / Équipe Combinatoire et Didactique de l'Institut Fourier / Fédération de Recherche « Maths-à-modeler » et I.R.E.M. / Grenoble

 

Nous proposons au débat la question suivante : quelle place pour une activité scientifique dans les classes de mathématiques, permettant de développer chez les élèves des capacités à expérimenter, argumenter, conjecturer, modéliser, définir, prouver ? Et comment enseigner ces savoir-faire ? L'ERTé maths-à-modeler construit, expérimente et analyse depuis de nombreuses années des « Situations de Recherche pour la Classe » (SiRC). Nous donnons quelques exemples de situations construites sur le modèle SiRC, pour lesquelles nous disposons d'analyses a priori fiables, de propositions pour la formation d'enseignants et d'éléments pour leur gestion. Enfin, nous développerons des arguments didactiques pour défendre leur intérêt et leur viabilité en classe à côté des activités classiques d'enseignement. Collège, didactique, psychologie…

Constats, hypothèses et objectifs

L'activité d'un chercheur, c'est, pour une grande part, choisir une question, expérimenter, étudier de cas particuliers, choisir un cadre de résolution, modéliser, énoncer de conjectures, prouver, définir, changer éventuellement la question initiale ... Les savoir-faire associés, que nous qualifierons de transversaux (pour les distinguer des savoirs notionels), sont constitutifs de la démarche scientifique, ils sont nécessaires pour faire des mathématiques et ne peuvent être réduits à des techniques ou à des méthodes. Ils ne peuvent non plus être contraints par le temps (aucun chercheur n'est capable de dire comment et quand il aura résolu le problème sur lequel il travaille).

Il est largement admis dans notre communauté que l’enseignement en France ne prend pas réellement en charge ces savoir-faire. Depuis de nombreuses années, en tant qu'enseignante et didacticienne, j'ai pu vérifier que la plupart des étudiants en sciences (L1, L2, master2 de didactique) et beaucoup d'étudiants en mathématiques (L3, PLC, master1) ne possèdent pas ces savoirs et savoir-faire de base. Leur rapport aux mathématiques est très éloigné de celui du chercheur, comme l'atteste des expressions fréquentes à tous les niveaux d'étude, face à un problème qui leur semble « ouvert », telles cells-ci :

Je ne sais pas résoudre ce problème, je l'ai jamais rencontré

Je ne sais pas faire, je ne connais pas la technique

Le problème est mal posé, on n'a pas toutes les hypothèses

A quel chapitre il se rattache, ce problème ?

Les attitudes correspondantes vont de l'incapacité à initier la résolution ou tenter de se faire une idée du problème (par exemple, en expérimentant, ou étudiant des cas particuliers), jusqu'au refus de s'investir dans le problème (« si je n'y arrive pas en 5 minutes, je n'y arriverais jamais » déclare un enseignant de mathématique !).

On peut donner une explication plausible à ces affirmations et attitudes, qui interpelle le contrat didactique usuel dans tout l'enseignement : la quasi totalité des problèmes que les élèves et étudiants ont à résoudre en classe – et donc que les enseignants font résoudre à leurs élèves - sont rattachés à un chapitre, avec pour objectif essentiel l'application d'un théorème, d'un algorithme ou d'une technique. Et lorsqu'il est demandé de « démontrer que », toutes les hypothèses et seulement celles-ci sont données.

Ces constats nous conduisent à nous interroger sur la capacité des étudiants à résoudre un problème « nouveau », pour lequel on ne dispose pas d'une technique connue et immédiatement disponible et qu'on ne peut « rattacher» à aucun théorème ou cadre théorique connus : autrement dit, sur leur capacité à « faire vraiment des mathématiques ».

Les programmes scolaires en mathématiques à tous les niveaux insistent sur l'importance de l'expérimentation, la découverte et la qualité de l'activité scientifique en classe. Cet objectif des programmes est ambitieux, mais il nécessite à notre avis de mettre en place des organisations mathématiques et didactiques spécifiques.

Nos analyses des manuels scolaires et des pratiques de classe révèlent qu'en fait, les « problèmes pour chercher » sont peu présents. De plus, l'activité expérimentale est de plus en plus souvent confondue avec l'utilisation de tableurs, logiciels (de géométrie dynamique ou de calcul formel), ou l'utilisation de l'ordinateur.

Les réserves ou les craintes exprimées par les enseignants à propos de l'intégration des « problèmes de recherche » en classe sont de différents ordres.

  • Les contraintes institutionnelles : il n'y a pas ni le temps ni la « place » pour laisser les élèves chercher vraiment. C'est bien la question d'une organisation mathématique et didactique spécifique qui se pose ici.

  • La conviction que les problèmes de ce type ne sont pas accessibles aux élèves (quel que soit le niveau !), et ce serait donc du temps perdu pour l'apprentissage. Mais cela dépend de quels apprentissages il s'agit. Là, ce sont les conceptions des enseignants sur ce qu'il est prioritaire d'enseigner et sur les capacités des élèves qui sont en question.

  • L'absence de formation à la gestion de ces situations. Comment contrôler, valider ou invalider, les stratégies et les conjectures différentes qui vont probablement émerger ? Comment aider l'élève pour faire avancer la résolution ? Quel est le critère de fin de la recherche ? Ici, c'est un changement de position de l'enseignant qu'il faut accepter.

Ces craintes s'appuient de plus sur des pratiques didactiques usuelles très éloignées de celles qui permettraient de faire vivre ces situations en classe, en voici deux exemples remarquables.

  • L'interdiction, pour l'élève, de modifier une question, de changer les hypothèses, de choisir le cadre de résolution.

  • La donnée, par certains manuels et enseignants, de « règles de contrat» censées aider l'élève à écrire et contrôler sa démonstration, telles que : « Pour démontrer, on utilisera seulement les données du problème et les propriétés du chapitre » ou « Quand vous faites une démonstration, vérifiez que vous utilisez toutes les hypothèses ».

Ces règles du contrat usuel ont bien sûr leur légitimité dans des moments spécifiques, en particulier celui de l'apprentissage ou du travail d'une technique, ou de l'utilisation spécifique d'un théorème. Cependant, elles vont à notre avis à l'encontre de l'apprentissage de la démarche scientifique et de ce qu'est l'activité mathématique.

Hypothèses et objectifs de nos travaux

Nos travaux dans l'équipe « maths à modeler », depuis de nombreuses années, nous ont permis de mettre au point – construire, expérimenter, analyser - des « situations de recherche pour la classe »1 (SiRC) - c'est-à-dire des problèmes et leur mise en scène - susceptibles de remplir ces objectifs, accessibles dans des contextes institutionnels variés et à différents niveaux scolaires. Certaines d’entre elles présentent la caractéristique originale de pouvoir être dévoluées à l'identique, à des niveaux différents de connaissance.

Caractérisation du modèle SiRC

Dans Grenier et Payan, 2003, nous donnions une caractérisation du modèle SiRC, pour les situer par rapport aux « situations-problèmes » et « problèmes ouverts » que l'on rencontre dans les travaux de didactique. Nous la reprenons ici en la commentant.

- Une SiRC est proche d'une question vive de la recherche mathématique

Cette condition, assez contraignante, a pour but d'éviter que la question ou la réponse semblent évidentes ou familières. L'objectif est de donner une pertinence à l'activité de recherche à tous les niveaux. Cette condition peut être artificiellement recrée par la mise en scène du problème, dans le cas où la question posée est résolue dans le recherche.

- La question initiale est facile d’accès et pertinente à des niveaux différents

Notre intention est de rompre avec la pratique didactique usuelle qui tend à attribuer tout problème à un niveau scolaire précis. Pour remplir cette condition, les énoncés des SiRC sont forcément peu mathématisés, mais nous cherchons à éviter les « bruits » non mathématiques courants dans les problèmes dits de « modélisation », dans laquelle la modélisation n'est aps accessible, ce qui complexifie la tâche pour l'élève et l'empêche parfois de rentrer dans les mathématiques.

- Des stratégies initiales existent, mais elles ne résolvent pas complètement la question

En d'autres termes, il faut assurer la dévolution du problème, tout en laissant une incertitude qui engage dans l'activité de résolution, et ne peut être réduite par la seule application de techniques ou propriétés usuelles connues (c'est ainsi que Brousseau décrit, dans sa théorie, une « bonne » situation). Le cadre théorique de résolution n'est ni donné, ni évident, mais il est possible de s'emparer du problème sans cela.

- Plusieurs avancées dans la résolution sont possibles, par essais-erreurs, étude de cas particuliers, production d'exemples, etc.

Il s'agit de permettre la résolution de cas particuliers et de favoriser la construction par les élèves de conjectures — issues de l'exploration de la question — qui ne seront pas évidemment vraies, mais pourront être examinées au moyen d'exemples et de contre-exemples construits par les élèves eux-mêmes.

- On peut changer les hypothèses, ou la question initiale, et s'emparer d'un nouveau problème

La question initiale peut déboucher sur des questions annexes : fermeture du problème par choix de valeurs de certains paramètres, ou question nouvelle issue de l'activité de recherche.

On s'accordera aisément sur le fait que très peu de problèmes de la recherche mathématique peuvent être transposés ainsi. Le choix des « bonnes » questions de recherche et de leur transposition pertinente en SiRC est une tâche difficile. D'autre part, les savoir-faire transversaux mis en jeu diffèrent et ne sont pas tous présents dans chacune des situations : certaines mettent en jeu plutôt la modélisation, d'autres le processus conjecture-exemples-contre exemples-preuve, d'autres encore la définition d'objets mathématiques.

Analyse didactique d'une SiRC

Au cours des dix dernières années, notre équipe a construit, expérimenté, analysé et mis à l'épreuve un certain nombre de SiRC plus ou moins proches du modèle décrit ci-dessus, mais qui toutes apportent des apprentissages de ces savoir-faire, à des niveaux très variés. Certaines sont maintenant intégrées dans des cursus institutionnels (en seconde, L1-L2 sciences, L3 de maths, cours doctoral maths-info), ce qui nous a obligés à mettre en place une évaluation de ces apprentissages.

L'analyse a priori d'une « situation de recherche pour la classe » consiste, comme pour toute situation (didactique ou a-didactique), à décrire le milieu - ses objets, les actions possibles, les connaissances de base, celles qui sont en jeu, et des éléments de gestion. Dans nos SiRC, il s'agit de décrire les stratgies initiales, expérimentations et modélisations locales possibles, les conjectures qui en découlent (vraies ou fausses), les preuves susceptibles d'être produites.

Les spécificités de cette analyse tiennent d'une part au fait que ce sont les savoirs « transversaux qui sont enjeu d'apprentissage, et non un concept mathématiques strict - même si bien sûr il y en a forcément en jeu dans la situation – et, d'autre part, que la résolution complète du problème n'est pas toujours réalisable.

Une SiRC est caractérisée par des variables (didactiques ou adidactiques), et au moins une variable de recherche, paramètre du problème qui pourrait être une variable didactique (c'est-à-dire à la disposition de l'enseignant), mais qui est laissé à la disposition de l'élève. Les variables de recherche sont constitutives des SiRC, autrement dit une situation pour laquelle on ne peut mettre une variable à la disposition de l'élève n'est pas une SiRC. Cette variable de recherche détermine ce qui, dans la situation, conduit à une activité mathématique, parce que :

  • il y a, à la charge de l'élève, une question et un enjeu de vérité, dont il peut s'emparer mais qui ne sont pas résolubles rapidement,

  • il n'y a pas de « boîte à outils » (théorèmes, propriétés, algorithmes) disponible de manière évidente pour la résolution.

Bien sûr, toute variable du problème ou de la situation ne peut être variable de recherche. Un des objectifs de nos expérimentations est de détreminer les paramètres qui peuvent être laissés à la charge de l'élève.

L'organisation didactique est constitutive d'une SiRC, dans le sens qu'elle jour un rôle primordial dans la réussite de la situation2. Cependant, elle est tout à fait réalisable. Le travail en petits groupes est un moyen d'assurer la dévolution du problème et de favoriser les échanges sur les stratégies et les solutions. Le temps est un élément important. La situation ne sera porteuse d'apprentissages que si elle peut se poursuivre sur plusieurs séances si cela s'avère nécessaire. Il est donc important que chaque groupe tienne un « cahier de recherche », pour faire mémoire de l'état de la résolution d'une séance à l'autre : cas étudiés, conclusions, questions non résolues, nouvelles questions, mais aussi difficultés, pistes abandonnées, etc. La mise en scène du problème (contexte de l'énoncé, matériel pour expérimenter, outils de résolution) est tout aussi importante. Certains de nos SiRC s'appuient entièrement sur des objets manipulables.

La gestion d'une SiRC doit comporter, outre une alternanace de phases collectives de débat et de phases de travail en groupes, un moment d'institutionnalisation des connaissances en jeu. Cette organisation vaut aussi bien en formation d'enseignants qu'avec des élèves en classe.

Plus que l'organisation didactique, c'est plutôt les objets des phases collectives de débat et d'institutionnalisation qui peuvent être ressenties comme sources de difficultés pour l'enseignant, puisque ce sont avant tout les savoirs transversaux. Il s'agit donc de porter l'attention sur les reformulations des déclarations des élèves (hypothèses, propriétés, conjectures), sur les codages ou les modélisations utilisées, sur les exemples et contre-exemples et leur rôle, sur la distinction entre condition nécessaire et condition suffisante, sur la mise au point et l'écriture des preuves.

Des exemples pertinents du primaire à l'université

Pavages de polyminos

Les trois problèmes de la situation ci-dessous constituent une situation fondamentale pour le raisonnement et la preuve. Elle est mise à l'épreuve et utilisée dans différents cursus depuis une dizaine d'années. On en trouve des analyses détaillées dans Grenier et Payan (1998) et Grenier (2006). Chacun des problèmes correspond à des choix de variables et contient un paramètre laissé à la charge de l'élève (variable de recherche).

Problème. Etant donné un carré de taille quelconque avec un « trou » d'une case, pour quelles positions du trou est-il pavable par des dominos ? Le trou peut se situer n'importe où, y compris sur un bord ou un coin du polymino. Voici le dessin pour le polymino de taille 7 et un cas particulier de la position du trou.

 Ce problème ainsi que d'autres problèmes associés sont décrits et étudiés en détail dans Grenier et Payan (1998) et Grenier (2006).

Déplacements sur la grille

Le problème général est l'exploration de déplacements dans le plan discret (ensemble des points du plan à coordonnées entières). Il peut se décomposer en les questions suivantes :

« Étant donné un point A sur le plan discret, et un ensemble de déplacements élémentaires (un déplacement élémentaire est un couple du type (1D, 2B), qui se lit « un à droite et deux en bas »)

- quels sont les points du plan que l'on peut atteindre par des combinaisons entières positives de ces déplacements élémentaires,

- l'un de ces déplacement est-il « redondant » (si on l'enlève de l'ensemble, on atteint les mêmes points)

- quel déplacement faudrait-il rajouter à l'ensemble pour aller partout dans le plan discret ?

La situation s'appuie sur un matériel simple : des feuilles de papier pointé (les points du plan discret sont donnés), on précise la leture du couple donnatn le déplacement élémentaire et ce qu'est leur combinaison (n'utilisant que des additions et multiplications dans N). Cette situation a été étudiée de manière approfondie par Cécile Ouvrier-Buffet dans sa thèse (Ouvrier Buffet 2003). Elle permet de rendre accessible dès le primaire les notions de vecteur, combinaison entière de vecteurs, ensemble générateur, ensemble minimal, vecteur redondant dans un ensemble, par des combinaison de déplacements élémentaires et des recherches de points dans le plan discret. Elle permet aussi de re-questionner, aux niveaux lycée et université, et en formation d'enseignants, les notions de base de l'algèbre linéaire, en relation avec les notions introduites dans le plan discret : dans le plan discret, les ensembles générateurs minimaux n'ont pas tous le même nombre d'éléments (il y a un très beau théorème à la clé), on peut distinguer les trois propriétés libre, générateur et minimal, pour un ensemble de vecteurs.

Cette situation permet également d'explorer le plan discret et le repérage dans un plan.

La chasse à la bête

Cette situation a été inventée et étudiée dans le cadre d'une thèse en mathématiques discrètes (Duchêne, 2006). Elle a été expérimentée cette année dans le cadre d'un mémoire de master 2 (Chassan, 2009), dans des classes de primaire (CE2, CM1 et CM2) et dans un groupe de PE2.

Le problème général est le suivant :

« On se donne un grille rectangulaire (un polymino) qui représente un champ, un ensemble de polyminos plus petits (dominos, ou triminos longs, ou triminos coudés) qui seront des types de bêtes et un ensemble d'uniminos qui seront des pièges. Les ensembles de bêtes et de pièges sont aussi grands que l'on veut. Sachant que les bêtes se posent le long des cases de la grille (et non en travers), pour chaque type de bêtes, quel est le plus petit nombre de pièges qui assure la protection du champ ? »

Le matériel fourni est le même que pour la situation des pavages, et le champ choisi dans cette situation est un carré 5x5.

L'objectif de la situation est d'introduire la notion d'optimisation dans le domaine des entiers, ce qui la sort des cadres habituels3 de l'enseignement et simplifie son approche. Les trois problèmes de la situation sont accessibles dès le primaire et reste pertinents jusqu'à la fin de l'université. La situation est intégrée avec un grand succès (aussi bien du point de vue de la dévolution que du travail mathématique qu'elle provoque) chaque année dans un module optionnel en L1-L2 sciences de l'UJF et dans un module optionnel d'un cours doctoral à l'UCBL. A tous les niveaux, la manipulation matérielle s'avère nécessaire pour faire des conjectures. L'optimum (minimum) cherché est un entier que l'on obtient par des encadrements successifs de plus en plus serrés. Comme on travaille dans les entiers, le nombre d'étapes est fini. G. Chassan a observé, enregistré et analysé la résolution du problème avec les trois types de bêtes, par des PE2. Il a noté en particulier les raisonnements faux débusqués lors des travaux de groupes, puis les apprentissages entre le début et la fin de la situation.

D'autres situations sont proposées et analysées dans des textes (voir références ci-après).

Constats ou résultats généraux sur nos SiRC

Dévolution

Dans nos SiRC, l'intérêt pour la question posée et sa dévolution sont en général immédiats, d'autant plus si les connaissances mathématiques de base sont accessibles à tous. Nous avons pu vérifier le rôle quasi incontournable du matériel et de la phase expérimentale pour la dévolution d'une activité mathématique. Celle-ci est issue de la dialectique entre la manipulation et une réflexion théorique rendue nécessaire du fait que aucune solution n'est évidente et que plusieurs solutions non compatibles peuvent être soutenues.

Gestion

La gestion d'une SiRC est spécifique, en ce sens que l'enseignant n'est pas toujours dans des positions ou des rôles usuels. Cependant, il convient de moduler cette affirmation et de la préciser.

Dans un premier temps, l'enseignant doit pour l'essentiel être observateur, position qui ne lui est pas étrangère dans sa pratique de classe, lors des moments de travail en groupes de type « adidactique » : il doit alors vérifier la dévolution du problème, repérer les stratégies initiales, essais, erreurs des élèves, leurs questions, les pistes abandonnées, les raisonnements divers, les résultats partiels obtenus, qu'ils soient reconnus ou non comme tels etc. Bref, il s'agit de relever les éléments essentiels du débat collectif. Durant cette phase, il doit s'autoriser à répondre à des questions de compréhension du problème, ou intervenir en cas de blocage.

L'alternance de moments d'intervention et de moments « a-didactiques » est sous sa responsabilité.

Les phases collectives doivent porter non seulement sur la résolution du problème mais aussi sur les conjectures, exemples, contre-exemples, démarches, raisonnements qui ont été produits par les élèves. Et mener la discussion jusqu'au bout, ce qui peut prendre un temps assez long. Le sentiment de certains enseignants de ne pouvoir assurer cela tient peut-être à un manque d'habitude.

L'institutionnalisation n'a pas pour objectif de donner les solutions du problème, si celles-ci n'ont pas été produites, mais de mettre au clair le statut des raisonnements qui ont été faits (vrai, faux, CN, CS, CNS, etc), de préciser le stratégies menées, de différencier ce qui a été prouvé de ce qui reste à prouver, de préciser les types de preuve utilisés (absurde, exemple, contre-exemple, exhaustivité des cas, partition, coloration, récurrence, etc..).

Évaluation des apprentissages

A notre avis, l'évaluation de l'apprentissage des savoirs transversaux n'est pas plus difficile que celle des notions mathématiques strictes. Mais il est peut-être moins aisé de se leurrer ! Il n'est pas toujours évident de repérer une erreur dans un raisonnement ou une preuve complexes.

Comme pour toutes les situations expérimentales, on peut raisonnablement évaluer les effets des SiRC que si celles-ci font partie d'une organisation didactique non ponctuelle. C'est le cas depuis des années de certaines d'entre elles, intégrées dans différents cursus universitaires dans lesquels nous enseignons : en particulier, une UE d'ouverture en L1-L2 sciences (sur deux niveaux et toutes filières scientifiques)4, une UE de didactique en L3 de mathématiques à l'UJF et un module optionnel d'un cours doctoral à l'UCBL5. L'évaluation en L1-L2 comprend l'écriture d'un rapport de recherche sur un problème de type SiRC, non traité en classe. Le contrat pour l'étudiant est celui qui donné en début de cet enseignement : c'est la qualité de l'activité mathématique qui est évaluée : statut clair des affirmations, exemples ou cas particuliers traités, conjectures différenciées des hypothèses ou des résultats prouvés, etc.

SiRC et concepts mathématiques

Nos situations ne sont pas conçues pour enseigner un concept mathématique précis, puisque leur objectif premier est l'apprentissage des savoirs constitutifs de l'activité mathématique , la tâche de l'élève étant de résoudre le problème posé.

Chacune de nos situations met en jeu et questionne des notions mathématiques. Mais il est important de ne jamais privilégier a priori un objectif notionnel, le risque étant de tuer l'activité de recherche. D'autre part, il nous semble que les notions ou concepts mathématiques en jeu ne doivent pas être complexes, en tout cas, ils doivent être stables pour les élèves.

En conséquence, nos situations de recherche ne peuvent remplacer une organisation mathématique notionnelle. Cependant, nous pensons que ces SiRC sont nécessaires pour l'apprentissage des savoirs transversaux, elles devraient être intégrées de manière rationnelle à l'enseignement usuel.

 

Bibliographie

  1. Grenier, D. (2008), Expérimentation et preuves en mathématiques, in Didactique, épistémologie et histoire des Sciences, PUF, collection « Sciences, homme et société » (L. Viennot ed).

  2. Grenier D. &Tanguay D. (2008), L'angle dièdre, notion incontournable dans les constructions pratique et théorique des polyèdres réguliers, petit x n°78, ed IREM de Grenoble.

  3. Grenier, D. (2006), Des problèmes de recherche pour l'apprentissage de la modélisation et de la preuve en mathématique. Actes du colloque de l'Association Mathématique du Québec (AMQ), Sherbrooke, juin 2006.

  4. Grenier, D. & Payan, Ch. (2003), Situation de recherche en classe : essai de caractérisation et proposition de modélisation, cahiers du séminaire national de l'ARDM, Paris, 19 Octobre 2002.

  5. Grenier, D. & Payan, Ch. (1998), Spécificités de la preuve et de la modélisation en mathématiques discrètes. Recherches en didactiques des mathématiques, Vol. 18, n°1, pp. 59-99.

Thèses de « maths-à-modeler » intégrant l'étude de SiRC (ordre chronologique)

  1. Julien Rolland (1999), Pertinence des mathématiques discrètes pour l'apprentissage de la modélisation et de l'implication. Thèse de l'Université Joseph Fourier, Grenoble.

  2. Cécile Ouvrier-Buffet (2003), Construction de définitions / construction de concept : vers une situation fondamentale pour la construction de définition en mathématiques. Thèse de l'Université Joseph Fourier, Grenoble.

  3. Virginie Deloustal-Jorrand (2004), Etude épistémologique et didactique de l’implication en mathématique. Thèse de l'Université Joseph Fourier, Grenoble.

  4. Karine Godot (2005), Situations de recherche et jeux mathématiques pour la formation et la vulgarisation. Thèse de l'Université Joseph Fourier, Grenoble.

  5. Caroline Poisard (2005), Ateliers de fabrication et d'étude d'objets mathématiques, le cas des instruments à calculer, Thèse de l'université d'Aix-Marseille 1.

  6. Léa Cartier (2008), Le graphe comme outil de preuve et de modélisation. Étude de l’introduction de la théorie des graphes dans l’enseignement de spécialité de Terminale ES (programmes 2003. Thèse de l'Université Joseph Fourier, Grenoble.

  7. Michèle Gandit (2008), Étude épistémologique et didactique des relations entre argumentation et preuve en mathématiques. Thèse de l'Université Joseph Fourier, Grenoble.

  8. Nicolas Giroud (2011, Le rôle de la démarche expérimentale dans les SiRC. Thèse de l'Université Joseph Fourier, Grenoble.

 

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