Habilitation à diriger des recherches, soutenue le 16 juin 2005 à l'Université Claude Bernard Lyon 1

Jury

Mots clés

Didactique des mathématiques, analyse épistémologique, raisonnement, logique mathématique, quantification, syntaxe, sémantique logique, pragmatique, théorie élémentaire des modèles.

Publications

Note de synthèse publiée par l'IREM de Lyon, pour commander http://sierra.univ-lyon1.fr/irem/PUBLI.HTML

Articles en ligne en relation avec ce travail :

Durand-Guerrier, V. (2005): Natural deduction in Predicate Calculus A tool for analysing proof in a didactic perspective, in Argumentation and proof, Topic Group 4 to the CERME 4 Conference, Mariotti M. A., Knipping C., Küchemann D., Nordstrom K.:

http://www.lettredelapreuve.it/Newsletter/05Automne/CERME4Durand.pdf

Durand-Guerrier, V. (2003) Logic and mathematical reasoning from a didactical point of view. A model-theoretic approach, Argumentation and proof, Topic Group 4 to the CERME 4 Conference, Vom Hofe R., Knipping C., Mariotti M. A., Pedemonte B.:

http://www.lettredelapreuve.it/CERME3Papers/TG-Guerrier.pdf

Durand-Guerrier, V. & Arsac, G "An Epistemological and Didactic Study of a Specific Calculus Reasoning Rule" published in "Educational Studies in Mathematics", Volume 60, Number 2, pages: 149 – 172. Accès pour les abonnées, ou accès payant:

http://www.springerlink.com

Résumé

Cette note de synthèse a comme but de proposer une relecture de l'ensemble de travaux de recherche que je conduis depuis une quinzaine d'année sur l'articulation entre la logique et le raisonnement mathématique, à la lumière de la théorie élémentaire des modèles de Tarski, qui joue ici le rôle de référence épistémologique pour les analyses didactiques. Une première partie présente les aspects de la théorie des modèles que j’ai retenu pour les études didactiques, ainsi qu’un exemple de l’utilisation de ce cadre pour repenser les questions de vérité, de validité, de nécessité et de certitude. La suite du document développe les analyses suivant trois axes : un retour sur les connecteurs logiques au-delà des tables de vérité ; un questionnement de différentes pratiques ordinaires dans la classe de mathématiques concernant la gestion des questions de quantification ; l'interprétation des énoncés mathématiques sous les angles syntaxique, sémantique et pragmatique. Ceci permet de réinterpréter un certain nombre d’erreurs classiques de logique ; de réduire la distance supposée entre logique de sens commun et logique mathématique et de s’interroger sur certains choix d’enseignement, eu égard en particulier aux objectifs d’apprentissage visés en terme de rigueur.

Les résultats obtenus dans ce cadre théorique général permettent d'envisager un programme de recherche suivant deux axes complémentaires. Le premier axe concerne le développement des travaux visant à élucider le rôle que joue le formalisme logique dans l'élaboration des connaissances mathématiques au niveau de l'enseignement universitaire en lien avec la mise en Å“uvre d’ingénieries didactiques. Le second axe concerne la poursuite des recherches amorcées sur le croisement entre analyses didactiques et analyses dynamiques du discours dans la classe de mathématiques en mobilisant les ressources offertes par la sémantique logique.

Abstract

This text consists in a synthesis of the research in which I have been engaged for about fifteen years concerning the relationship between logic and mathematical reasoning, through the enlightening perspective offered by the model theoretic point of view due to Tarski.

In a first part, I present the specific aspects of Model theory that I use in the didactic studies and I give an example of the relevance of this theoretical frame in order to deal with truth, validity, necessity and certainty. In the following parts, the analysis are developed according with three axis: the consideration of logical connectors beyond truth-value tables; some questions about the way mathematics teachers deal with quantification matters; the interpretation of mathematical statements under syntactic, semantic and pragmatic points of view. This leads to reinterpret some classical logical errors; to minor the distance between common sense logic and mathematical logic and to question some teaching choices concerning the learning of rigor.

The results I have obtained in this general theoretical framework allow developing research programs according to two main perspectives. The first one concerns the role played by logical formalism in the development of mathematical knowledge at tertiary level. The second one concerns crossed studies between didactic and linguistic analysis of mathematical discourse, using the resources offered by logical semantics.

Keywords

Didactic of mathematics; epistemological analysis; reasoning; mathematical logic; quantification; syntax; semantics; logical semantics;  pragmatic;  elementary model theory