Alain Mercier
Professeur
IFE, EAM ADEF Aix-Marseille Université, ENS-Lyon
alain.mercier@ens-lyon.fr

Mots-clefs
Enseigner, Didactique

Deux résultats acquis et quelques unes de leurs conséquences

Après 40 ans de travaux en didactique des mathématiques, nous pouvons déclarer des résultats, que tout chercheur, en France ou ailleurs dans le monde, pourrait reconnaître pour assurés même si tous ne l’énonceraient pas dans les mêmes termes. Nous savons depuis les premières évaluations systématiques (et en particulier EVAPM, mouvement impulsé et maintenu longtemps par Antoine Bodin (Bodin, 1997) que :

En mathématiques, ce qui n’est pas enseigné n’est pas appris

L’énoncé de ce résultat a un énoncé équivalent (ce qui est appris a été enseigné) ce qui suppose un commentaire. En mathématiques comme ailleurs, ce qui est enseigné l’est parfois par l’usage et non pas explicitement (ainsi, nous avons découvert à l’occasion d’une évaluation internationale à 13 ans, ce premier fait : les élèves français étaient en 1985 les meilleurs au monde dans le traitement d’une question dont le traitement était attribué à la maîtrise du théorème de Thalès… (deux sapins de hauteur différente dont les sommets sont alignés pour l’observateur, quelle est la taille du plus grand connaissant les distances à l’observateur) or, les élèves interrogés étaient en 4e, un an avant l’enseignement du théorème : c’est que le problème des deux sapins est utilisé en France pour présenter les questions de proportionnalité (Matheron, 1994). Grâce à EVAPM, un autre phénomène a été identifié (Lleres, 2000) : la progression lente des résultats sur le traitement de la proportionnalité par un tableau, tout au long du Collège, dans les années 90, ; une analyse rapide montre que le traitement des questions de proportionnalité par un tableau n’est explicite qu’en CM2 (et 40% des élèves réussissent en fin d’année), le tableau a manifestement un usage en 6e (la réussite passe à 60%) mais n’est plus objet d’enseignement, et le tableau de proportionnalité est remplacé en 5e et 4e par le produit en croix ou la résolution d’une équation (la réussite à une question posée par le moyen d’un tableau stagne à 70%), c’est finalement par l’introduction du travail sur les fonctions linéaires et affines que le tableau revient en usage… et que pour les questions de proportionnalité il est enfin maîtrisé par plus de 90% des élèves, en fin d’année)

Nous avons une explication simple de ces phénomènes : Les mathématiques sont constituées de techniques socialement partagées pour le traitement de certaines catégories de problèmes que les activités sociales conduisent à rencontrer: ce sont donc aussi des savoirs utiles, et l’usage est une des manières d’apprendre ce qui est utile1.

On ne peut enseigner en décrivant les règles de l’action

En mathématiques comme ailleurs, on ne peut dire tout ce qu’il faut savoir pour une action réussie (ainsi, la bonne manière d’indiquer un chemin en ville est de le tracer sur un plan, pas de dire « Continue and when you are in front of the post office you turn on the left » parce que je ne sais pas reconnaître un « post office » en Australie : l’enseigne n’y est même pas jaune  ; ainsi, les professeurs qui cherchent à expliquer aux élèves comment faire inventent-ils chaque jour des manières de décrire l’action attendue qui créent de nouveaux problèmes, comme par exemple les arbres de calcul permettant en principe de démontrer le calcul en ligne… en en faisant une description dans le plan qu’il faut interpréter, ou les flèches indiquant les produits à faire dans le développement d’un produit de deux binômes (Mercier, 1995) : on connaît le peu d’efficacité de ces procédés)

Un principe et un constat

Principe

Les mathématiques ne proposent pas de décrire l’action juste, mais de modéliser le monde dans lequel on cherche à agir efficacement : l’accord sur ce point est aujourd’hui acquis, les procédés décrits ci-dessus sont des « glissements métadidactiques » dont le plus connu est « l’effet Topaze ». Les mathématiques sont donc un domaine de connaissances pratiques, techniques, et théoriques, qui même au niveau élémentaire ne peuvent être apprises indépendamment de l’expérience personnelle et collective du monde modélisé. Ainsi, un enfant qui apprend a réciter la comptine « un, deux, … vingt-six » ne sait pas compter tant qu’il n’a pas éprouvé personnellement comment « compter » peut servir à : « Aller chercher des crayons pour tous les élèves de la classe (qui sont 26) en les prenant dans les boites de 12 où ils sont rangés, de manière à avoir exactement un crayon pour chacun, pas plus. » en découvrant qu’il faut non seulement compter les élèves, mais retenir ce compte en comptant les crayons, et s’arrêter à 26 c’est-à-dire qu’il lui faut prendre seulement deux crayons de la troisième boite.

C’est pourquoi apprendre les mathématiques (et pas seulement le calcul de quatre opérations, vite oublié aujourd’hui où il peut être outillé par n’importe quel téléphone) ne concerne l’ensemble d’une classe d’âge que dans les sociétés réalisant un effort important d’instruction (Chevallard & Mercier, s. d.) : la transmission minimale des mathématiques suppose une école pour tous et un enseignement explicite de cette discipline à chacun.

C’est pourquoi les mathématiques doivent être considérées (dans la société et bien sûr, par les professeurs leurs formateurs et leurs cadres) non pas comme une curiosité à laquelle quelques excentriques s’intéressent, mais comme une part essentielle de la culture, une des œuvres humaines qui a nous rendu la vie meilleure. Tout citoyen est donc en droit d’être initié à cette pratique, et devrait exiger d’en avoir acquis une expérience suffisante pour imaginer s’y engager de manière autonome, en cas de besoin (c’est le sens que j’aimerais voir donner à la notion de « mathematical literacy »).

Constat

L’instruction minimale obligatoire (socle commun) suppose déjà 13 ans de scolarité mais toute formation professionnelle est fondée sur ce socle et demande donc 16 ans… le temps d’enseignement des mathématiques élémentaires peut donc être évalué. Suivant la manière dont on compte et dont on l’organise effectivement, le résultat réel pourrait varier du simple au double, entre le minimum strict de 12 ans X 33 semaines X 3 heures hebdomadaires = 1188 heures et le maximum possible de 16 ans X 36 semaines X 5 heures hebdomadaires = 2880 heures, pour la France et dans les trente dernières années (la scolarité de 3 à 16 ans, avec 36 semaines de présence en classe, 5 heures effectives d'enseignement et « pas de fin de scolarité sans un métier » soit, sortie avec un Bac Pro). En réalité aujourd’hui cela fait plutôt un an (1700 heures) en fin de Collège, alors que dans les conditions d’efficacité actuelles deux ans équivalent temps plein (2 ETP) sont indispensables pour une étude élémentaire visant les compétences d’un socle commun, comme c’était le cas il y a quarante ans, si je calcule bien. On comprend que la société ait des exigences sur les résultats de son effort, car même si les résultats sont corrélés entre autres avec les efforts consentis (les résultats s’améliorent lorsque le temps d’enseignement augmente), parfois ces efforts se dispersent et le temps d’enseignement ne produit pas les effets escomptés. Cependant il y a un effort minimal en deçà duquel plus grand’ chose n’est possible. Alors, la société ne peut plus rien exiger du système d’enseignement : il semble que nous sommes en train de le vérifier et peut-être, de comprendre qu’il faut changer de stratégie.

Voilà pour un premier tour de réflexion sur ce que nous savons des conditions d’efficacité d’un système d’enseignement. On peut aller un peu plus loin.

Ces éléments ont des corollaires, qui donnent des voies de travail 

Non seulement ce qui n’est pas enseigné n’est pas appris, mais ce qui n’est plus enseigné ou n’a plus d’usage est oublié.

Ainsi, on observe une baisse des résultats sur les calculs mobilisant des décimaux en Angleterre, entre la 7e et la 10e année de scolarisation (Hart, Kerslake, & Brown, 1981). Tout le monde sait cela, mais en général on ne pense pas que ce soit vrai pour les élèves, ou plutôt on fait comme si dans leur cas, c’était faux. Car les professeurs sont toujours légitimes à rappeler les anciens objets d’enseignement, pour en exiger la connaissance s’ils viennent à en éprouver le besoin. Ainsi, le professeur de Collège qui enseigne le calcul de l’aire d’un cercle est légitime à rappeler aux élèves qu’une multiplication donne directement le compte des carreaux d’un quadrillage et que par conséquent, les calculs de surface sont toujours multiplicatifs.

Pour améliorer cela on peut envisager d’organiser la matière de l’enseignement en éléments fortement dépendants les uns des autres, afin que ce qui est enseigné le soit façon telle que ce soit utile longtemps. Je prendrai pour exemple l’introduction explicite des parenthèses comme signe d’agrégation dans les écritures numériques : cela manque au Collège, durant les deux premières années. Inversement, les additions à trous que l’on utilise au CE pour désigner des problèmes de soustractions ne sont pas manipulables par les élèves puisqu’on n’ose jamais « déplacer un trou ». et n’ont pas d’avenir.

Pour de très nombreux élèves ce qui est appris l’est après coup, parce que l’expérience en montre l’utilité incontournable.

Ces élèves constituent 30 à 60% des enquêtés APMEP, selon les questions. On peut penser que la plupart des malentendus (Bautier, Rayou, & others, 2009) observables tiennent à cette difficulté, qu’une liste de « pré requis » aussi longue soit-elle ne peut résoudre. Ainsi les professeurs doivent donc, lorsqu’ils veulent que leurs élèves progressent sur une question sans l’enseigner de nouveau, acceptent de voir souvent les mêmes erreurs en demandant systématiquement des travaux nécessitant d’aborder cette même question, et annoncer que cela ne changera pas avec le changement de chapitre. Pour améliorer cela on peut envisager d’organiser les programmes d’enseignement en proposant leur introduction avec les problèmes d’une même classe, qu’il s’agit dans une période donnée de deux ou trois mois « d’apprendre à résoudre tous », ce qui déclare l’enjeu.

On ne peut décrire entièrement et on ne peut transmettre explicitement (en produisant un récit ou en présentant la nécessité d’un algorithme) que les buts et les enjeux de l’action

Ainsi l’analyse didactique peut montrer le manque d’un discours capable de décrire et de fonder système décimal de numération, rôle que remplissaient les pratiques du système métrique lorsque le professeur et les élèves pouvaient dire : « trois MILLE » c’est comme « trois KILOMETRES » et introduire les décimaux et les fractions comme des notation de sous-unités. Cette observation appartient à une « anthropologie » de l’école. C’est pour cela qu’on ne peut définir ce que vont faire les professeurs comme une suite d’instructions faites à des exécutants.

L’observation montre que les mathématiques ne sont pas seulement des connaissances personnelles et des compétences techniques, elles sont des techniques sociales que les personnes portent et font vivre en les interprétant à nouveau, de génération en génération : elles doivent donc être transmises (faute de quoi elles périclitent et n’outillent plus l’action humaine) ; elles doivent être explicitement identifiées comme telles (parce qu’elles sont toujours produites et étudiées à loisir, c’est-à-dire ailleurs que dans le cadre des pratiques qu’elles outillent) ; leur pratique publique doit être visible, elles trouvent là leur légitimité comme œuvre humaine servant à rendre la vie meilleure (les mathématiques sont partout dans les pratiques sociales) ; elles figurent parmi les sciences du quotidien (les mathématiques sont la première science expérimentale, elles sont des compte rendus complets d’expériences disait Lebesgue (1935), c’est-à-dire des modèles calculables dispensant de l’action).

Mais cela suppose que soient aussi bien identifiées les catégories de problèmes dont les mathématiques outillent la résolution, (« faire des mathématiques ce n’est pas résoudre des problèmes, c’est produire les méthodes de résolution de problèmes les plus générales possibles ») et il devient possible, à l’école, de chercher à valider ces techniques en étudiant leur rationalité (alors « faire des mathématiques » devient aussi une activité éducative, propédeutique à l’entrée dans les pratiques de la rationalité).

Pour aller un peu plus loin

Nous avons exploré certaines des conséquences fortes de ces résultats des travaux en didactique, je les organiserai en 7 déclarations, dont j’ai développé un peu longuement les premières et dont les autres sont à argumenter bien sûr en revenant chaque fois aux travaux originaux : Trois principes liés, donc,`

1. En mathématiques, le professeur doit enseigner explicitement

2. En mathématiques comme ailleurs, ce qui est enseigné l’est parfois par l’usage

3. En mathématiques comme ailleurs, on ne peut pas dire tout ce qu’il faut savoir pour une action réussie

Des principes qu’il faut mettre en musique ou plutôt, en mathématiques

Un programme d’enseignement étant rendu public, il donne une orientation et un cadre à l’action des professeurs. Mais il faut que les professeurs deviennent les designers de leur enseignement, qu’ils en inventent la forme (par exemple, qu’ils produisent des ressources pour leur action en classe et d’abord « un parcours dans le programme qui est une interprétation des commentaires », pour continuer avec la métaphore musicale).

Comme cela s’apprend aujourd’hui par l’expérience, il faut au mieux plusieurs années pour cela : en trois ans et au mieux, un professeur ne répète que six fois la tâche d’enseigner une question et au départ, il s’intéresse plutôt à « faire de ses élèves une classe dont il soit le professeur » qu’à « faire classe à ses élèves et s’en montrer ainsi le professeur », ce qui suppose une certaine expérience du premier mouvement, que l’on peur aider à venir mais qui ne suffit pas.

Il faut encore que les professeurs aient ce qu’à Marseille on nomme « le vice » et chez les forgerons africains « l’œil » c’est-à-dire, qu’ils soient attentifs à ce qui fait difficulté pour les élèves et qu’il apprennent à interpréter en mathématiciens leurs tentatives de traitement des questions que le professeur met à l’étude, pour les organiser et les diriger, comme un collectif de travail. C’est entre autres ce savoir que les didacticiens explicitent, et que la didactique permet d’accumuler et de transmettre.

La connaissance de l’objet d’enseignement qui caractérise l’expérience des professeurs qui enseignent efficacement, que les chercheurs savent décrire, leur montre les hiatus dans les programmes et leur permet d’expérimenter des réponses qu’ils amélioreront progressivement. EXEMPLE: les fractions aujourd’hui, présentées comme des rapports, n’apparaissent plus comme des nombres permettant de mesurer des grandeurs, ce sont des opérateurs et les additionner n’a pas de sens. Pourtant, le programme le propose...

Nos travaux actuels confirment la généralité de ce genre de faits, un genre que j’ai présenté d'abord mais qui s'observe sous les nombreuses variations que l'on rencontre dans l'observation quotidienne comme dans les travaux de recherche reconnus :

1. Un professeur efficace organise la production et l’étude d’un système « qui a de l’avenir » (Rajoson, 1988)

2. Un professeur qui peut mettre en place des manières discursives associées au travail sur les systèmes sémiotiques (qui sont de ce fait des modèles de l’action dans un système mis à l’étude) gagne en efficacité (Chambris, 2010) le montre indirectement

3. Le mouvement de modélisation et le jeu entre système étudié et modèle pour l’étude est alors pertinent, et le travail dans l’un (qui devient modèle) prend sens de ce qu’il est parlé avec les mots de l’autre (qui est le système) (Brousseau, 2005) Cela recoupe ce qu’écrit Liping Ma (qui semble venir de Shulman), et c’est apparemment ainsi que l’IGEN propose d’interpréter les programmes. Nos travaux actuels confirment ces faits par leurs conséquences :

4. Le travail d’observation que nous conduisons montre un peu partout comment un programme rate souvent l’organisation rationnelle des savoirs, qui permet seule l’organisation efficace de l’étude (Bronner, 1997)

En conclusion

Pour aller plus loin, il faudrait montrer les conditions de l’investissement des élèves dans les tâches scolaires et s’apercevoir que les formes primitives des relations didactiques sont peu nombreuses : On connaît le jeu. Jouer est une manière de mettre à l’épreuve ses capacités et de ressentir la résistance des choses ou des êtres. Lorsque le professeur propose un jeu il le fait pour ses vertus didactiques et déjà les professeurs de maternelle savent orienter l’activité libre des élèves par des jeux à vocation éducative ou didactique. La pratique des mathématiques a aussi la dimension ludique d’une pratique matérielle libre mais régulée.

On connaît le récit. Raconter des histoires est une technique utilisée déjà par les professeurs des écoles maternelles, ces histoires sont d’abord des récits fondateurs qui décrivent des formes du rapport entre les hommes et entre les hommes et le monde, elles deviendront plus tard les théories qui s’organisent en disciplines : les mathématiques en font partie, lorsque le récit présente les grandes constructions que l’on a pu entrevoir en pratique et que certains iront explorer.

On connaît l’exercice. Le plaisir du jeu lorsque le gain possible est visible et que les élèves peuvent en juger par eux-mêmes est un moteur puissant de l’exercice qui commence avec la répétition. L’entrainement suppose un peu plus de distance, et l’analyse stratégique du jeu qui engage à exercer des capacités tactiques utiles. Les mathématiques relèvent aussi de ce type d’activité, du moins lorsque l’exercice est orienté par l’intérêt pour le gain au jeu.

On sait enfin que la coopération dans l’exécution d’une tâche complexe est gratifiante. Les humains sont des animaux sociaux et ils organisent collectivement leur environnement, pour le rendre plus vivable et avoir une vie meilleure. Les élèves sont prêts à œuvrer collectivement si cela est organisé et si les enjeux de leur activité sont déclarés. Mais cela suppose que soient mises à l’étude des questions et des réalisations dont l’importance n’échappe à personne et surtout pas à eux. Cela est de la responsabilité collective des hommes politiques, des savants dans la matière enseignée et des acteurs du système d’enseignement.

Comment ces dimensions essentielles des relations par lesquelles une génération engage la suivante à entrer dans les rôles et les métiers qui l’attendent, sont-elles réalisées dans les gestes quotidiens d’enseignement que réalisent les professeurs, comment les professeurs sont-ils soutenus dans cette tâche par leurs cadres et comment sont-ils formés à cette mission par leurs maîtres ? Chacun peut se poser la question, la réponse appartient à ce collectif qu’est un système d’enseignement et aux responsables de son organisation.

Bibliographie