Marie-Jeanne Perrin-Glorian

Professeur émérite

Université d'Artois

Mon propos s'appuie sur toute mon expérience professionnelle, aussi bien en recherche en didactique des mathématiques qu'en formation des maîtres (voir bibliographie) depuis la création de l’IREM de Paris en 1968 jusqu’à maintenant.

La réforme des mathématiques modernes et ses effets à long terme sur la formation des professeurs

L'analyse de l'évolution de l'enseignement me paraît importante quand on s'intéresse à la formation des enseignants parce que ceux-ci ont été formés dans les périodes antérieures, avec des programmes différents de ceux qu'ils enseignent. Dans la réforme des « mathématiques modernes », on a voulu fonder les mathématiques enseignées dans le secondaire et même le primaire sur une théorie ensembliste des nombres. Les grandeurs qui fondaient jusque là largement l'enseignement des nombres, au moins en primaire (voir thèse de C. Chambris et ses articles dans Repères-IREM et dans RDM), ont disparu de l'enseignement. En primaire, il est resté un enseignement des mesures pratiques et du système métrique pour les grandeurs continues mais séparé de l'enseignement des nombres entiers qui est fondé uniquement sur les quantités discrètes. La commission des programmes d’alors avait choisi de passer sous silence l'aspect grandeur (par un abus de langage mentionné dans les commentaires des programmes) en ne gardant que les objets et leur mesure, une fois l'unité fixée, d'où l'expression de l'époque « la mesure en cm est » et l'interdiction d'écritures du type 1m = 100cm qui n'étaient pas définies. A l'époque où j'ai fait ma thèse (entre 1985 et 1992), l'aire était un nombre dans les manuels et programmes du collège et, si l'on regarde les programmes du primaire de 1970, on peut même lire que l'aire change quand l'unité change ! Une telle approche ne permet pas d'aborder facilement les changements d'unité et réduit l’enseignement de la proportionnalité à celui des fonctions numériques. On se prive alors du calcul dimensionnel, indispensable en physique, qui donne pourtant des moyens de contrôle efficaces dans la résolution de problèmes (voir exemple en annexe) et peut s'exprimer mathématiquement (voir par exemple Bosch et Chevallard, 2001 et 2002) même si, de mon point de vue, cette mathématisation doit rester dans le domaine du professeur au collège.

Dans les années 80, les grandeurs font leur réapparition en primaire avec construction de la notion d'unité et du principe de la mesure (on commence par reporter des unités arbitraires) mais restent séparées des nombres entiers ; on parle d'ailleurs de « mesurage » ; les grandeurs continues n'interviennent que pour l'approche des fractions et décimaux. Les grandeurs n'ont refait leur apparition au collège qu'à partir de 2005, surtout autour de la proportionnalité. Les programmes ont beaucoup évolué depuis l’époque des mathématiques modernes, en tenant compte des travaux de didactique, mais il ne me semble pas qu'on ait vraiment résolu, pour l'enseignement obligatoire, le problème de la synthèse du fondement des nombres sur les grandeurs ou sur les ensembles.

Plusieurs travaux de didactique des mathématiques (voir bibliographie) se sont intéressés aux grandeurs géométriques dès le début des années 80 voire avant, notamment Bessot et Eberhard (1983) pour les longueurs, Rogalski J. (1982) pour les aires, Vergnaud et al. (1983) pour les volumes. J'ai moi-même travaillé la question des aires avec Régine Douady entre 1983 et 1989 dans le contexte de la liaison école-collège ; ce travail a été poursuivi au collège par Moreira-Baltar (1996) et, plus récemment, Ligozat (2008) pour le primaire. Ces travaux ont été pris en compte dans les programmes d'enseignement où la notion de grandeur a repris droit de cité et n'est plus confondue avec la mesure qui est un nombre (dépendant de l'unité choisie) mais certains enseignants continuent à ne pas se sentir à l'aise avec la notion de grandeur. Le lien avec l'enseignement des nombres n'est pas restauré et celui avec l'enseignement de la géométrie à l'école primaire et au début du collège n'est pas questionné.

Grandeurs géométriques et mesure

J’ai choisi de parler des grandeurs géométriques (longueurs, aires, volumes) parce qu’elles peuvent être un appui essentiel dans la conceptualisation des nombres et des opérations et sont fondamentales aussi dans les autres disciplines, en relation avec d'autres grandeurs physiques comme les masses et les durées. Je laisserai de côté les angles qui demanderaient un développement spécifique. Bien sûr le travail sur d'autres grandeurs et leur mesure est essentiel, notamment les masses, grandeur unidimensionnelle, qui peut se mener en parallèle avec les longueurs mais donne lieu à des expériences différentes, notamment parce que la comparaison directe est difficile sans instrument. Les durées demanderaient aussi un développement spécifique.

L’exemple des aires

Dans nos travaux (avec R. Douady) sur les aires nous avions repéré un conflit entre une conception de l'aire comme forme géométrique, soumise éventuellement à des transformations et une conception de l'aire comme nombre issu d'une procédure de calcul. Le passage trop rapide aux nombres enferme les élèves dans les formules qu'ils cherchent à inventer au besoin, sans tenir compte des opérations sur les grandeurs. Faire le lien entre les deux est essentiel en traitant successivement et dialectiquement trois aspects incontournables me semble-t-il : l'aire sans mesure (conservation de la grandeur par découpage et recollement sans chevauchement, comparaison directe ou par transitivité, addition), l'aire comme grandeur unidimensionnelle (liée au pavage, report d'une unité), l'aire comme grandeur bidimensionnelle (lien entre les unités de longueur et les unités d'aire).

Aborder la grandeur sans mesure

Dans tous les cas, le travail sur la grandeur sans mesure, notamment sa conservation, les moyens de comparer et d’ajouter deux grandeurs de même espèce sans passer par les nombres me paraît fondamental pour constituer la grandeur et ses opérations (addition, complément, multiplication et division par un entier) sur lesquelles on aura besoin de s'appuyer dans la résolution de problèmes, y compris sur les entiers, ainsi que pour étendre les opérations sur les nombres non entiers (par exemple le produit des fractions pour les aires).

L’aspect dimension pour les aires et les volumes

A l’école et au collège, l'aspect dimension ne concerne que les aires et les volumes. Il est délicat et il me semble que, dans l'enseignement actuel, il est plutôt contourné que traité à l'école primaire sans être vraiment traité au collège : en primaire, pour les volumes, on ne considère que les contenances, grandeur unidimensionnelle (système d’unités en base dix), renvoyant les volumes pleins au collège et, pour les aires, on a surtout recours au pavage ou aux quadrillages. Les programmes de sixième de 2008 demandent de savoir faire des changements d'unités de mesure mais ne semblent pas s'intéresser à l'effet d'un agrandissement sur les aires et les volumes. Cette connaissance figure dans toute sa généralité au programme de troisième mais ne semble pas mise en évidence auparavant dans le cas particulier des rectangles ou pavés, pour expliquer les systèmes d'unités. On se restreint aux relations entre les unités légales elles-mêmes pour expliquer les facteurs 100 ou 1000 entre les unités d'aire ou de volume. Pourtant, l’effet sur les aires d’agrandissements de rectangles par un coefficient entier quelconque ne nécessite que le pavage et la multiplication.

La question des unités et des changements d'unités, en lien avec les opérations est sans doute un point sur lequel pourrait porter l'attention et motiver pour les enseignants un travail sur les grandeurs géométriques correspondantes, longueurs et aires notamment dès le primaire. Le cas des volumes pleins, plus complexe et où les manipulations sont plus difficiles, ne peut se traiter efficacement que si on a bien compris le cas des aires.

Les instruments pour identifier les grandeurs et les mesurer

Pour les autres grandeurs, les masses en particulier, un instrument peut être nécessaire pour décider de la conservation ou comparer. La question des instruments est donc importante pour aborder et conceptualiser les grandeurs elles-mêmes aussi bien que leur mesure et elle se pose de façon différente pour chaque grandeur.

La longueur est la grandeur prototypique, pour laquelle on peut construire un instrument, une graduation, par report d’une unité arbitraire. La longueur et la graduation permettront de représenter toutes les longueurs sur un axe gradué. Les instruments standard (règle graduée, mètre ruban…) restent proches des opérations qu’on peut faire sur la grandeur elle-même.

Les contenances peuvent se comparer par transvasement, on peut graduer un vase cylindrique mais la grandeur doit se dégager de la forme et les manipulations sont plus difficiles à mener en classe.

La masse est plus difficile à aborder directement. La balance Roberval qui permet de conceptualiser les opérations sur la grandeur (comparaison, addition) n’est plus guère utilisée dans la vie courante.

Pour les aires et les volumes pleins, il n’y a pas d’instrument qui permette de donner facilement un encadrement. Un calque quadrillé pourrait jouer ce rôle pour les aires mais le résultat dépend de la manière de poser le calque sur la surface. On se ramène à des découpages et à des calculs ou on passe par une autre grandeur, la masse ou la contenance pour les volumes (immersion), ce qui, dans le cas de la masse, met en jeu la conservation d’une autre grandeur.

Grandeurs continues et nombres décimaux (rationnels, réels)

Contexte de définition des opérations sur les entiers

L'introduction classique des décimaux par changement d'unité (conversions) dans le système métrique ne suffit pas, en particulier pour l’ordre et les approximations, car elle ne fait pas sortir des entiers mais la considération de ce point de vue est néanmoins indispensable. Les grandeurs continues (longueurs en particulier) permettent à la fois de rencontrer l'insuffisance des entiers pour les mesurer et de donner des pistes pour enrichir l'ensemble des nombres, que ce soit par recours à la commensuration (« il faut n*a pour faire p*b », Brousseau, 1980, 1981) ou au partage de l'unité (Douady, 1980). Dans les deux cas, il faut avoir donné du sens à la multiplication d'une grandeur par un entier par report de cette grandeur. Cela suppose que l'enseignement des entiers et de leurs opérations dans les premières classes du primaire considère non seulement des grandeurs discrètes (collections d'objets) mais aussi des grandeurs continues qu'il faut discrétiser par choix et report d'une unité (en particulier construction de graduations pour les longueurs). Or l'introduction des opérations sur les entiers se fait souvent dans le cas des réunions (ou compléments, partages...) de collections ; elles sont supposées s'étendre naturellement aux grandeurs continues éventuellement sollicitées dans les résolutions de problèmes ou en géométrie. C'est dans ce genre d'extensions « naturelles » que peuvent commencer les difficultés de certains élèves. L'introduction des décimaux et de leurs opérations doit se situer en cohérence avec ce qui précède (les entiers) et avec ce qui suit (rationnels et réels). Il est important que les enseignants puissent ancrer le nouveau dans ce que les élèves savent déjà et voir comment la suite des études (à un ou deux ans au moins) viendra reprendre et compléter ce qu'ils enseignent.

Multiplication et division dans le cas des grandeurs

Alors qu'on n'ajoute et soustrait que des grandeurs de même nature, la multiplication et la division entretiennent des rapports différents avec les grandeurs selon les situations : on peut par exemple avoir des produits de mesure (pour les aires ou les volumes) ou des situations de proportionnalité entre grandeurs de même nature (le coefficient est alors un nombre sans dimension) ou entre grandeurs de natures différentes (le coefficient est lui-même une grandeur). Dans le cas des grandeurs de même nature, on peut néanmoins avoir des unités différentes au départ et à l'arrivée, par exemple dans les problèmes d'échelle, ce qui amène une unité dans le coefficient, par exemple des km/cm. De plus, quel que soit le point de vue pris pour l'introduction des opérations (la multiplication notamment qui peut être introduite par les aires ou la proportionnalité), le transfert aux autres types de situations ne va pas de soi. De même, si les fonctions linéaires ne sont traitées que dans le cadre numérique, elles ne se transfèreront pas toutes seules aux situations qui portent sur les grandeurs (voir annexe).

Grandeurs géométriques et géométrie, place des instruments de géométrie

La géométrie intervient aussi dans la conceptualisation des grandeurs et des mesures à cause de l’importance des grandeurs géométriques, et en particulier des longueurs pour la construction des nombres. Régine Douady a souligné le rôle moteur des changements de cadres dans la production des mathématiques et la possibilité de s'en servir dans l'enseignement pour la progression des connaissances des élèves. Mais les jeux de cadres ne peuvent fonctionner que si les élèves ont des connaissances suffisantes dans chacun des cadres. Réciproquement, les grandeurs géométriques interviennent dans la conceptualisation des objets géométriques, en lien avec les instruments, notamment le compas pour les longueurs, l'équerre pour l'angle droit. Ainsi, dans les problèmes de reproduction de figures, le remplacement de la règle graduée par une règle (non graduée) et une bande de papier pour reporter les longueurs ou les partager (par exemple pour prendre le milieu) permet de travailler sur les grandeurs et les opérations sur les grandeurs sans passer par les nombres. Pour reproduire une figure, le fait de fixer une grandeur par un élément géométrique de la figure (par exemple la longueur d'un côté en donnant un segment) plutôt que par une mesure, permet de travailler les relations entre grandeurs plutôt que le calcul et d'asseoir un cadre géométrique qui pourra par la suite interférer avec le cadre numérique pour faire progresser les connaissances. D'autres points seraient à prendre en compte pour la continuité des apprentissages en géométrie, par exemple le passage d'une vision de la figure en termes de surfaces juxtaposées à une vision en termes de réseau de lignes et de points, et la vision des points comme définis par intersection de lignes, droites ou cercles, ou position définie par une grandeur sur une ligne. Je ne développe pas cet aspect, important cependant, puisqu’il n'est pas l'objet de la présente discussion.

Formation des enseignants et élaboration de ressources

La formation des enseignants est un des points essentiels pour l'amélioration de l'enseignement. Sur le thème des grandeurs et mesures, il y a sans doute un gros travail à faire parce que beaucoup des enseignants actuels ont été élèves à l'époque moderne ou post-moderne et ne sont peut-être pas persuadés de l'importance d'un appui sur les grandeurs pour faire des mathématiques. C'est sans doute particulièrement le cas dans le secondaire, d'autant plus que la place de la physique a depuis longtemps été largement diminuée au profit de l'informatique dans la formation des professeurs de mathématiques.

La mise à disposition de ressources pour les enseignants associée à une formation continue appuyée sur ces ressources me paraît un des moyens les plus efficaces de faire évoluer l'enseignement. Dans les paragraphes précédents, j’ai essayé de dégager quelques points qui me paraissaient importants sur les grandeurs et les relations entre grandeurs et nombres, entre opérations sur les grandeurs et opérations sur les nombres. J’ajouterais, en relation avec le thème et plus largement :

• La rencontre d'une variété suffisante de types différents de relations entre grandeurs qui se traduisent par la même opération sur les nombres (par exemple la multiplication) dans des situations qui donnent aux élèves des moyens de contrôler ce qu'ils avancent.

  On touche ici des questions de modélisation.

• Le travail sur les divers systèmes sémiotiques utilisés et les conversions d'un système à un autre.

• Aider les enseignants à voir le lien (et à en créer pour leurs élèves) entre ce qu'ils enseignent, ce que les élèves connaissent déjà et ce qu'ils verront plus tard.

Pistes de recherches

En conclusion, je voudrais dégager quelques pistes pour des recherches en didactique qui me sembleraient aller dans le sens de l'amélioration de l'enseignement des mathématiques à tous les élèves :

Recherche d'une progression cohérente et adaptée au développement des élèves de l'enseignement des mathématiques au long de la scolarité obligatoire

Les enseignants doivent pouvoir comprendre la cohérence et la logique de cette progression non seulement au niveau où ils enseignent mais aussi aux niveaux précédents (d'où viennent leurs élèves) et à un ou deux niveaux suivants (où ils vont).

Cela demande de considérer non seulement les mathématiques mais aussi les supports matériels, les langages et les représentations ainsi que l'activité réelle des élèves et les conditions de fonctionnement de l'enseignement.

La continuité de l'enseignement est faite aussi de ruptures nécessaires. La question porte sur le repérage et la prise en compte de ces ruptures par l'institution et ses agents, les enseignants, qui doivent avoir les moyens de les gérer.

La liaison entre l'école et le collège est toujours selon moi un des nœuds de l'amélioration de l'apprentissage pour tous les élèves.

Production de ressources efficaces pour l'enseignement ordinaire et étude de la façon dont elles permettent aux enseignants d'améliorer leurs pratiques et l'apprentissage de leurs élèves.

Travailler sur ces deux thèmes demande aussi de tenir compte et d'intégrer la masse de recherches déjà existantes sur l'enseignement des mathématiques en testant leur portée, en les affinant, en les complétant.

Annexe : Rôle des grandeurs dans la résolution de problèmes

Exemples portant sur la multiplication et la proportionnalité

Un exemple fictif pour poser le problème

Pescadou, le robot pêcheur attrape 8 poissons à l'heure.

Il pêche 6 heures par jour et 5 jours par semaine.

Il vend ses poissons 12 F l'un.

Combien aura-t-il gagné à la fin de ses quatre semaines de vacances ?

Résolution de Paul :

8 x 6 = 48

48 x 5 = 240

240 x 12 = 2880

2880 x 4 = 11520

de Juliette :

8 x12 = 96

96 x 6 = 576

5 x 4 = 20

576 x 20 = 11520

Les grandeurs soutiennent le raisonnement :

Paul raisonne en poissons (pêchés en une semaine) puis en francs.

Il suit l’ordre du texte. Sa solution s'écrit (((8x6)x5)x12)x4

Juliette raisonne en francs (gagnés par jour) puis en semaines (durée en jours) avant de revenir aux francs : ((12x8)x6)x(5x4).

Le raisonnement en francs jusqu'au bout serait (((12x8)x6)x5)x4

Le raisonnement en poissons jusqu'au bout serait (((8x6)x5)x4)x12. Les francs arrivent à la dernière étape pour la multiplication par 12 francs par poisson.

et le rendent intelligible : Accepterions nous comme solution d’élève 12 x 5 = 60 ; 60 x 6 = 360 ; 8 x 4 = 32 ; 360 x 32 = 11520 ?

Les décompositions du résultat 12 x 8 x 6 x 5 x 4 n'ont pas toutes un sens dans le problème.

Par exemple la réponse ci-dessus qui s'écrit aussi ((12x5)x6)x(8x4) donne le même résultat mais n’a pas de sens dans le problème. Peut-on multiplier des francs / poisson par des jours ?

Les raisonnements acceptables sont cohérents avec le produit des grandeurs :

pour Paul (((p/h*h/j)*F/p)*j/s)*s

pour Juliette ((p/h*F/p)*h/j)*((j/s)*s)

(8x(6x(5x4)))x12 et (12x8)x((6x5)x4) sont acceptables : ils correspondent à la recherche du nombre d’heures de pêche (h/j*j/s*s) suivie du calcul du nombre de poissons (p/h*h) puis du prix p*(F/p) pour le premier ou précédée du gain par heure (F/p)*(p/h) pour le second.

Dans les résolutions de problèmes de proportionnalité sur les grandeurs la multiplication n’est ni associative ni commutative.

Mais il est important de pouvoir se dégager du sens pour utiliser les propriétés de l’opération sur les nombres pour le calcul, notamment le calcul mental (cf. algèbre).

Exemples vécus :

• Question d’un enseignant stagiaire : Que dire à Juliette, très bonne élève de CM2 qui refuse d'utiliser le coefficient de proportionnalité pour traiter un problème de consommation d'essence en demandant : « Comment se fait-il qu'en multipliant des litres par des kilomètres on obtienne des litres ? »

• des élèves de 6ème ne comprennent pas pourquoi on multiplie des francs par des kilos pour trouver un prix. La question se pose de façon cruciale quand les quantités par lesquelles on multiplie ne sont pas des entiers et qu’on ne peut plus penser la multiplication comme une addition itérée. (exemple 1,35 kg de roti de porc à 12€ le kilo : pourquoi faut-il multiplier alors que, pour l'élève 1,35x12 signifie seulement 1,35+1,35+1,35...). Pourquoi est-ce pareil que 12 kg à 1,35€ le kg ?

• La procédure « isomorphisme » permet de rester dans les mêmes grandeurs. La procédure « fonction » peut en introduire de nouvelles. Les auteurs ajoutent, si nécessaire, une annexe avec une section non numérotée.

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Bibliographie

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6. Douady R. (1980) Approche des nombres réels en situation d’apprentissage scolaire (enfants de 6 à 11 ans). Recherches en didactique des mathématiques, 1/1, 77-111.

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8. Douady R. et  Perrin-Glorian M.J. (1984-1985)  Aires de surfaces planes 1ère partie et 2ème partie "Petit x"  n° 6, p.5-33 et "Petit x"  n° 8,  p. 5-30 IREM de Grenoble repris dans Grand N n°39-40 et n° 41.

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14. Perrin-Glorian, M.J. (1993) Questions didactiques soulevées à partir de l'enseignement des mathématiques dans des classes faibles, Recherches en didactique des mathématiques, 13/1.2, 5-118.

15. Perrin-Glorian M.J. (2002) Problèmes didactiques liés à l'enseignement des grandeurs. Le cas des aires in Dorier, J.L.& alii Actes de la 11ème école d'été de didactique des mathématiques, Corps, 2001, La Pensée sauvage, Grenoble, p. 299-315. Version plus longue avec annexes dans le CD-rom associé.

16. Rogalski, J. (1982) L'acquisition de notions relatives à la dimensionnalité des mesures spatiales (longueur, surface) Recherches en didactique des mathématiques n° 3.3, 343- 396.

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