Gilles Cohen
Directeur de la rédaction de „Tangente“, fondateur de la FFJM et du CIJM
Rubrique „Affaire de logique“ du quotidien „Le Monde“

Elizabeth Busser 
Ancienne présidente de l'APMEP
Rubrique „Affaire de logique“ du quotidien „Le Monde“

Michel Criton Président de la FFJM
Rédacteur en chef de „Tangente Education“

Denise Grenier
MCF
Equipe « Mathématiques discrètes et Didactique » de l’Institut Fourier,
Fédération de Recherche « Maths-à modeler » et IREM, Université I de Grenoble

Introduction (Gilles Cohen)

Dans le monde d’aujourd’hui, une discipline doit gagner sa place auprès des élèves. L’argument d’autorité (« Faites des maths, on vous garantit que c’est dans votre intérêt ») n’est plus accepté comme auparavant.

Les attentes et les réponses :

Chaque discipline est en concurrence

• avec une foule de nouvelles activités plus séduisantes les unes que les autres (le sport, le multimédia…) et doit prouver son intérêt intellectuel ; d’où le message sous-jacent à faire passer par les enseignants de mathématiques : « La pratique des mathématiques va vous procurer du plaisir »
• avec les autres disciplines et doit prouver qu’elle est indispensable dans la formation de l’esprit et dans la compréhension du monde ; d’où le message sous-jacent à faire passer par les enseignants de mathématiques : « Les mathématiques ne sont pas enfermées dans un ghetto déconnecté du reste du monde, mais sont impliquées à tous les stades de la connaissance et de la vie. »
• avec les réalités économiques, elle doit prouver son utilité dans ses applications ; d’où le message sous-jacent à faire passer par les enseignants de mathématiques : « Les mathématiques sont un langage universel, qui ouvre la porte des autres sciences ainsi que celle du développement industriel. »

Comment faire passer ces messages ? 

• en associant, à tous les stades de l’apprentissage des mathématiques, les concepts théoriques à des contextes culturels.

Mot-clé : la culture

• en insérant les mathématiques de manière tant scolaire que périscolaire dans une pratique sociale familière qui inhibe les blocages.

Mot-clé : le jeu.

• en traitant l’apprentissage des mathématiques de manière pluridisciplinaire, ce qui permet d’en distinguer certaines applications et de ne pas les isoler dans la perception des élèves.

Mots-clés : l’expérimentation, l’interdisciplinarité.

Les facettes de la culture mathématique (Elisabeth Busser)

Pour montrer que, d’abord l’apprentissage et la pratique des mathématiques vont être enrichissants pour l’esprit , ensuite que les mathématiques sont plaisantes et aimables et enfin faire la preuve de l’utilité de cette science dans ses applications, nous associerons à tous les stades de l’apprentissage des mathématiques les concepts théoriques à des contextes culturels. Nous montrerons aussi, pour chacun des thèmes, non seulement ce que sont les diverses facettes de la culture mathématique, mais aussi les façons de les mettre en valeur aussi bien à l’école élémentaire qu’au collège.

Les mathématiques, vecteur culturel

La culture, cela commence par la transmission du savoir et les mathématiciens le savent bien, eux qui ont inventé les chiffres et les codes, un langage et des méthodes pour faire progresser, perpétuer et répandre leur savoir. Les sciences et les mathématiques en particulier ont été largement impliquées dans l’Histoire. En voici quelques exemples, qui peuvent être mis en Å“uvre en classe :

• Comment on est, grâce aux mathématiques, passé de l’astrologie à l’astronomie.

• Comment on a inventé le calcul et ses instruments, du boulier à l’abaque, de l’abaque à la « pascaline », de la calculatrice à l’ordinateur.

• Comment la cartographie a permis les grandes découvertes géographiques.

Les concepts mathématiques eux-mêmes, qui ont parfois mis des siècles à s’établir, ont suivi le cours de l’Histoire. On peut le faire saisir à un jeune public à travers l’étude de textes mathématiques historiques, peu nombreux mais bien choisis :

• La duplication du carré ou l’histoire de racine de deux,

• La mesure de la hauteur de la pyramide

• La corde à treize nÅ“uds des arpenteurs égyptiens

• La démonstration du théorème de Pythagore par Euclide

La culture, c’est encore la culture scientifique qui bien trop souvent est écartée de l’univers culturel à proprement parler. Oui, les mathématiques font partie de la culture pour de multiples raisons :

• Faire des mathématiques c’est aussi et surtout apprendre à raisonner.

• Les mathématiques sont aussi un langage et c’est celui des sciences.

• Les mathématiques sont un outil, celui des sciences. C’est en particulier pratiquement le seul outil de modélisation.

Arts et mathématiques sont indiscutablement liés

La culture, c’est aussi l’activité artistique. De nombreux artistes et plasticiens se sont appuyés sur des concepts mathématiques dans leurs créations, dans tous les domaines et on peut montrer au jeune public ces passerelles entre mathématiques et arts :

• entre mathématiques et arts plastiques, (visites d’expositions artistiques liées aux mathématiques, prise de conscience de la perspective en liaison avec le professeur d’arts plastiques)

• entre mathématiques et musique, (étude de concepts musicaux reliés aux mathématiques, comme les rapports de fréquences, la gamme de Pythagore, en liaison avec le professeur de musique)

• entre mathématiques et littérature, (écritures sous contraintes, Perec, Oulipo …à faire en liaison avec le professeur de français)

• entre mathématiques et architecture (formes et surfaces géométriques dans l’architecture, Le Corbusier et le Modulor)

Les mathématiques nous font entrer dans le monde d’aujourd’hui

La culture, c’est simplement le monde dans lequel on baigne :

• mathématiques et économie (lecture intelligente des statistiques, petits Quiz de connaissance de base sur la finance)

• mathématiques et politique (étude critique des sondages d’opinion, mathématiques électorales)

• mathématiques et vie quotidienne (les pourcentages pour les nuls, problèmes de moyennes)

Les jeux mathématiques (Michel Crito)

L’expression "jeu mathématique" recouvre trois notions bien différentes :

C1• Le "jeux" au sens "jeux pour l'élève", par opposition au problème de mathématiques dites sérieuses. On trouve aussi dans la littérature l’expression « récréations mathématiques ». Ce sont ces jeux qu'on utilise souvent dans les compétitions mathématiques. On peut les désigner par l’expression « jeux-problèmes ».

C2• Les "jeux mathématiques" comme on dirait "jeux olympiques" : compétitions à thème mathématique.

C3• Les "jeux" au sens propre : situations et jeux de société où interviennent des éléments de stratégie à caractère logico-mathématique.

Les jeux-problèmes

Il existe une longue tradition de ces « récréations », qui traverse les siècles et les civilisations.

Nous avons illustré cette partie à l’aide d’un ouvrage d’Ozanam (Récrations mathématiques et physiques », 1re édition 1694) qui rassemble un grand nombre de jeux-problèmes, mais cette tradition est beaucoup plus ancienne, puisqu’on attribue à Alcuin d’York (conseiller de Charlemagne pour tout ce qui touche à l’éducation, 8e siècle de notre ère) une collection de 56 problèmes intitulée « Problèmes pour aiguiser l’esprit de la jeunesse ».

Dans la préface d’une des éditions de l’ouvrage d’Ozanam, on trouve le texte suivant qui précise la même idée sur l’utilité de ces jeux pour les jeunes qui débutent dans l’étude des mathématiques : « Enfin, il (cet ouvrage) peut servir à aiguillonner l'esprit de ceux qui commencent à étudier ces sciences ; & c'est-là la raison pour laquelle, dans la plupart des livres élémentaires, on tâche d'envelopper les questions proposées pour exercer les commençans, d'un énoncé moins abstrait que celui des Mathématiques pures, et qui puisse intéresser & piquer la curiosité. »

Les critères qui caractérisent un "jeu-problème" dans l'esprit des élèves sont souvent des contraintes de forme. Mais sur le fond, historiquement, un certain nombre de thèmes ont toujours été perçus comme des éléments récréationnels. Les principaux critères qui séparent le problème scolaire du jeu mathématique ont donc trait à :

• L'habillage :

• Les problèmes sont écrits en français de tous les jours. Le moins possible de vocabulaire spécialisé, de formules, pas d'énoncé formel (de façon à inhiber les blocages).

• Les problèmes peuvent être placés dans un contexte concret. Des personnages interviennent, une histoire se tisse. Ce contexte est si possible "proche" du lecteur. L'énoncé sera ainsi appréhendé plus facilement.

• Enfin, une touche d'humour se dégagera, un clin d'Å“il sera adressé au lecteur, pour une mise en confiance.

• L'appel aux connaissances :

• Les connaissances nécessaires ne sont pas importantes. Le "jeu-problème" fait davantage appel à la déduction, à l'astuce, à la recherche persévérante qu'aux connaissances. Il appartient souvent à un domaine de mathématique « non scolaire », c’est-à-dire qui ne se rattache à aucune partie des programmes scolaires (les mathématiques des programmes scolaires n’étant qu’une petite partie de l’iceberg des mathématiques élémentaires).

• Lorsque des connaissances sont exigées, l'appel à ces connaissances est peu apparent. En aucun cas, le jeu-problème ne doit être perçu comme l'application d'un savoir. Il faut néanmoins préciser que des problèmes font parfois appel à d'autres jeux-problèmes antérieurement posés. L’entraînement à la résolution de jeux-problèmes permet à l’élève de construire un savoir-faire qu’il pourra réinvestir le cas échéant.

• La résolution du problème semble toujours à portée. Même si, à défaut de trouver l'astuce permettant une résolution rapide, il faut déployer des trésors de persévérance. On ne doit pas rester "sec" devant un jeu-problème.

• Le type de question :

Les formes préconisées sont :

• Le problème ouvert

• Le QCM (questionnaire à choix multiple) qui, bien que moins adapté, détient un caractère ludique incontestable et évite "l'angoisse du vide".

Le problème "fermé" ("montrer que …") n’est à utiliser que si la méthode de résolution reste ouverte.

• Le type de réponse :

Voici quelques formes à recommander :

• Le résultat "sec" (numérique ou graphique)

• Le résultat et le nombre de solutions. Cette formule, adoptée par le Championnat des jeux mathématiques et logiques, a fait ses preuves. car trouver le nombre de solutions démontre une maîtrise du problème qui vaut bien une démonstration !

• Le résultat "justifié". On se rapproche alors de la forme scolaire, et le problème apparaît moins comme un jeu.

25 ans de compétitions mathématiques en France

La première compétition mathématique en Europe remonte à 1884. Il s’agit de la compétition Eötvös créée par le baron Eötvös, physicien qui deviendra ministre de l’Education en Hongrie. Cette compétition, qui proposait des jeux-problèmes de type « olympiades » s’adressait à tous les lycéens de Hongrie. On peut rapprocher cette création avec l’importance de l’école mathématique hongroise au cours du 20e siècle

Les compétitions mathématiques en France sont plus récentes : mis à part le Concours Général, elles ont un peu plus de 25 ans. Le magazine Tangente va également fêter dans quelques mois son vingt-cinquième anniversaire, cette simultanéité d’anniversaires n’étant pas le fruit du hasard.

• Les années 80 : On a alors un contexte qui appelle de nouvelles initiatives :

• le besoin de réhabilitation des mathématiques né de la période dite des « maths modernes » et de leur usage en matière de sélection

• de nouvelles populations d’élèves (collège unique, nouvelles sollicitations)

• un renouveau des jeux mathématiques dans la presse.

• Les années 1986-1987

Le premier rallye mathématique : le rallye d’Alsace (compétition individuelle, niveau lycée).

• Création du Championnat international des jeux mathématiques (également ouvert à des publics non scolaires)

• Création du Rallye du Centre (premier rallye par classes entières)

• Création du Tournoi du Limousin.

• Tangente est également créé, faisant reposer sa communication sur ces compétitions nouvelles.

• Les années 1988-2000 :

Tangente est le support privilégié de ces compétitions mathématiques, avec la création de la rubrique « Le rallye des rallyes »

On assiste à la naissance d’innombrables nouvelles compétitions, régionales, nationales, voire internationales.

• Jean-Pierre Boudine est à l’origine de la naissance du Kangourou des mathématiques ;

• Rémy Jost crée Mathématiques sans frontières ;

• Gilles Cohen crée le CIJM ;

• Création de la Commission interIREM rallyes ;

• Publication des annales du championnat et de quelques autres compétitions ;

• Création du Salon de la culture et des jeux mathématiques ;

• Publication des recueils « Panoramath » par le CIJM.

• Les années 2001-2007 :

Après un pic autour de 2000, les compétitions en France marquent un certain essoufflement :

• baisse des effectifs en France

• disparition (ou interruptions) de quelques compétitions : Nice, Poitou, … symbole, le rallye d’Alsace, le premier des rallyes mathématiques français, n’a pas eu lieu en 2007

Contraste : hors de France, où elles sont plus jeunes, les compétitions mathématiques se développent fortement

Celles qui vivent le mieux sont celles qui se sont unies, en particulier avec des compétitions d’autres pays (cf math sans frontières)

Les raisons de cet essoufflement : la concurrence, la lassitude, les difficultés croissantes auxquelles sont confrontés les enseignants dans l’école d’aujourd’hui ...

Les jeux « de société » (les « vrais » jeux)

• Citons les solitaire, taquins, puzzles,…

Ces jeux se prêtent à des raisonnements de type mathématico-logique, bien que ces raisonnements ne soient pas au coeur des programmes scolaires : raisonnements basés sur la parité, sur la notion d’invariant, ...

• Jeux de société adaptés aux compétences mathématiques : Mathador, Magix34, Multiplay, …

• Jeux à jouer en classe à propos d’une notion.

Ce type de jeux a notamment été développé dans les manuels en ligne Aventure Math réalisés par l’équipe d’auteurs de Tangente.

• Jeux de grille.

De très nombreux jeux de grille font intervenir des raisonnements logiques. Le sudoku est le plus connu, mais il existe des dizaines d’autres jeux. Ces jeux sont très pratiqués au Japon et en Europe du Nord (Pays-Bas) et de l’Est (Hongrie, République Tchèque). En France, Bernard Novelli en a fait connaître un grand nombre (Tangente Jeux & Stratégie, La Recherche, jeux en ligne sur l’Espace Bernard Novelli du site Infinimath).

• Jeux informatiques.

Enfin, on ne peut pas ne pas citer des jeux qui font pleinement partie de la vie des élèves d’aujourd’hui : les jeux informatiques, qu’ils se pratiquent sur ordinateur, sur smartphone ou sur tablette, et qu’ils soient résidents ou en ligne. Ce type de jeu ouvre un champ immense, pas encore très exploité mais plein d’avenir, aux jeux éducatifs et pédagogique

Changer le rapport des élèves aux mathématiques en intégrant l'activité de recherche dans les classes1 (Denise Grenier)

Afin de limiter la taille du document, ce texte est présenté de manière indépendante, sous ce titre

L’infléchissement souhaitable des usages du jeu et de la culture dans l’enseignement des mathématiques (Gilles COHEN)

Les mathématiques sont bien autre chose que les équations ou les racines carrées ; elles sont ouvertes sur le monde et peuvent elles aussi contribuer à l’ouverture d’esprit de nos élèves ; ne les laissons pas enfermées dans la tour d’ivoire du formalisme et de la sélection pointilleuse.

Concrètement, que faire pour que toutes ces belles intentions ne restent pas lettre morte ?

Faire passer des messages

Avant même de proposer des solutions bouleversant horaires, programmes ou pratiques scolaires, la priorité est de faire passer des messages.

Certains de ces messages sont en direction des enseignants, d’autres en direction des élèves.

Auprès des enseignants

En ce qui concerne les enseignants, le message doit être :

• Le renoncement à la toute-puissance des contenus dans les programmes, au profit de l’insertion de ces contenus dans des contextes : historique, culturel, ludique, expérimental…

• Le renoncement à la toute-puissance du « savoir reporoduire » au profit du « comprendre »

• La valorisation des activités périscolaires menées par les enseignants, tant dans la cadre de l’établissement que d’actions régionales ou nationales. Valorisation non sur le plan financier, mais simplement sur le plan de la reconnaissance et de l’évolution de carrière. Aujourd’hui, être actif rapporte plus d’ennuis de la part de l’administration et de jalousies de la part de certains collègues que de ne rien faire.

Ces messages ne peuvent être efficaces que dans le cadre d’une véritable formation.Cette formation peut être rendue économique si on se sert des médias numériques pour la dispenser.

Auprès des élèves

En ce qui concerne les élèves, le message doit être :

• La mise en avant des dimensions liberté, esthétique, beauté, plaisir, romantique, merveilleux,… d’un concept ou d’une preuve mathématique

• L’échange autour de la notion de beauté. Peut-on enseigner la beauté ? « On peut au moins enseigner que la beauté existe » (Alberola).

• L’échange autour de la notion de vérité : les mathématiques ne sont pas figées. Toute notion a son histoire, elle « raconte une histoire ».

• Le statut de la démonstration : « La plupart des « vérités » sont non démontrables » (Alain Connes). Quelle révolution !

• La part du rêve : « On ne dit pas au lycéen de se laisser aller » (Don Zagier).

• Finie l’ère du « Calcule et tais-toi » : « Calcule, peut-être, mais exprime-toi » (Michel Cassé)

• Le statut de la recherche : une démarche comparable à la création artistique. Le contraire de la démarche scolaire : « On part sur une idée, on ne se fixe pas un objectif précis » (Don Zagier)

• L’incitation à se « cultiver » au-delà du cours, via la lecture et surtout les ressources rendues possibles par les nouvelles technologies.

Outre les actions via l’enseignant, les messages doivent en effet rencontrer l’environnement « naturel » de l’élève. La bataille de la télévision a été perdue, faute d’avoir été ferme sur le cahier des charges culturel des chaînes. Mais une nouvelle chance se présente.

Il faut gagner la bataille de l’Internet et des nouvelles technologies, en s’appuyant dessus pour faire passer une partie de ces messages.

Développer les pratiques scolaires innovantes qui vont dans le bon sens

De nombreuses idées remarquables ont été émises par le Ministère. Malheureusement, elles ont subi pour nombre d’entre elles le même sort.

• Annoncées en parallèle avec des restrictions horaires, elles ont été mal reçues par les enseignants.

• Non accompagnées de moyens adéquats, elles ont été très difficiles à mettre en Å“uvre, même par les enseignants acquis à leur principe. De plus, du fait de cette carence en moyens, les éditeurs n’ont pas suivi (hormis quelques-uns comme Tangente).

• Après des efforts importants de mise en forme, certaines ont été néanmoins rapidement abandonnées. Quel gâchis, et surtout quel découragement pour les enseignants qui s’y sont impliqués !

Quelques exemples :

• Itinéraires de découverte au collège

Une idée remarquable : l’introduction de la pluridisciplinarité.

Il est significatif que les seuls ouvrages pour aider les enseignants aient été publiés par les Editions POLE et les Editions Ellipses.

• Option mathématiques et informatique en section littéraire

Superbe idée, mal relayée, mal défendue. Sans lendemain.

• TPE

Quelle erreur de ne pas « crédibiliser » cette remarquable initiative en ne prenant en compte au bac que les notes au-dessus de la moyenne, ce qui donne l’impression qu’elles n’ont pas un caractère obligatoire ! (Après notre exposé, nous avons eu confirmeation que certains établissements ne les organisaient pas vraiment, utilisant les horaires pour des cours « traditionnels »).

• Enseignements d’exploration (MPS)

Excellente initiative. Nous attendons beaucoup de cette très bonne idée.

Mais la contrepartie est la nécessité d’infléchir certaines pratiques pédagogiques.

• Donner moins d’importance au contenu des programmes pour laisser le temps à ces pratiques.

• Ne plus évaluer (au moins partiellement) en fonction de l’abilité à reproduire des « recettes » mais de « créer », même en mathématiques.

Encourager un certain nombre de pratiques « hors la classe »

Dans l’établissement scolaire

• Ateliers autour du jeu, de l’art, de l’histoire, de l’expérience, de la recherche… selon les compétences locales.

• Aménagement du CDI et de ses ressources « papier » + « numérique » : revues scientifiques, collections de référence (Bibliothèque Tangente),…sites de ressources (Images des maths, Culture maths, Tangente, Affaire de logique,…). Abonnement des CDI aux initiatives d’indexation de ressources (Cyberlibris, Eduwave Infinimath…)

• Réalisation et/ou location d’expositions. La location sert à montrer la voie, il y en a de nombreuses, mises en place par des associations actives (voir projet Cap Math).

• Projets interdisciplinaires collectifs dans chaque établissement, avec la participation, outre les enseignants de mathématiques, de ceux d’arts plastiques, de musique, d’histoire, de français… On pourra à cet effet réserver dans l’emploi du temps des plages communes aux mathématiques et à ces autres disciplines.

• Mise en place de défis réguliers. Exemple du « jeu de Kitano » : un projet collaboratif, tendant vers une « démonstration collective ». A mi-chemin entre le jeu et la recherche.

Prendre des mesures d’encouragement des activités internes à l’établissement

• Encourager les enseignants à les animer si nécessaire (par exemple en les valorisant sur le plan de la carrière), mais aussi faire appel à des animateurs externes (avec financement des communes, départements, régions).

• Obliger chaque élève à participer à au moins l’une de ces activités (selon son choix). D’où la nécessité d’enseigner autrement et en particulier de créer des créneaux horaires spécifiques pour les élèves et pour les enseignants. Pause méridienne de deux heures en zones isolées.

Prendre des mesures d’encouragement des initiatives hors établissement

Exiger, à l’issue du cycle

• Que chaque élève qui sorte du collège ait participé au moins une fois à une compétition mathématique ;

• Que chaque élève qui sorte du lycée ait participé au moins une fois à un atelier « Maths en Jeans » ou « MathC2+ ».

• Que chaque élève qui sorte du collège ait visité, avec accompagnement approprié, au moins un musée scientifique (ou une exposition autour des mathématiques) ;

Prendre des mesures d’encouragement de pratiques dans le cadre individuel et familial

Inciter les élèves à des lectures, des visites, des fréquentations de sites Internet, au CDI ou à domicile.

• Revues scientifiques

• Sites (voir plus haut documentation CDI)

• Rubriques presse. Un rôle pédagogique indirect via la banalisation de l’activité mathématique, l’occasion d’échanger (forum), avec le professeur ou avec des amis, sur le thème des mathématiques, la découverte de sujets scolaires sous un autre angle, l’attrait du défi.

• Sensibilisation à l’actualité de la recherche.