Michèle Artigue

Professeur émérite

Université Paris Diderot, LDAR et IREM

Introduction

Les remarques qui suivent s’appuient pour beaucoup sur le travail réalisé sur ce thème par la CREM (Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques), travail que j’ai piloté au sein de la commission. Certes, c’est un travail qui date maintenant de plus de dix ans puisque les différents rapports élaborés ont été publiés dans (Kahane, 2001) mais les réflexions qui y ont été développées n’ont pas pour autant perdu de leur pertinence et elles nous fournissent aussi une grille d’analyse utile pour examiner les évolutions récentes des prescriptions curriculaires dans ce domaine. Par ailleurs, les responsabilités que j’ai assurées depuis 1998 au sein de la Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique (CIEM ou ICMI) m’ont bien montré que les préoccupations concernant l’enseignement du calcul et ses effets sont des préoccupations qui traversent les frontières, qu’elles sont un point de cristallisation des débats autour de l’enseignement des mathématiques, et que les difficultés ressenties à définir des politiques éducatives appropriées se traduisent souvent par des mouvements de balancier particulièrement nocifs pour les systèmes éducatifs concernés.

Très tôt, la CREM a décidé de travailler sur le calcul. Ce choix a été motivé par plusieurs raisons et notamment les suivantes : l’importance du calcul dans les pratiques mathématiques et dans le développement de cette science et l’importance donc que l’enseignement se doit de lui attacher, la vision réductrice du calcul renvoyée par l’enseignement comme par la culture, la nécessité de dépasser les oppositions et dichotomies trompeuses qui imprègnent ces visions et les discours associés. Ceci nous a conduits à mettre notamment l’accent sur :

•  la subtile alchimie que le calcul met en jeu entre automatisation et raisonnement, une alchimie souvent invisible dans les traces du calcul ;

• la double valeur pragmatique et épistémique du calcul, un point particulièrement important pour penser l’enseignement du calcul et le rapport aux outils susceptibles de l’instrumenter ;

• la diversité des formes de calcul et leur complémentarité ;

• les reconstructions nécessaires du rapport au calcul au fur et à mesure que ce dernier investit des champs nouveaux.

   

Le calcul entre automatisation et raisonnement :

Un enfant qui, ayant à calculer, 9+7, commence par ajouter 1 pour arriver à 10 puis ajoute 6 pour obtenir le résultat 16 recherché, raisonne, comme raisonne celui qui, cherchant la valeur de 7x8, se rappelle que 8x8=64 et enlève 8 à ce nombre. Ils mettent en jeu dans leur raisonnement des faits numériques déjà connus et, même si c’est de façon implicite, des propriétés essentielles de l’addition et de la multiplication. Lorsqu’ils auront mémorisé que 9+7=16, que 7x8=56, de tels raisonnements deviendront inutiles, mais le raisonnement continuera à être nécessaire pour mener à bien des calculs plus complexes et pour mettre le calcul au service de la réalisation d’autres tâches, mathématiques ou non mathématiques. De plus, ces raisonnements ou d’autres similaires pourront redevenir nécessaires si les faits numériques concernés sont insuffisamment mobilisés à l’école ou dans la vie sociale. Un élève qui a appris la technique opératoire de l’addition sait qu’il peut l’utiliser pour calculer 998+1205. S’il utilise cette technique, son calcul sera automatisé mais, considérant les nombres en jeu, il peut trouver plus rapide de raisonner ce calcul et se dire que, vu que 998=1000-2, il lui suffit d’ajouter 1000 et enlever 2 au second nombre, pour obtenir le résultat 2203. Je pourrais multiplier les exemples. Le répertoire de faits dont nous disposons, les algorithmes que nous maîtrisons, permettent l’automatisation du calcul. Ils font sa force et son efficacité. Mais le calcul, dès qu’il sort de la routine, engage du raisonnement, contrairement à l’image mécanique que l’on en donne souvent, y compris dans l’enseignement. Il nous a semblé important, dans le rapport, de la CREM, d’insister sur ce point et sur la nécessité de cultiver cette alchimie dès les premiers apprentissages du calcul. En particulier, il est important que la mémorisation nécessaire des faits numériques soit l’occasion d’exercer le raisonnement et de travailler les propriétés des nombres et des opérations qui le fondent. Il me semble également important d’insister que le répertoire ne saurait se limiter à un répertoire de composition, comme on comprend malheureusement souvent l’apprentissage des tables. Les quelques exemples donnés ci-dessus le montrent bien. Il y intervient autant de résultats de décompositions de nombres que de compositions et si l’égalité 9+7=16 n’est pas associée à 16=7+9, à 16-7=9 et 16-9=7, elle sera d’une utilité limitée pour le calcul.

La double valence épistémique et pragmatique des techniques de calcul :

On engage un calcul pour obtenir des résultats et on juge une technique de calcul à la mesure de son efficacité, avec les différents critères qu’une évaluation de cette efficacité peut faire intervenir. Ceci représente la valence pragmatique de la technique. Mais l’apport d’une technique de calcul ne se réduit pas à cela. Sa mise au point et souvent même le fil de son exécution sont source de connaissance sur les objets qu’elle engage et leurs propriétés. C’est la valence épistémique de la technique. La prise en compte de ces deux valences peut éclairer les débats autour de l’apprentissage des techniques opératoires à l’école élémentaire. Une maîtrise solide des techniques opératoires pour les quatre opérations a été pendant longtemps une condition sine qua non de l’efficacité pragmatique du calcul. Elle l’est de moins en moins aujourd’hui du fait des avancées technologiques et de l’évolution associée des pratiques de calcul, tant scientifiques que sociales. C’est vrai en particulier pour la technique opératoire de la division autour de l’apprentissage de laquelle se cristallisent souvent les débats sur ce thème. Mais la raison d’être de l’apprentissage scolaire d’une technique opératoire ne se limite pas à sa valence pragmatique, elle tient aussi à sa valence épistémique. La mise en place des techniques opératoires usuelles d’addition et de soustraction soutient ainsi l’apprentissage essentiel de la numération, celle de la multiplication, qu’il s’agisse de la technique usuelle ou de la technique per gelosia, fait travailler numération et distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, et celle de la division mobilise un ensemble complexe de propriétés. Au-delà de l’usage, cette valence épistémique contribue à légitimer leur enseignement. Se pose cependant la question du degré souhaitable aujourd’hui « d’achèvement » et de routinisation de ces techniques, de la taille des nombres concernés, surtout quand ceci, comme c’est le cas notamment pour la technique complexe de la division, s’avère coûteux, consommateur d’un temps important d’enseignement, un temps qui est compté et qu’il faut savoir utiliser le plus efficacement possible. Dans les choix à effectuer, on ne peut alors faire abstraction de l’évolution des pratiques sociales de calcul. Dans les débats concernant l’enseignement des techniques opératoires, une des difficultés rencontrées est que les problèmes sont très souvent mal posés, les oppositions exacerbées, alors que la question est une question d’équilibre à trouver pour exploiter au mieux la valence épistémique de ces techniques tout en soutenant le développement des pratiques de calcul qui répondent aux besoins actuels du calcul et dont l’utilité ne soit pas limitée à la seule institution scolaire.

Par ailleurs, comme je l’ai développé dans (Artigue, 2002), cette distinction entre valence épistémique et pragmatique, est aussi utile pour penser l’utilisation des outils technologiques de calcul. Trop souvent, les potentialités épistémiques de ces outils sont peu exploitées dans l’enseignement, conduisant à des déséquilibres entre valences pragmatiques et épistémiques, peu productifs en termes d’apprentissage et conduisant à questionner leur légitimité didactique. Différentes recherches ont mis en évidence ce potentiel épistémique mais elles montrent aussi qu’il ne peut être réalisé par simple adaptation à l’univers technologique des tâches usuelles de l’enseignement papier-crayon.

La diversité des formes de calcul et leur complémentarité :

Dans le rapport de la CREM, nous avons insisté aussi sur la diversité des formes de calcul et sur leur complémentarité, ainsi que sur l’importance du travail sur les ordres de grandeur, déclinant ses formes et apports possibles au fil de la scolarité. Dans ces remarques qui visent d’abord l’enseignement élémentaire, je voudrais insister sur l’importance du calcul mental. Cette importance est d’abord épistémique car le calcul mental est un moyen privilégié de lier calcul et apprentissages numériques, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations (cf. par exemple : [3] Butlen, 2007), en mettant en évidence la diversité des façons possibles d’aborder généralement un calcul, en invitant à comparer leurs coûts, les connaissances qui les fondent. Bien sûr, il s’agit là d’un calcul mental qui ne se borne pas à reproduire mentalement l’exécution des techniques de calcul posé. Mais cette importance est aussi pratique. Des outils de calcul sont aujourd’hui à la portée de tous dans la vie quotidienne, grâce aux calculatrices, téléphones portables et autres technologies. Mais pour être non complètement dépendants de ces outils, pour contrôler la plausibilité de ce qu’ils produisent, le calcul mental nous est particulièrement utile (car il est le seul immédiatement disponible sans recours à un quelconque artefact), un calcul mental exact ou approché. Car très souvent, dans la vie quotidienne, ce qui est réellement important, c’est d’être capable d’évaluer mentalement l’ordre de grandeur du résultat du calcul. L’enseignement, traditionnellement, privilégie le calcul exact, faisant du calcul approché une chose à laquelle on se résout quand le calcul exact est inaccessible ou vraiment trop coûteux. Ceci ne reflète pas le rôle que joue le calcul approché en mathématiques ou dans la vie sociale. Il est important, me semble-t-il, de penser de façon plus équilibrée le rôle des différentes formes de calcul, en liaison avec l’usage des outils technologiques.

Les reconstructions nécessaires du rapport au calcul au fur et à mesure que ce dernier investit des champs nouveaux :

Nous avons aussi souligné dans le rapport de la CREM que le calcul se différencie non seulement en calcul mental, exact, approché, il se différencie aussi suivant les domaines sur lesquels il porte. Chaque extension du calcul à un nouveau domaine nous demande de reconstruire partiellement notre rapport au calcul. A l’école élémentaire et au collège, les élèves sont déjà confrontés à deux de ces extensions : le passage d’un calcul sur les entiers à un calcul englobant les décimaux, le passage ensuite du calcul numérique au calcul algébrique. Je me limiterai ici au premier, abordant le second dans une contribution plus générale sur l’enseignement de l’algèbre. Comme souligné dans le rapport : « Longtemps, l’enseignement a été peu sensible aux difficultés posées par la première extension en mettant l’accent sur la continuité du calcul : ainsi l’élève apprenait que, sachant déjà calculer avec des nombres entiers, il n’avait que peu à apprendre pour calculer avec des nombres décimaux, il lui suffisait d’apprendre où placer la virgule ! Divers travaux de recherche ont bien montré les difficultés résistantes de calcul que de telles stratégies d’enseignement favorisaient, contrairement à ce qui était attendu. Les élèves notamment avaient tendance à considérer un décimal comme deux entiers séparés par une virgule et à investir cette conception dans leurs calculs (ex : 3,12=9,1 ou 3,10>3,2). ». Ces effets sont aujourd’hui bien connus mais, comme le souligne aussi le rapport : « Quelles que soient les stratégies d’enseignement choisies, on ne peut s’attendre à ce que le passage d’un calcul sur les entiers à un calcul sur les décimaux et rationnels se fasse sans difficulté. Ces difficultés sont en partie liées au fait que les élèves se construisent, à travers leur pratique du calcul sur les entiers, un certain nombre de connaissances implicites, de théorèmes en acte, selon la terminologie introduite par G. Vergnaud, sur les nombres et les opérations, qu’ils généralisent tout naturellement aux nouveaux objets qu’ils intègrent au champ des nombres. Ces connaissances servent en particulier pour piloter un calcul, anticiper des résultats possibles, contrôler ce qui est obtenu. Ainsi n’y-a-t-il rien d’étonnant à ce qu’un élève pense s’être trompé si, multipliant un nombre par un nombre plus petit que 1, il trouve un nombre plus petit, ou si faisant une division, il obtient un nombre plus grand que le nombre de départ. L’enseignement se doit d’être sensible aux difficultés inhérentes aux reconstructions nécessaires et à la résistance normale de conceptions et connaissances locales qui, pendant des années, ont été pertinentes et utiles. »

Dans la culture, le calcul en mathématiques est souvent vu comme une activité purement mécanique, on oppose calcul et raisonnement. J’ai insisté plus haut sur l’alchimie que met en Å“uvre entre automatisation et raisonnement tout calcul qui n’est pas simple routine. Dans le rapport de la CREM, nous avons ainsi insisté sur l’intelligence du calcul. Cette intelligence est à l’Å“uvre dans le choix d’un type de calcul en fonction du problème à résoudre, dans les choix de représentation pour les objets qu’il met en jeu, dans son organisation, dans les processus d’anticipation et de contrôle qui en permettent le pilotage efficace. Elle peut s’exercer, sous des formes adaptées, dès les premiers contacts avec le monde du calcul, les travaux de recherche didactique, ceux de la COPIRELEM en fournissent de multiples exemples. Mais cette intelligence, pour pouvoir se développer, nécessite que se construise progressivement un répertoire de résultats, de formes, de techniques, de situations, en exploitant les potentialités offertes par le calcul mental ou réfléchi, par les calculs d’estimation, par la mise en place des algorithmes de calcul, leur raffinement, leur adaptation, par la planification requise par des calculs plus complexes. Elle nécessite aussi que s’établissent des équilibres satisfaisants entre automatisation et flexibilité du calcul. L’article joint élaboré pour une université d’été de formation de formateurs de Saint Flour développe ces idées en les illustrant par des exemples à différents niveaux de scolarité.

Les nombreux travaux cités dans le rapport de la CREM montrent que nous disposions déjà au début des années 2000 de ressources substantielles pour penser l’enseignement du calcul. Ces ressources se sont enrichies au cours de la dernière décennie, en France comme au niveau international (cf. par exemple : [5] Lester, 2007, pour une vision synthétique). Mais si les ressources existent, il est illusoire de penser que leur mise à la disposition des enseignants suffira à améliorer substantiellement et durablement l’enseignement du calcul. Pour obtenir de tels changements, il faut une formation solide des enseignants dans ce domaine. S’agissant de l’école élémentaire en particulier dont les enseignants ne sont que très minoritairement de formation scientifique, il faut une formation qui assure aux enseignants eux-mêmes un rapport approprié au calcul et une compréhension des jeux qui s’y nouent entre automatisation et raisonnement, pour qu’ils puissent soutenir et guider les apprentissages de leurs élèves. Il semble que nous en soyons loin aujourd’hui.

Bibliographie

1. Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: the genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematics Learning, n°7,245-274.

2. Artigue, M. (2004). L’enseignement du calcul aujourd’hui : problèmes, défis et perspectives. Repères IREM, n° 54, 23-39.

3. Butlen, D. (2007). Le calcul mental entre sens et technique. Presses universitaires de Franche-Comté.

4. Kahane, J.P. (coord.) (2001). L’enseignement des sciences mathématiques. Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques. Editions Odile Jacob.

5. Lester, F. (2007). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. NCTM. Information Age Publishing.