Michèle Artigue
Professeur émérite
Université Paris Diderot, LDAR et IREM

Introduction

Dans ce texte qui correspond à la présentation que j’ai faite sur ce thème à la réunion du 16 janvier du comité scientifique de la conférence nationale sur l’enseignement des mathématiques, j’essaie d’abord de contribuer à l’état des lieux concernant la recherche didactique dans ce domaine en mettant notamment l’accent sur certaines évolutions des perspectives de recherche qui me semblent importantes pour penser l’entrée aujourd’hui dans le monde algébrique. Je m’appuie pour cela sur un certain nombre de travaux de synthèse et notamment l’étude menée sur ce thème par l’ICMI, la commission internationale de l’enseignement mathématique, dont les résultats ont été publiés en 2004 (Stacey, Chick & Kendal, 2004). J’insiste aussi sur la diversité des stratégies curriculaires qui existent aujourd’hui pour l’entrée dans l’algèbre au niveau international pour situer les choix curriculaires français dans un contexte élargi, et j’essaie enfin de tirer de ces travaux et constats quelques leçons pour penser l’enseignement de l’algèbre en France dans la scolarité obligatoire, en étant particulièrement attentive à la viabilité des propositions qui peuvent être faites.

Les recherches en didactique de l’algèbre

L’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre est une question qui a préoccupé les didacticiens depuis l’émergence de ce champ de recherche. Il y a à cela une raison évidente, le fait que l’entrée dans l’algèbre a constitué traditionnellement, pour beaucoup d’élèves, un moment de rupture, un moment où l’activité mathématique cessait de faire sens, tendait à se réduire à un jeu formel basé sur des règles dont ils ne comprenaient pas les raisons d’être. Le sens de l’algèbre disparaissait derrière l’apprentissage d’un nouveau calcul : le calcul littéral, souvent conçu comme un préalable à l’activité algébrique, ses tâches spécifiques (développer, simplifier, factoriser) et ses techniques. La recherche, interpellée par cet échec, a essayé d’en comprendre les sources et les mécanismes, de démêler ce qui relevait de difficultés cognitives ou épistémologiques, liées à la nature même de ce domaine mathématiques, de ce qui relevait de choix curriculaires et de pratiques d’enseignement. Elle a aussi cherché à comprendre comment ces différentes sources de difficultés interagissaient au sein des systèmes didactiques.

Elle l’a fait, en croisant de multiples entrées, comme le reflète bien l’étude ICMI citée plus haut. Les approches historiques et épistémologiques ont permis de baliser le développement de ce domaine dans différentes cultures, d’identifier les étapes clefs et les obstacles épistémologiques progressivement surmontés. Elles ont aussi permis de comprendre que le symbolisme algébrique qui nous est familier aujourd’hui résulte d’une longue et patiente conquête. Les approches cognitives, très dominantes dans les débuts de cette recherche comme c’est souvent le cas en didactique quand débute l’étude d’un domaine, se sont centrées sur l’identification précise des difficultés des élèves et la recherche de cohérences susceptibles d’expliquer les erreurs particulièrement résistantes. Très tôt, et notamment en France, certains travaux ont aussi adopté une entrée systémique, cherchant à comprendre les conditions et contraintes de l’enseignement de l’algèbre. Les articles très souvent cités de Chevallard (1984, 1989, 1990) en sont un exemple pionnier. Au fur et à mesure que se produisaient les avancées technologiques, la recherche a également essayé de tirer parti de l’évolution des moyens à la disposition de l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre qui en résultait. Cette recherche s’est accompagnée de nombreuses réalisations didactiques dans les classes, qu’il s’agisse d’ingénieries didactiques développées pour ses besoins ou de projets d’enseignement cherchant à en exploiter les résultats. Enfin, de façon croissante depuis deux décennies au moins, la recherche s’est intéressée aux enseignants, à leurs représentations de l’algèbre et de son enseignement, à leurs connaissances algébriques, aux formations qui leur étaient dispensées et à leurs effets, à la façon dont se développaient leurs compétences professionnelles dans ce domaine. Elle l’a fait à l’aide de questionnaires, d’entretiens, d’observations naturalistes de classe, mais aussi de plus en plus, au sein de communautés de recherche intégrant enseignants et chercheurs (Jaworski, 2003). Précisons pour terminer ce panorama général des recherches didactiques en algèbre, que la recherche, si elle s’est beaucoup concentrée sur l’entrée dans le monde algébrique, a néanmoins concerné tous les niveaux d’enseignement jusqu’à celui des structures algébriques à l’université (cf. par exemple les nombreux travaux concernant l’algèbre linéaire). Les travaux menés sur l’algèbre au sein de mon laboratoire, les thèses qui y ont été soutenues, illustrent parfaitement cette diversité des approches et leur complémentarité : toutes ces dimensions y sont représentées.

Ces travaux ont donné lieu à un nombre impressionnant de publications de recherche (articles, ouvrages, rapports), de réalisations technologiques et de ressources pour l’enseignement. Des ouvrages de synthèse en favorisent l’accès. S’agissant de synthèses internationales, outre l’étude ICMI déjà citée, je mentionnerai par exemple l’ouvrage coordonné par Bednarz, Kieran et Lee (1996) cité en référence, et les deux chapitres dédiés à l’algèbre dans le Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (Lester, 2007), le premier écrit par Carraher et Schliemann étant dédié à ce que l’on appelle « Early Algebra » et couvrant les premières années de la scolarité, le second écrit par Kieran concernant l’enseignement secondaire. Il s’agit là d’une littérature en langue anglaise mais on dispose aussi de nombreux écrits en langue française : productions des IREM et de l’INRP, articles publiés dans les revues Petit x et Repères IREM, dans la revue Recherches en didactique des mathématiques. Précisons que cette revue va d’ailleurs publier incessamment un numéro spécial concerné à ce domaine coordonné par Coulange et Drouhard (2012). Il n’est pas question d’essayer en quelques minutes de faire une synthèse des résultats obtenus. Comme annoncé, je vais me centrer sur quelques évolutions qui me semblent importantes s’agissant notamment de l’enseignement jusqu’à la fin du collège. 

Quelques évolutions importantes

Comme je l’ai souligné plus haut, dans ses débuts, la recherche en didactique de l’algèbre a mis tout particulièrement l’accent initial sur l’identification et la compréhension des difficultés des élèves, essayant de comprendre pourquoi l’apprentissage de ce domaine était si problématique. Ces travaux ont conduit à mettre en évidence des discontinuités et fausse-continuités entre arithmétique et algèbre. Elles concernaient notamment l’usage des lettres, essentiel en algèbre. Les lettres existent déjà en arithmétique, utilisées pour désigner des objets ou coder des unités, mais elles n’y représentent pas des nombres et ne sont pas engagées à ce titre dans des calculs. Par exemple, il est fréquent d’écrire pour exprimer des conversions entre monnaies que 1 €=k$, k le taux de change entre euro et dollar étant ce jour par exemple égal à 1,30226. Les symboles € et $ sont ici des symboles d’unités, mais si l’on veut passer d’une somme S exprimée en euros à son correspondant S’ exprimé en dollars, on devra écrire S’=kS et non S=kS’. De nombreuses erreurs d’élèves, par exemple celle classique consistant à exprimer, en utilisant pour E le nombre d’élèves et P le nombre de professeurs dans un établissement, qu’il y a 6 fois plus d’élèves que de professeurs par 6E=P au lieu de 6P=E, est souvent interprétée par les chercheurs comme le signe de la difficulté à passer d’une lettre désignant un objet à une lettre désignant un nombre, une difficulté dont la trace historique est bien attestée (cf. par exemple (Serfati, 2005)). Ceci a conduit à distinguer différents sens pour les lettres : étiquette, inconnue, nombre générique, variable, indéterminée, paramètre, et à étudier les difficultés rencontrées par les élèves à naviguer entre ces différents sens. Un autre point de rupture identifié dans les recherches est celui concernant le signe d’égalité. Les travaux de recherche ont montré que les pratiques arithmétiques usuelles mobilisaient dans les classes le signe d’égalité avec un sens de production : à gauche de l’égalité, un calcul, à droite, le résultat de ce calcul, tandis que les techniques de calcul algébrique ne peuvent prendre sens que si le signe d’égalité est vu comme un symbole d’équivalence. Et, encore une fois, ceci a été mis en relation avec les difficultés résistantes éprouvées par certains élèves à rentrer dans le jeu du calcul algébrique, un jeu où l’on pilote le calcul en fonction du but poursuivi en navigant entre expressions équivalentes. Les recherches ont aussi mis l’accent sur les différences existant dans la formation et le traitement des expressions, au-delà de la seule introduction des lettres, la nécessaire lecture par blocs qui s’impose en algèbre, les implicites qui apparaissent dans l’écriture (implicite du signe x entre deux facteurs, implicite du facteur 1 par exemple), le fait que la terminaison d’un calcul algébrique peut être une expression comportant encore des signes opératoires. Enfin, les recherches ont mis en évidence le renversement des démarches de résolution en jeu dans la résolution algébrique de problèmes, en particulier de problèmes conduisant à des équations, la nécessité d’entrer dans une démarche où l’on ne procède pas du connu vers l’inconnu, la nécessité de s’affranchir du contrôle par le sens externe des transformations et calculs effectués au profit d’un contrôle syntaxique et d’un contrôle par la sémantique interne des expressions. Ces résultats de la recherche, consolidés par des travaux convergents menés dans de nombreux pays, sont aujourd’hui bien connus. Ils ont été source de réalisations didactiques diverses et souvent fructueuses, au moins en environnement expérimental, visant d’une part, en formation, à sensibiliser les enseignants à ces discontinuités, d’autre part, à construire des séquences didactiques pour les classes, mettant sciemment l’accent sur les ruptures et permettant aux élèves de les affronter. Cependant, on peut se demander si un tel accent mis sur les discontinuités est pleinement justifié, et s’interroger sur la part respective de discontinuités due à des différences fondamentales entre les champs de l’arithmétique et de l’algèbre, et de discontinuités dues à des pratiques d’enseignement inappropriées tant du côté de l’arithmétique que de l’algèbre. Pour y voir plus clair, il faut élargir le regard, tant sur le plan épistémologique que didactique.

La recherche didactique qui s’est développée s’est également préoccupée des fonctionnalités de l’algèbre en s’appuyant notamment sur la diversité des routes utilisées suivant les cultures pour organiser l’entrée des élèves dans ce champ. Comme l’a bien montré initialement l’enquête menée par Sutherland (2000) et le prolongement de cette enquête réalisé dans le cadre de l’étude ICMI, co-existent en effet différentes voies d’entrée dans l’algèbre qui expriment la diversité des fonctionnalités de l’algèbre. Historiquement, l’algèbre apparaît comme une science des équations, l’algèbre moderne qui s’est développée au vingtième siècle est une science des structures. Mais l’algèbre est aussi le langage par lequel s’expriment de façon privilégiée les rapports entre mathématiques et autres domaines scientifiques, le langage de la modélisation mathématique, et il est aussi le langage de la généralisation, celui dans lequel s’expriment les propriétés des opérations et les régularités de l’arithmétique. Comme le souligne le mathématicien Howe par exemple, cité dans (Carraher & Schliemann, 2007), il y a de ce fait une continuité entre arithmétique et algèbre. Cette diversité des fonctions de l’algèbre se retrouve dans les choix curriculaires. Dans certains pays, c’est la voie historique des équations associée à la démarche analytique cartésienne qui est choisie, dans d’autres, notamment de culture anglo-saxone, c’est la voie de la reconnaissance de structures et de la généralisation qui est choisie. Il ne s’agit pas d’enseigner les structures algébriques mais de repérer ce que l’on appelle des « patterns » dans des suites de nombres, dans des configurations géométriques, de les exprimer algébriquement et d’utiliser cette expression algébrique pour les étudier, les caractériser, les comparer. Dans d’autres pays, c’est la voie de la modélisation qui est choisie, souvent en lien avec des situations extra-mathématiques. A cette diversité d’entrées s’ajoute la façon dont s’organise la mise en place du symbolisme algébrique, les techniques de calcul associées, comme une propédeutique à une algèbre à venir, ou de façon étroitement imbriquée à son enseignement et aux besoins qu’il fait naître, et le degré d’attention porté à la progressivité nécessaire de cette mise en place.

Revenant aux difficultés de l’entrée dans le monde algébrique, il semble bien que ces différentes voies ne soient pas équivalentes, qu’elles ne posent pas dans les mêmes termes les rapports entre arithmétique et algèbre. Une approche par les patterns et la généralisation par exemple, conduisant à des formules et à leur exploitation, ou à des programmes de calcul, est une approche dans laquelle la pensée algébrique étend la pensée arithmétique, mais ne s’y oppose pas. C’est aussi le cas dans de nombreuses pratiques de modélisation conduisant à des formules et des fonctions. Contrairement à cela, une entrée par la mise en équations nécessite bien une rupture de pensée. Et si elle se cumule avec une entrée tardive donc plus brutale dans le symbolisme algébrique, ou un développement du calcul littéral comme une propédeutique à l’algèbre dont les finalités et fonctionnalités ne sont pas accessibles à l’élève, on accumule les obstacles, faisant de ce domaine un domaine inaccessible à beaucoup.

Les travaux qui se sont développés ces dernières années dans ce que l’on appelle le champ de « l’early algebra » ou « algèbre précoce » tendent à confirmer ceci. Au-delà du chapitre de handbook cité plus haut, l’ouvrage coordonné par Cai et Knuth et publié en 2011, en donne une vision détaillée. Ces travaux, contrairement à ceux qui ont marqué les débuts de la recherche en didactique de l’algèbre, mettent l’accent sur les potentialités des jeunes élèves, dès les premières années de scolarité, leur capacité à entrer dans des modes de pensée algébriques : envisager des généralisations, soutenir ces généralisations par des représentations symboliques et développer un certain calcul sur ces représentations, à condition bien sûr que des stratégies didactiques appropriées soient mises en place. Les stratégies qui ont été construites et expérimentées, le plus souvent à petite échelle et en contact étroit avec la recherche, mettent l’accent sur les interactions possibles entre l’enseignement de l’arithmétique et de l’algèbre. Elles voient dans l’algèbre précoce un appui au développement des connaissances et compétences numériques. Je ne rentrerai pas ici dans plus de détails, renvoyant le lecteur aux ouvrages cités ou à l’article de Carraher, Schliemann et Brizuela à paraître dans le numéro spécial de la revue Recherches en didactique des mathématiques déjà cité. Dans certaines stratégies, l’accent est mis sur la généralisation de propriétés des nombres et des opérations (par exemple la généralisation de faits numériques comme 5+12-5=12) et l’utilisation de ce que les chercheurs concernés appellent des quasi-variables (des nombres qui ont un rôle générique) en préalable à l’usage de lettres. Dans d’autres stratégies, inspirées des travaux de Davidov, par exemple le « Measure-up Project » cité dans le Handbook, c’est un calcul sur les grandeurs qui est développé dès le début de la scolarité donnant lieu à des raisonnements portant sur égalités et inégalités, compositions et décompositions, s’appuyant là-encore sur un symbolisme progressivement introduit. Dans d’autres cas, c’est la voie des patterns et des fonctions mentionnée plus haut qui est adaptée à ces jeunes élèves avec une entrée très progressive dans le symbolisme. Mais, comme le soulignent aussi généralement les auteurs, si ces travaux montrent des potentialités réelles des élèves, il reste beaucoup à faire pour développer des stratégies didactiques robustes pouvant fonctionner hors du contrôle de la recherche. 

Technologie et enseignement de l’algèbre

J’ai mentionné plus haut que la recherche didactique a sérieusement investi dans l’étude des potentialités offertes pour l’enseignement de l’algèbre par les avancées technologiques. On peut distinguer plusieurs pistes et notamment :

• La piste tableur : cette piste a été une des premières explorées (cf. par exemple, en France, la thèse de Bernard Capponi (1988)). Les travaux ont été très nombreux. Ils ont montré que le tableur atténuait les discontinuités entre arithmétique et algèbre en permettant de faire vivre un monde intermédiaire, arithmétique par les modes de pensée et de résolution de problèmes, algébrique par l’organisation de la feuille de calcul et la symbolisation. Dans divers projets expérimentaux, le tableur a été utilisé avec succès pour l’entrée dans l’algèbre. La thèse d’Haspekian a cependant montré qu’une entrée simultanée dans le tableur et dans l’algèbre n’allait pas de soi lorsque l’on se plaçait dans les conditions ordinaires d’enseignement au collège en France. Et, tout en confirmant certains résultats des recherches, elle a mis en évidence la complexité des notions de variable et de formule dans le tableur, ainsi que la sous-estimation de cette complexité et plus généralement des besoins des genèses instrumentales dans les ressources proposées aux enseignants.

• La piste des interactions entre représentations : cette piste a été exploitée notamment en liaison avec le travail sur les fonctions et la modélisation fonctionnelle dès le développement des interfaces graphiques. Pour les débuts dans l’algèbre, elle a été particulièrement associée aux approches en termes de patterns et de modélisation. Le développement de calculatrices dotées de logiciels de calcul formel a permis d’enrichir ces interactions en y intégrant le registre symbolique algébrique mais avec des exploitations surtout au niveau lycée.

• Considérant le faible usage des outils de calcul formel aux niveaux d’enseignements concernés par cette conférence, même s’ils ont montré des potentialités certaines par exemple pour donner sens à l’équivalence algébrique, je n’insisterai pas plus ici sur les potentialités de cette technologie. Je voudrais cependant ajouter que les logiciels de calcul formel ont, plus que les autres technologies, conduit à questionner l’enseignement de l’algèbre car, contrairement aux tableurs et aux logiciels graphiques, ils prenaient en charge le cÅ“ur de l’activité traditionnelle des élèves en algèbre : factorisations, développements, simplifications, résolution d’équations. L’approche instrumentale qui a été initiée en France (Artigue, 2002) mais s’est ensuite développée internationalement a conduit alors à repenser les rapports entre activité technique et activité conceptuelle dans ces environnements, et à souligner la nécessité de renforcer, par des tâches appropriées, le potentiel épistémique des techniques instrumentées si l’on voulait leur assurer une légitimité didactique. Ceci a rejailli de façon plus générale sur la didactique de l’algèbre, en promouvant une vision plus dialectique des rapports entre travail technique et conceptuel en algèbre, comme le montre l’étude ICMI.

• La piste de « l’embodiement » : cette piste exploite les possibilités offertes par l’exploration de dispositifs physiques reliés à des ordinateurs pour développer une approche expérimentale des notions mathématiques, par exemple celles de vitesse et d’accélération. L’algèbre y intervient comme langage de modélisation de situations extra-mathématiques (cf. par exemple (Nemirovski & Borba, 2004).

• La piste de l’équivalence algébrique : c’est celle qui fonde par exemple le développement poursuivi depuis de nombreuses années du logiciel Aplusix1.

• La piste du diagnostic et de la remédiation : c’est la piste qui a été notamment développée en France à partir de l’outil de diagnostic des compétences des élèves en algèbre élémentaire développé par Grugeon dans sa thèse (Grugeon, 1995) dans les projets Pepite et Lingot2 (Delozanne & al., 2010), et maintenant dans le projet Pepimep qui vise à associer au diagnostic automatisé, des parcours différenciés en fonction des profils d’élèves. 

Quelles leçons tirer de cet ensemble de travaux ?

Les travaux existants en didactique de l’algèbre fournissent donc aujourd’hui des éléments substantiels pour penser l’enseignement de l’algèbre et rompre avec l’image d’un domaine formel où les mathématiques cessent de faire sens. J’insisterai ici sur quelques points clefs s’agissant de la problématique de cette conférence :

D’abord le fait que s’il existe des difficultés à l’apprentissage de ce domaine, elles sont fortement renforcées par les choix curriculaires et les pratiques d’enseignement. On peut par exemple penser que des discontinuités entre arithmétique et algèbre comme celle concernant le sens de l’égalité sont largement créées par les pratiques d’enseignement car rien n’interdit mathématiquement que le signe d’égalité puisse vivre en arithmétique avec un sens d’équivalence. Comme je l’ai souligné dans les remarques concernant l’enseignement du calcul, décompositions et compositions des nombres sont toutes deux nécessaires à l’exercice du calcul, à la mise en place des rapports adéquats entre automatisation et raisonnement que nécessite un calcul efficace. Et, sans se lancer dans un enseignement précoce de l’algèbre auquel notre système éducatif n’est pas du tout préparé, il serait important de pointer les différentes occasions que l’on a, dès l’école élémentaire, dans le cadre des programmes actuels, de cultiver les continuités entre arithmétique et algèbre, de souligner notamment l’intérêt pour servir ces continuités du travail sur les formules, du repérage de régularités numériques avec des codages adaptés, tout ceci permettant une entrée fonctionnelle et plus progressive dans le symbolisme algébrique que ce n’est le cas aujourd’hui.

Comme souligné dans l’étude ICMI, nous faisons partie des pays où l’entrée dans l’algèbre, culturellement, est d’abord perçue comme l’entrée dans le monde des équations. Cette tradition ne contribue certainement pas à faire de l’enseignement de l’algèbre un enseignement accessible à tous. Mais par ailleurs, l’accent est de plus en plus mis sur la nécessité de faire face dans la scolarité de base aux besoins d’une mathématique citoyenne, sur la nécessité de renforcer les liens entre mathématiques et autres disciplines, ce qui nécessairement impose des processus de modélisation mathématique. Ces besoins font intervenir, comme souligné plus haut, d’autres fonctionnalités de l’algèbre, d’autres leviers pour son enseignement. Ils peuvent favoriser une entrée plus progressive dans ce champ. Dans le documents d’accompagnement des programmes du collège intitulé « Du numérique au littéral »3, on les voit émerger. L’algèbre apparaît ainsi comme outil de généralisation et de preuve, des exemples de patterns comme celui emblématique du carré bordé, des programmes de calcul sont proposés. Mais si d’autres fonctionnalités sont prises en compte, en particulier dans une culture où elles ne vivaient pas préalablement, il faut qu’elles soient prises en charge dans de véritables progressions et ne se bornent pas à apparaître comme des situations anecdotiques et isolées. Sur ce plan, beaucoup reste à faire si l’on considère les manuels actuels.

Enfin, dans ce domaine comme dans tous les autres, la formation des enseignants est déterminante. Et même si l’initiation à l’algèbre ne commence pas en France à l’école primaire, les enseignants du primaire sont concernés. Les recherches montrent bien les difficultés qu’ils ont souvent avec le symbolisme algébrique, faisant partie de ceux justement pour lesquels l’enseignement secondaire a échoué à construire un rapport adéquat à ce domaine. Si l’on veut ne pas accentuer artificiellement les discontinuités entre arithmétique et algèbre, il est important que les enseignants du primaire se sentent à l’aise pour le moins avec cette pré-algèbre qu’ils peuvent contribuer à installer. Les conditions de la formation, tant initiale que continue, rendent aujourd’hui cette ambition, qui peut sembler pourtant très modeste, difficile à réaliser.

Bibliographie

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