Responsables  Evelyne BARBIN, professeur des universités, IREM des Pays de la Loire et CFV, Université de Nantes Magali HERSANT, maître de conférences, IUFM des Pays de la Loire et CREN, Université de Nantes Evelyne Barbin Magali Hersant

Objectifs

L’équipe ECCEmaths travaille en collaboration avec l’IREM des Pays de la Loire, l’IUFM et deux laboratoires de l’Université de Nantes, le Centre François Viète et le CREN. Elle regroupe une dizaine de personnes et les co-responsables sont Evelyne Barbin et Magali Hersant. ECCEmaths signifie « Écrire–Chercher–Concevoir–Échanger des mathématiques ». Trois objectifs principaux président à nos recherches :

1. développer l’enseignement des mathématiques par les problèmes à l’articulation lycée-université ;
2. analyser et confronter des écrits de résolution de problèmes produits par des élèves, des étudiants et des mathématiciens ;
3. conjuguer des approches épistémologique, didactique et historique sur la recherche et l’écriture de résolution de problèmes.

Projet de recherche

Faire des mathématiques présuppose d’écrire et de tracer, que ce soient des phrases, des figures, des formules ou des schémas. L’activité de résolution de problèmes pose mieux que toute autre les questions relatives aux relations entre une recherche et une écriture, à la diversité des écrits mathématiques, au passage d’un genre d’écrit à un autre. Dans l’enseignement, ces questions ne sont pas en général explicitées ; l’élève essaie de se conformer à un genre d’écrit qui lui paraît formel dont il ne saisit pas nécessairement les raisons et les attendus et qui ne lui permet pas toujours de développer une conception des mathématiques comme une activité de résolution de problèmes. Le genre d’un écrit dépend du destinataire de l’écrit, aussi la variation du destinataire donne lieu à des productions d’écrit de genres différents. Les genres diffèrent selon que le destinataire est une personne, professeur ou collègue ou correspondant, une communauté de personnes, une classe ou une équipe de laboratoire, un public large, constitué de lecteurs d’un ouvrage ou de consultants d’un site internet. Le projet de recherche ECCEmaths vise à analyser différents genres d’écrits par une approche épistémologique, historique et didactique, à les confronter et à analyser des passages. Il pourra s’agir de textes d’élèves dans des narrations de recherche, dans des échanges entre groupes d’élèves, dans des écrits scolaires. Il pourra s’agir aussi de correspondances entre mathématiciens, de mémoires dans des revues mathématiques ou d’ouvrages écrits à différents moments historiques.

Etat des travaux

Au début de l’année 2006-2007, nous sommes partis de la question : Qu’est-ce que chercher pour des élèves et des étudiants ? Nous avons proposé à des élèves de Terminale et de L1 trois problèmes et trois questionnaires élaborés au sein du groupe. Nous avons précisé aux élèves que leurs productions seraient analysées dans le cadre d’une étude sur la manière dont les élèves cherchent. Il ne s’agissait pas de proposer des narrations de recherche : nous avons demandé aux élèves de chercher les problèmes et de rendre à leur professeur le résultat de leur travail. L’analyse des réponses nous a conduit à affiner notre question initiale en la reliant à  d’autres questions :

1. Chercher et écrire : Qu’est-ce que l’élève ou l’étudiant choisit d’écrire à propos de sa recherche quand il s’adresse à un enseignant ? Quel rôle attribue t-il au brouillon dans cette recherche ?
2. Chercher et concevoir : Quels outils utilisés lors de la recherche ? Quels liens avec l’idée d’expérimenter ? Raisonner sur un cas particulier, ou un exemple numérique, peut-il fournir une démarche générale ?
3. Chercher et justifier : Quel est le statut d’un texte explicatif ? d’un texte stéréotypé ?
4. Chercher et apprendre : Quelles adéquations et quelles inadéquations entre les savoirs et les problèmes ?
5. Chercher et échanger : Quel est le statut des textes délivrés par le lycéen et l’étudiant à l’enseignant ?

Le dispositif de « correspondance mathématique »

Ces questions ont été ressaisies pour proposer un nouveau dispositif en 2007-2008. En effet, écrire une recherche et une solution d’un problème suppose au moins quatre ingrédients : un problème, le destinataire auquel est adressé l’écrit, les outils utilisés et l’écriture proprement dite. Or, beaucoup de textes obtenus étaient très « scolaires » ou « stéréotypés », c’étaient des textes dont les élèves pensaient qu’ils pourraient satisfaire le professeur. Mikhail Bakhtine insiste sur le rôle du destinataire dans sa conception dialogique des écrits, qui consiste à interpréter tout énoncé comme réplique dans un dialogue : un énoncé répond à d’autres énoncés antérieurs et il suppose un destinataire. Pour Bakhtine,  l’indice constitutif d’un énoncé est le fait qu’il s’adresse à quelqu’un, qu’il est tourné vers l’allocutaire. D’où l’importance de se demander : à qui s’adresse un énoncé ? Comment le locuteur perçoit-il et se représente-t-il son destinataire ? Quelle est la force d’influence de celui-ci sur l’énoncé ? De ceci dépend la composition, le style de l’énoncé et les différents genres du discours.
Les écrits scolaires ont la particularité de s’adresser à un destinataire unique qui est le professeur. Ceci est très différent des écrits mathématiques ou utilisant des mathématiques, produits dans un contexte mathématique, scientifique ou social, tels qu’on peut en lire dans l’histoire des mathématiques. Nous avons donc choisi de travailler et de modifier la variable destinataire : il ne serait ni le professeur, ni le pair, mais un presque pair. Cette situation, on le sait par la lecture des correspondances mathématiques historiques, est la plus propre à produire des échanges riches (voir par exemple, la correspondance entre Leibniz et Huygens).
Nous avons donc décidé de mettre en place une correspondance mathématique, c’est-à-dire précisément des échanges épistolaires entre un lycéen de terminale et un étudiant de licence. Il s’agissait d’un échange privé, des enveloppes cachetées transitant par l’équipe.  Dans cette correspondance, le choix du problème doit répondre à deux critères essentiels : 1. que les lycéens de terminale puissent s’approprier facilement l’énoncé et possèdent des outils pour le résoudre, sans toutefois avoir les connaissances expertes permettant la résolution du problème. 2. que les étudiants disposent des connaissances expertes pour résoudre le problème et donc d’autres outils que ceux du lycéen lui permettant d’avoir des conceptions épistémologiques différentes des notions et savoirs en jeu. Ainsi, la situation associée au choix du problème permettait de mettre en Å“uvre la notion de zone proximale de développement de Vygotski. Cette notion est pour Vygotski un élément déterminant pour l'apprentissage et le développement, car ce que l'enfant sait faire aujourd'hui en collaboration, il saura le faire tout seul demain.

L’énoncé est le suivant : « L’expression (x+y)/(1+ x²+ y²) admet-elle un maximum lorsque le point de coordonnées (x, y) décrit le premier quadrant (x ≥0, y ≥0) ? Si oui le déterminer ».

Les consignes données aux lycéens étaient : « écrire en détail vos essais, tentatives, pistes de recherche et résultats (partiels ou intermédiaires) ». Les consignes pour les étudiants étaient : « aider le lycéen à avancer dans sa recherche, le but n’est pas de lui fournir la réponse, ne pas hésiter à demander des précisions ». Nous avons recueilli seize correspondances. La provenance des étudiants a été variée pour des raisons techniques : L1, L2, L3 et M1. Une lycéenne a correspondu avec Simon Moulin, enseignant de l’université participant à la recherche. Les connaissances mobilisées ont été : la dérivation, les coordonnées polaires, les nombres complexes, le retour à une seule variable, le tableau de valeurs.
Les textes recueillis sont très différents de ceux que nous avions obtenus l’année précédente. Ils permettent d’analyser le rôle du destinataire dans cette correspondance, l’activité mathématique du lycéen lors de la résolution du problème et la posture de l’étudiant dans la situation d’aide au lycéen et d’articuler les approches épistémologique et didactique.

Le rôle du destinataire

L’adresse au destinataire est fréquente. Nous lisons par exemple : « ce serait gentil si tu pouvais me dire ce que tu penses de mes calculs et démarches », « je suis bloqué à ce niveau, je ne sais pas si ma démarche est bonne ». Certaines phrases concernent directement la situation, comme la distance entre les deux locuteurs, proche mais non nulle :  « je comprends à chaque fois ce que tu veux dire, mais je ne vois pas du tout où tu veux en venir », ou le problème, familier mais différent : « n'ayant jamais vraiment fait cela avant, j'avais peur de ne pas pouvoir démarrer et de ne pas savoir comment faire », et la désorientation résultant de la situation : « je ne sais pas si ma dérivée est vraie ou si elle est possible tout simplement. ». On trouve aussi des conseils méthodologiques : « fie toi plus à ton intuition et à tes calculs qu’à ta calculatrice. C'est plus légal », des conceptions sur la justification et la démonstration mathématique : « tu me fais un peu douter, j'ai essayé et j'ai trouvé un résultat cohérent donc j'ai pensé que c’était peut-être la solution », « En tout cas, même si cela est faux, je continue (oui c'est pas logique mais bon) ! », « mais il est possible que ma justification ne soit pas suffisante ou bonne, auquel cas ma conclusion risque d’être fausse. », « je pense que l'on peut se passer de la résolution complète du système », « cela semble tout de même un peu long pour expliquer quelque chose d’évident ».
Il est intéressant d’analyser les deux plans sur lesquels se déroulent les textes : la succession de discours narratifs sur la recherche et de discours sémantiques de recherche. Cette hétérologie du discours nécessite le passage d’un genre à l’autre, avec des métaphores et des enthymèmes. Ceci donne lieu à un métalangage inusuel dans les textes scolaires.

L’activité mathématique des lycéens

Les lettres des lycéens aux étudiants constituent des traces de leur activité de résolution du problème beaucoup plus riches que celles obtenues en 2006-2007 ; elles permettent de retravailler les rapports entre chercher et concevoir, chercher et justifier, chercher et apprendre qui sont au cÅ“ur de l’activité mathématique.
Nous cherchons à caractériser la façon dont les lycéens « travaillent » le problème (Orange, 2005) - c’est-à-dire le résolvent mais aussi le questionnent - et à repérer les conceptualisations du maximum d’une fonction à l’Å“uvre dans la résolution du problème. L’analyse des correspondances n’est pas achevée mais des éléments se profilent.
L’étude des démarches de résolution éclaire le rapport entre chercher et concevoir. Ainsi, des lycéens utilisent d’abord leurs connaissances sur les fonctions à une variable et n’identifient la singularité du problème qu’ensuite. Ils essayent alors de se ramener à un cas où leurs connaissances sont valables. D’autres pointent d’emblée la singularité du problème et la non validité des techniques utilisées pour les fonctions à une variable puis cherchent à localiser le maximum de la fonction par des raisonnements « créatifs » (au sens de Lithner, 2008).
Le travail du problème conduit les lycéens à adresser des questions à leur correspondant qui montrent les articulations entre chercher, concevoir et justifier dans l’activité de résolution de problème. Ainsi, les questions formulées peuvent concerner des aspects techniques (un lycéen traduit le problème en coordonnées polaires et se demande « comment étudier cette fonction ? »), la validité d’une démarche ou d’un résultat, la validité de ce qu’indique un correspondant (« pourquoi est-ce que ma première idée était fausse alors que je trouve le même résultat ? »), la recherche d’une preuve, l’identification d’un nouveau problème.
L’évolution de la conceptualisation de la notion de maximum pour un lycéen dans une correspondance permet de révéler une dualité forte entre la construction du problème et l’évolution de la conception que les étudiants ont du maximum d’une fonction. Cette analyse  nourrit la question du rapport entre chercher et apprendre.  

Ce qu’en retirent les lycéens

Lors de la séance de restitution, les lycéens et les étudiants ont rencontré leurs correspondants.  Après le compte-rendu des solutions, nous avons provoqué un échange entre lycéens, étudiants, et membres de ECCEMaths. À notre question : « Que pensez-vous de cette correspondance ? », voici des réponses de lycéens : « les rapports étaient plus proches que lorsqu'on fait un devoir pour notre prof, on était "entre collègues" », « dans un devoir habituel on n'écrirait pas "pouvez vous m'aider pour cette question ou cette démarche ?" , "Pour la fin du raisonnement je ne comprends pas ce que tu as écrit" », et aussi « on avait la possibilité de se tromper ». À notre question : « Pensez-vous avoir appris quelque chose et quoi ? », un étudiant répond : « C'est intéressant de chercher en se mettant dans l'idée de l'autre, par exemple : l'idée d'une démonstration par l'absurde ici est ce que ça peut marcher ? ». Un lycéen répond : « Les dérivées partielles on commence à voir ce que c'est ». Voici d’autres réponses  obtenues : « on a appris l'importance de bien cerner l'utilisation d'un outil », « c'est intéressant d'avoir deux esprits qui se confrontent à un problème, l'un avec son expérience l'autre avec plus de recul et d'expériences », « c'est rassurant de pouvoir se projeter, voir qu'on va grandir et acquérir des méthodes ».

Perspective historique

Pour donner une perspective historique au travail élaboré avec les élèves et les étudiants, et pour éclairer la réflexion épistémologique, nous avons choisi deux grands axes d’étude.

1. Répondre aux questions suivantes : comment les mathématiciens eux-mêmes travaillent-ils ? Qu’est-ce que pour eux chercher et résoudre un problème ? En rendent-ils compte, à quelle occasion et comment ?
2. Puis, poursuivant la réflexion d’accompagnement du travail avec les lycéens et étudiants, nous avons porté notre étude naturellement vers les correspondances mathématiques, dont certaines sont particulièrement célèbres.

Notre premier axe de travail s’est largement nourri de la grande enquête initiée par Maillet dans la revue L’enseignement mathématique, en 1902, puis poursuivie par les psychologues Claparède et Fournoy, dans les années qui suivirent. Certaines des questions posées sur les méthodes d’investigation, sur les documents consultés, sur les habitudes de travail rejoignent directement celles que nous avons posées aux étudiants et aux élèves dans notre première étude.
Jacques Hadamard, dans son célèbre Essai sur l’invention mathématique, souligne l’intérêt de cette enquête, mais aussi les limites du questionnement. « En lisant ce questionnaire, on peut remarquer l’absence de certaines questions. La question la plus essentielle – je veux dire celle concernant la genèse de la découverte – en suggère une autre laquelle n’est pas mentionnée  dans le questionnaire, quoique son intérêt soit évident : on demandait aux mathématiciens comment ils avaient réussi ; il n’y a pas que des succès, il y a des échecs et les raisons d’échecs seraient pour le moins aussi importantes à connaître. » J. Hadamard pointe aussi la difficulté à élaborer un questionnaire suffisamment large pour en tirer une idée précise sur les conditions « objectives » du travail, c’est-à-dire, l’environnement, les lectures, […] et ce qui relève plutôt de l’introspection, le temps de l’inconscient, le « rêve mathématique ». Les auteurs de l’enquête eurent conscience eux-mêmes de ces limites, augmentant au fur et à mesure le nombre de questions, rendant l’analyse plus ou moins inexploitable. Il reste que nous avons là un matériau très riche.
C’est là aussi que l’étude des correspondances prend une place logique, puisque dans ce cas c’est le mathématicien qui se raconte de la manière qu’il a choisie, et de façon probablement plus authentique, puisqu’une correspondance n’a pas pour vocation première d’être publiée.
La lecture de ces correspondances met bien en évidence l’importance du destinataire. Cela nous est apparu de façon frappante dans la correspondance de Sophie Germain, que nous avons choisi d’étudier. Nous avons retenu les échanges épistolaires avec Legendre, Gauss, Poisson et Libri, qui ont tous des statuts différents vis à vis de Sophie, tant du point de vue de l’âge, (Sophie a 24 ans de moins que Legendre, 1 an de plus que Gauss, 5 ans de plus que Poisson, et 26 ans de plus que Libri) que de la référence mathématique.  Il y a en quelque sorte le professeur, Legendre, qui, le temps passant devient presque pair, le maître prestigieux, Gauss, pour lequel Sophie marque son admiration, celle de l’élève devant le Maître, le ton changeant radicalement lorsque l’identité de Sophie est révélée. C’est Gauss alors qui marque son admiration et accepte cette fois de parler vraiment mathématique. Il y a l’ami, Libri, avec qui l’on correspond surtout sur l’environnement mathématique, sur les difficultés à se faire reconnaître ; il y a enfin le « juge » Poisson, qui, dans la seule correspondance que nous avons étudiée corrige d’une certaine façon les erreurs de Sophie, froidement et sans sentiment.
Cette étude permet de mesurer l’importance de cet échange pour l’évolution du discours mathématique, pour l’apprentissage réciproque. Il permet éventuellement le ton de la confidence mathématique, même si, selon le destinataire, Sophie Germain, en particulier, prend le risque de la critique, à tout le moins du jugement.
Ce travail est en cours. Il s’agit, entre autres, de cerner les similitudes ou les différences entre cette correspondance et celle entre lycéens et étudiants. D’autres correspondances mathématiques seront étudiées, comme genre d’écrit témoin privilégié de l’invention mathématique.

Références

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