Thèse soutenue le mercredi 29 octobre 2003 à l'université Joseph Fourier - Grenoble 1

Jury

Mots clés

Didactique des mathématiques - Homologie didactique - Formation des PLC2 - Représentations géométriques des enseignants - Géométries non euclidiennes - Axiomatiques de la géométrie - Modèles de la géométrie - Plongement projectif - Géométrie absolue - Géométrie euclidienne - Géométrie hyperbolique - Géométrie elliptique - Pseudosphère - Trilatère - Faisceau - Beltrami - Poincaré - Bolyai - Lobatchevsky - Riemann - Klein - Bachmann - Géométrie dynamique - Cabri-Géomètre.

Publications

Thèse en ligne : http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/Formateurs/Yves/these.html

Résumé

 Il s'agit dans ce travail, tout d'abord d'implémenter des outils d'exploration des géométries non euclidiennes dans l'environnement dynamique de Cabri-Géomètre, puis d'observer les effets de ces outils sur les représentations géométriques de jeunes enseignants de mathématiques en fin de formation initiale.

 Dans une première partie, nous implémentons les modèles historiques (hyperboliques et elliptiques), avec la réalisation d'une barre de menu pour chacun des trois types de surfaces pseudosphériques, en particulier pour la pseudosphère. La manipulation dynamique donne un éclairage saisissant, d'une part sur l'aspect "local" des modèles pseudosphériques, mais aussi sur la notion de variété différentielle par les manipulations directes sur la pseudosphère ou sur sa représentation dans le disque de Klein-Beltrami.

 Si la construction de micro-mondes hyperboliques des modèles de Poincaré dans un environnement dynamique comme Cabri n'est pas une nouveauté, nous en avons poursuivi la réalisation plus loin en proposant par exemple les constructions géométriques et dynamiques des pavages réguliers hyperboliques en conséquence de la mise en place des constructions de quadrature et autres "polygatures" du cercle.

 La réalisation d'un micro-monde dynamique de géométrie elliptique dans le plan (projection stéréographique de la sphère avec identification des points antipodiques) donne, elle aussi, un regard neuf sur une géométrie peu pratiquée, car non disponible. On peut facilement expérimenter que les symétries orthogonales sont des symétries centrales, ou que toutes les droites sont aussi des cercles.

 La fin de la première partie se termine par une présentation détaillée de l'axiomatique sur laquelle se fonde notre travail : l'axiomatique de Bachmann construite autour des symétries orthogonales. On y voit que certains résultats ont une importance constructive indéniable pour les réalisations théoriques précédentes, en particulier tout ce qui touche à la théorie des faisceaux. Le résultat essentiel de Bachmann est que, même avec des axiomes minimalistes, la théorie qu'il construit permet de traiter en même temps des cas hyperbolique, euclidien et elliptique, en un plongement de toutes ces géométries dans un plan projectif. Ce plongement est lui aussi largement illustré de réalisations avec Cabri-Géomètre.

 Dans une seconde partie, nous rendons compte d'une formation répartie en quatre séances dans lesquelles les stagiaires IUFM "PLC2 Maths" d'abord se familiarisent, puis utilisent les nouveaux concepts par l'apport de la géométrie dynamique, de ses outils et des représentations fortes qu'elle installe rapidement.

 En conclusion, nous discutons de l'intérêt d'une telle formation pour les enseignants et tirons aussi quelques conséquences, en terme d'évolution du cahier des charges, de l'utilisation massive de la géométrie dynamique construite pour l'euclidien, dans des contextes non euclidiens.